Номер 95, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

95. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все рёбра равны 1: $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$ (обозначим её как $M$).

Перевод в СИ

Длины рёбер даны в безразмерных единицах, поэтому преобразование в СИ не требуется.

Найти

Площадь сечения ($S_{сеч}$).

Решение

1.Построение сечения
Вершины $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AC$ является одной из сторон сечения.
Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$. $M$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$.
Поскольку плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими плоскостями должны быть параллельны.
Так как $AC$ - линия пересечения с нижним основанием, то в верхнем основании должна быть линия, параллельная $AC$ и проходящая через $M$.
В правильной треугольной призме основанием является равносторонний треугольник, поэтому $A_1C_1 \parallel AC$.
Проведем через точку $M$ в плоскости верхнего основания прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $K$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $MK$ параллелен $A_1C_1$. Поскольку $M$ - середина $A_1B_1$, то по теореме Фалеса $MK$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, исходящей из $M$. Следовательно, $K$ - середина ребра $B_1C_1$.
Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ACKM$.
Поскольку $AC \parallel MK$, четырехугольник $ACKM$ является трапецией.

2.Определение длин сторон трапеции
Длина всех рёбер призмы равна 1.
Длина основания $AC = 1$.
Длина основания $MK$: $M$ и $K$ - середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно. $MK$ - средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$.
Поэтому $MK = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Длина боковой стороны $AM$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Катет $AA_1 = 1$. Катет $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Длина боковой стороны $CK$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1K$. Катет $CC_1 = 1$. Катет $C_1K = \frac{1}{2} C_1B_1 = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора: $CK = \sqrt{CC_1^2 + C_1K^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Так как $AM = CK$, трапеция $ACKM$ является равнобедренной.

3.Вычисление высоты трапеции
Пусть $h$ - высота трапеции $ACKM$.
Опустим перпендикуляры из $M$ и $K$ на основание $AC$. Пусть длины отрезков, отсекаемых этими перпендикулярами на $AC$ с концов, равны $x$.
$x = \frac{AC - MK}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AM$, высотой $h$ и отрезком $x$.
По теореме Пифагора: $h^2 + x^2 = AM^2$.
$h^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.
$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{5}{4}$.
$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20}{16} - \frac{1}{16} = \frac{19}{16}$.
$h = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

4.Вычисление площади трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота.
$S_{ACKM} = \frac{AC + MK}{2} \cdot h = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4}$.
$S_{ACKM} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$.

Ответ

$S_{ACKM} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$.