Номер 88, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

88. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AB, CD и SC. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.Все ребра пирамиды равны $a = 1$.Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$ и $SC$. Обозначим эти середины как $M_1$, $M_2$ и $M_3$ соответственно.

Найти:

Описание сечения.Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, CD$ и $SC$.

Пусть $M_1$ – середина ребра $AB$, $M_2$ – середина ребра $CD$, $M_3$ – середина ребра $SC$.

1. Соединим точки $M_1$ и $M_2$. Отрезок $M_1M_2$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Поскольку $ABCD$ – квадрат со стороной $a=1$, и $M_1$, $M_2$ – середины противоположных сторон, то $M_1M_2$ параллелен $AD$ и $BC$, и его длина $M_1M_2 = a = 1$.

2. Соединим точки $M_2$ и $M_3$. Отрезок $M_2M_3$ лежит в плоскости грани $SCD$.

3. Поскольку отрезок $M_1M_2$ параллелен стороне $BC$ (лежащей в плоскости грани $SBC$), и точка $M_3$ лежит на ребре $SC$, плоскость сечения, содержащая $M_1M_2$ и $M_3$, будет пересекать грань $SBC$ по линии, параллельной $BC$. Эта линия должна проходить через $M_3$. Пусть эта линия пересекает ребро $SB$ в точке $M_4$.

4. Так как $M_3M_4 \parallel BC$, и $M_3$ – середина $SC$, то по свойству средней линии треугольника $M_4$ является серединой ребра $SB$. Отрезок $M_3M_4$ является средней линией треугольника $SBC$. Поскольку все ребра пирамиды равны $a=1$, треугольник $SBC$ – равносторонний со стороной 1. Следовательно, $M_3M_4 = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

5. Соединим точки $M_1$ и $M_4$. Отрезок $M_1M_4$ лежит в плоскости грани $SAB$. $M_1M_4$ является средней линией треугольника $SAB$, так как $M_1$ – середина $AB$ и $M_4$ – середина $SB$. Аналогично, треугольник $SAB$ – равносторонний со стороной 1, поэтому $M_1M_4 = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

6. Теперь рассмотрим отрезок $M_2M_3$. Он является средней линией треугольника $SCD$ (т.к. $M_2$ – середина $CD$, $M_3$ – середина $SC$). Треугольник $SCD$ – равносторонний со стороной 1, поэтому $M_2M_3 = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $M_1M_4M_3M_2$ со сторонами: $M_1M_2 = 1$ $M_3M_4 = 0.5$ $M_1M_4 = 0.5$ $M_2M_3 = 0.5$

Поскольку $M_1M_2 \parallel BC$ и $M_3M_4 \parallel BC$, то $M_1M_2 \parallel M_3M_4$.Следовательно, сечение $M_1M_4M_3M_2$ является равнобокой трапецией (поскольку $M_1M_4 = M_2M_3$).

Ответ: Сечение представляет собой равнобокую трапецию $M_1M_4M_3M_2$, где $M_1$ – середина $AB$, $M_2$ – середина $CD$, $M_3$ – середина $SC$, $M_4$ – середина $SB$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади равнобокой трапеции $M_1M_4M_3M_2$ используем формулу $A = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ – длины оснований, $h$ – высота трапеции.

Основания трапеции: $b_1 = M_1M_2 = 1$, $b_2 = M_3M_4 = 0.5$.Боковые стороны: $l = M_1M_4 = M_2M_3 = 0.5$.

Проведем высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из $M_4$ и $M_3$ на основание $M_1M_2$. Пусть $H_4$ – основание перпендикуляра из $M_4$ на $M_1M_2$.Тогда отрезок $M_1H_4 = \frac{M_1M_2 - M_3M_4}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $M_1M_4$, высотой $h$ (равной $M_4H_4$) и отрезком $M_1H_4$.По теореме Пифагора: $h^2 + (M_1H_4)^2 = (M_1M_4)^2$.$h^2 + (0.25)^2 = (0.5)^2$.$h^2 + 0.0625 = 0.25$.$h^2 = 0.25 - 0.0625 = 0.1875$.$h = \sqrt{0.1875} = \sqrt{\frac{1875}{10000}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 75}{100 \cdot 100}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3 \cdot 25}{100 \cdot 100}} = \frac{25 \sqrt{3}}{100} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем площадь трапеции:$A = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.