Номер 83, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

83. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершины $C$, $D$ и середину ребра $AS$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Точка $M$ - середина ребра $AS$.

Сечение проходит через вершины $C$, $D$ и точку $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица измерения).

Найти:

Площадь сечения $S_{CDM}$.

Решение:

Поскольку сечение проходит через точки $C$, $D$ и $M$, и точки $C$ и $D$ лежат в одной грани (основании), а также точки $M$ и $D$ лежат в грани $SAD$, а точки $M$ и $C$ лежат в плоскости, проходящей через вершину $S$ и диагональ $AC$, то искомое сечение является треугольником $CDM$.

Найдем длины сторон треугольника $CDM$:

1. Сторона $CD$: Является стороной основания пирамиды. По условию, все ребра равны 1.
$CD = 1$.

2. Сторона $MD$: Рассмотрим треугольник $SAD$. Поскольку пирамида правильная и все ее ребра равны 1, треугольник $SAD$ является равносторонним со сторонами $SA = AD = SD = 1$. Точка $M$ - середина ребра $AS$, значит $AM = MS = 1/2$.
Найдем длину $MD$ из $\triangle ADM$ по теореме косинусов. Угол $\angle DAM$ равен $60^\circ$, так как $\triangle SAD$ - равносторонний.
$MD^2 = AD^2 + AM^2 - 2 \cdot AD \cdot AM \cdot \cos(\angle DAM)$
$MD^2 = 1^2 + (1/2)^2 - 2 \cdot 1 \cdot (1/2) \cdot \cos(60^\circ)$
$MD^2 = 1 + 1/4 - 1 \cdot (1/2)$
$MD^2 = 5/4 - 1/2 = 5/4 - 2/4 = 3/4$
$MD = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона $MC$: Рассмотрим треугольник $SAC$. Стороны $SA = SC = 1$. Длина $AC$ - диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1.
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Таким образом, $\triangle SAC$ имеет стороны $SA=1$, $SC=1$, $AC=\sqrt{2}$. Проверим соотношение $SA^2 + SC^2 = AC^2$: $1^2 + 1^2 = 2$, и $AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).
Поскольку $\triangle SAC$ - равнобедренный и прямоугольный, углы при основании $AC$ равны $45^\circ$. То есть $\angle SAC = \angle SCA = 45^\circ$.
Теперь найдем длину $MC$ из $\triangle AMC$ по теореме косинусов. Точка $M$ - середина $AS$, значит $AM = 1/2$.
$MC^2 = AM^2 + AC^2 - 2 \cdot AM \cdot AC \cdot \cos(\angle MAC)$
$MC^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (1/2) \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$MC^2 = 1/4 + 2 - \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}/2)$
$MC^2 = 1/4 + 2 - 2/2 = 1/4 + 2 - 1 = 1/4 + 1 = 5/4$
$MC = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Итак, стороны треугольника $CDM$ равны: $CD=1$, $MD=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $MC=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для вычисления площади треугольника $CDM$ воспользуемся методом координат.

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.
Тогда координаты вершин основания:
$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
Высота пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOC$, $SC^2 = SO^2 + OC^2$.
$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$1^2 = SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \Rightarrow 1 = SO^2 + \frac{1}{2} \Rightarrow SO^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Координаты вершины $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Координаты точки $M$ (середина $AS$):
$M = \left( \frac{-\frac{1}{2}+0}{2}, \frac{-\frac{1}{2}+0}{2}, \frac{0+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$.

Теперь у нас есть координаты вершин треугольника $CDM$:
$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$M = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

Вычислим векторы $\vec{CD}$ и $\vec{CM}$:
$\vec{CD} = D - C = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
$\vec{CM} = M - C = (-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0) = (-\frac{3}{4}, -\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Площадь треугольника $CDM$ равна половине модуля векторного произведения векторов $\vec{CD}$ и $\vec{CM}$:
$S_{CDM} = \frac{1}{2} |\vec{CD} \times \vec{CM}|$.
$\vec{CD} \times \vec{CM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -3/4 & -3/4 & \sqrt{2}/4 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot (-\frac{3}{4})) - \mathbf{j}(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot (-\frac{3}{4})) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\frac{3}{4}) - 0 \cdot (-\frac{3}{4}))$
$= 0\mathbf{i} + \frac{\sqrt{2}}{4}\mathbf{j} + \frac{3}{4}\mathbf{k}$
$= \left(0, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{3}{4}\right)$.

Модуль векторного произведения:
$|\vec{CD} \times \vec{CM}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{2}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

Площадь $S_{CDM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{\sqrt{11}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{11}}{8}$.