Номер 76, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

76. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середину диагонали $DB_1$ и перпендикулярной этой диагонали. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Секущая плоскость проходит через середину диагонали $DB_1$.

Секущая плоскость перпендикулярна диагонали $DB_1$.

Перевод в СИ

Поскольку длина ребра куба указана как "единичная", конкретные единицы измерения не заданы. Все расчеты будут выполнены в этих "единичных" измерениях, и площадь будет получена в "квадратных единичных" измерениях. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Для решения задачи поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• Нижняя грань ($z=0$): $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$.

• Верхняя грань ($z=1$): $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

1.Определение середины диагонали $DB_1$:

Диагональ $DB_1$ соединяет вершину $D(0,1,0)$ с вершиной $B_1(1,0,1)$.

Координаты середины отрезка $M(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_D + x_{B_1}}{2}$, $y_M = \frac{y_D + y_{B_1}}{2}$, $z_M = \frac{z_D + z_{B_1}}{2}$

$M = (\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Эта точка $M$ является центром куба.

2.Нахождение уравнения секущей плоскости:

Поскольку плоскость перпендикулярна диагонали $DB_1$, вектор $\vec{DB_1}$ является нормальным вектором $\vec{n}$ к этой плоскости.

Вектор $\vec{DB_1} = (x_{B_1}-x_D, y_{B_1}-y_D, z_{B_1}-z_D) = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A,B,C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставляем координаты точки $M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и нормальный вектор $\vec{n}=(1, -1, 1)$:

$1(x - \frac{1}{2}) - 1(y - \frac{1}{2}) + 1(z - \frac{1}{2}) = 0$

$x - \frac{1}{2} - y + \frac{1}{2} + z - \frac{1}{2} = 0$

Уравнение плоскости: $x - y + z - \frac{1}{2} = 0$.

3.Определение формы и вершин сечения:

Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной одной из его главных диагоналей, всегда является правильным шестиугольником. Вершины этого шестиугольника лежат на серединах ребер куба, которые не содержат ни одну из конечных точек этой диагонали.

Найдем точки пересечения плоскости $x - y + z - \frac{1}{2} = 0$ с ребрами куба ($0 \le x, y, z \le 1$):

• Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $x - 0 + 0 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_1(\frac{1}{2}, 0, 0)$. Это середина ребра $AB$.

• Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $1 - y + 0 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_2(1, \frac{1}{2}, 0)$. Это середина ребра $BC$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $1 - 1 + z - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_3(1, 1, \frac{1}{2})$. Это середина ребра $CC_1$.

• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $x - 1 + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_4(\frac{1}{2}, 1, 1)$. Это середина ребра $C_1D_1$.

• Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $0 - y + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_5(0, \frac{1}{2}, 1)$. Это середина ребра $D_1A_1$.

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 - 0 + z - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_6(0, 0, \frac{1}{2})$. Это середина ребра $AA_1$.

Сечение представляет собой правильный шестиугольник с вершинами $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$.

4.Вычисление длины стороны шестиугольника:

Найдем длину стороны шестиугольника, например, отрезка $P_1P_2$.

$P_1(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $P_2(1, \frac{1}{2}, 0)$.

Длина стороны $s = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

$s = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

5.Вычисление площади сечения:

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ квадратных единиц.