Номер 70, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

70. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $M$ - середина ребра $BB_1$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$.

Точка $K$ на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$.

Перевод в СИ:

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$ (безразмерная величина). Все координаты и расстояния также безразмерны.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

1. Точка $K$ лежит на ребре $AB$. Поскольку $AK=0.25$ и $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, координаты точки $K$ будут $K(0.25, 0, 0)$.

2. Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$. Значит, $M\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M(1, 0, 0.5)$.

3. Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$. Значит, $N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = N(0, 1, 0.5)$.

Сечение проходит через точки $K(0.25, 0, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $N(0, 1, 0.5)$.

Для определения полного сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{KM} = M - K = (1 - 0.25, 0 - 0, 0.5 - 0) = (0.75, 0, 0.5)$

$\vec{KN} = N - K = (0 - 0.25, 1 - 0, 0.5 - 0) = (-0.25, 1, 0.5)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости сечения перпендикулярен векторам $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$. Его можно найти как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.75 & 0 & 0.5 \\ -0.25 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.75 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.25)) + \mathbf{k}(0.75 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25))$

$\vec{n} = -0.5\mathbf{i} - (0.375 + 0.125)\mathbf{j} + 0.75\mathbf{k}$

$\vec{n} = (-0.5, -0.5, 0.75)$

Для упрощения вычислений, умножим компоненты вектора нормали на 4, получим $\vec{n} = (-2, -2, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты $\vec{n}$, получаем $-2x - 2y + 3z + D = 0$.

Подставим координаты точки $K(0.25, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$-2(0.25) - 2(0) + 3(0) + D = 0$

$-0.5 + D = 0 \Rightarrow D = 0.5$

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-2x - 2y + 3z + 0.5 = 0$, или $2x + 2y - 3z - 0.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

Рассмотрим ребро $C_1D_1$. Для точек на этом ребре $y=1$ и $z=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$2x + 2(1) - 3(1) - 0.5 = 0$

$2x + 2 - 3 - 0.5 = 0$

$2x - 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$

Полученная точка $L(0.75, 1, 1)$ лежит на ребре $C_1D_1$, так как ее $x$-координата находится в диапазоне $[0, 1]$.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $K(0.25, 0, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $L(0.75, 1, 1)$, $N(0, 1, 0.5)$.

Визуализация сечения:

Сечение проходит через $K$ на ребре $AB$, $M$ на ребре $BB_1$, $N$ на ребре $DD_1$ и $L$ на ребре $C_1D_1$.

Определим вид этого четырехугольника, проверив параллельность его сторон:

Вектор $\vec{KM} = (0.75, 0, 0.5)$

Вектор $\vec{NL} = L - N = (0.75 - 0, 1 - 1, 1 - 0.5) = (0.75, 0, 0.5)$

Так как $\vec{KM} = \vec{NL}$, стороны $KM$ и $NL$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $KMLN$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$. В качестве смежных сторон параллелограмма $KMLN$ возьмем векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ (где $K, M, N$ - последовательные вершины $K-M$ и $K-N$ как смежные стороны).

(Примечание: $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ не являются смежными сторонами параллелограмма $KMLN$. Смежные стороны параллелограмма $KMLN$ - это $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$, если $N$ это вершина. Или $\vec{KM}$ и $\vec{KL}$, если $L$ вершина. Мы определили, что $KMLN$ это последовательность вершин. Тогда смежные стороны - $\vec{KM}$ и $\vec{MN}$.)

Исправим: Площадь параллелограмма $KMLN$ определяется как модуль векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$.

Мы уже вычислили $\vec{KM} \times \vec{KN} = (-0.5, -0.5, 0.75)$.

Площадь $S = |\vec{KM} \times \vec{KN}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.75)^2}$

$S = \sqrt{0.25 + 0.25 + (3/4)^2}$

$S = \sqrt{0.5 + 9/16}$

$S = \sqrt{8/16 + 9/16}$

$S = \sqrt{17/16}$

$S = \frac{\sqrt{17}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{17}}{4}$.