Номер 73, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

73. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Сечение проходит через:

• середину ребра $BB_1$ (обозначим эту точку $M$)

• середину ребра $DD_1$ (обозначим эту точку $N$)

• точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на $0,75$ (обозначим эту точку $K$)

Перевод в систему СИ:Длина ребра единичного куба $a = 1$.Расстояние $CK = 0.75 \cdot a = 0.75$.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения $S$.

Решение:Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$.$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$.$N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Точка $K$ лежит на ребре $BC$ и отстоит от вершины $C$ на $0.75$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.Точка $K$ лежит на ребре $BC$, поэтому ее координаты $(1, y_K, 0)$, где $0 \le y_K \le 1$.Расстояние от $C(1,1,0)$ до $K(1,y_K,0)$ равно $\sqrt{(1-1)^2 + (1-y_K)^2 + (0-0)^2} = |1-y_K|$.По условию, это расстояние равно $0.75$.$|1-y_K| = 0.75$. Поскольку $y_K$ должна быть в диапазоне $[0,1]$, то $1-y_K = 0.75$, что дает $y_K = 1 - 0.75 = 0.25$.Значит, $K = (1, 0.25, 0)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$, $K(1,0.25,0)$.Вектор $\vec{MN} = N - M = (0-1, 1-0, 0.5-0.5) = (-1, 1, 0)$.Вектор $\vec{MK} = K - M = (1-1, 0.25-0, 0-0.5) = (0, 0.25, -0.5)$.Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$. Его можно найти как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MK} = \text{det} \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0.25 & -0.5 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0.25) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0.25 - 1 \cdot 0)$$\vec{n} = (-0.5)\mathbf{i} - (0.5)\mathbf{j} + (-0.25)\mathbf{k} = (-0.5, -0.5, -0.25)$.Для упрощения расчетов, умножим нормальный вектор на $-4$: $\vec{n'} = (2, 2, 1)$.Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y + z + D = 0$.Подставим координаты точки $M(1,0,0.5)$ в уравнение плоскости:$2(1) + 2(0) + 0.5 + D = 0 \Rightarrow 2.5 + D = 0 \Rightarrow D = -2.5$.Таким образом, уравнение секущей плоскости: $2x + 2y + z - 2.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения.

1. Ребро $CD$ (описывается как $y=1, z=0$, для $0 \le x \le 1$):$2x + 2(1) + 0 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x + 2 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.25$.Эта точка лежит на ребре $CD$. Обозначим ее $L = (0.25, 1, 0)$.

2. Ребро $A_1B_1$ (описывается как $y=0, z=1$, для $0 \le x \le 1$):$2x + 2(0) + 1 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 1.5 = 0 \Rightarrow x = 0.75$.Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$. Обозначим ее $P = (0.75, 0, 1)$.

Проверим другие ребра, чтобы убедиться, что других точек пересечения в пределах куба нет:Ребро $AD$ ($x=0, z=0$, $0 \le y \le 1$): $2(0) + 2y + 0 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2y = 2.5 \Rightarrow y = 1.25$. Точка вне ребра.Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $2(0) + 2(0) + z - 2.5 = 0 \Rightarrow z = 2.5$. Точка вне ребра.Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(1) + 2(1) + z - 2.5 = 0 \Rightarrow 4 + z - 2.5 = 0 \Rightarrow z = -1.5$. Точка вне ребра.Ребро $A_1D_1$ ($y=1, z=1$, $0 \le x \le 1$): $2x + 2(1) + 1 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x + 0.5 = 0 \Rightarrow x = -0.25$. Точка вне ребра.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами в следующем порядке обхода: $K(1, 0.25, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $P(0.75, 0, 1)$, $N(0, 1, 0.5)$, $L(0.25, 1, 0)$.

Описание сечения: это пятиугольник $KMPNL$.

• Отрезок $KM$ соединяет точку на ребре $BC$ с серединой ребра $BB_1$, он лежит на боковой грани $BCC_1B_1$.

• Отрезок $MP$ соединяет середину ребра $BB_1$ с точкой на ребре $A_1B_1$, он лежит на боковой грани $ABB_1A_1$.

• Отрезок $PN$ соединяет точку на ребре $A_1B_1$ с серединой ребра $DD_1$, он является внутренней частью сечения, проходящей через объем куба.

• Отрезок $NL$ соединяет середину ребра $DD_1$ с точкой на ребре $CD$, он лежит на боковой грани $CDD_1C_1$.

• Отрезок $LK$ соединяет точку на ребре $CD$ с точкой на ребре $BC$, он лежит на нижней грани $ABCD$.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции.Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n'} = (2, 2, 1)$.Длина нормального вектора $|\vec{n'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{proj} / |\cos \theta|$, где $\theta$ - угол между плоскостью сечения и координатной плоскостью.Выберем плоскость $xy$. Нормаль к плоскости $xy$ - это вектор $\vec{k} = (0,0,1)$.Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:$\cos \theta = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2,2,1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{3} = \frac{1}{3}$.Значит, $S = 3 \cdot S_{proj}$.

Найдем площадь проекции пятиугольника на плоскость $xy$. Вершины проекции:$K'(1, 0.25)$, $M'(1, 0)$, $P'(0.75, 0)$, $N'(0, 1)$, $L'(0.25, 1)$.Проекция сечения лежит внутри квадрата $A'B'C'D'$ с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$, площадь которого $1 \cdot 1 = 1$.Площадь проекции $S_{proj}$ можно найти, вычитая площади "лишних" областей (которые находятся внутри квадрата, но вне проекции сечения) из площади этого квадрата.

"Лишние" области - это два прямоугольных треугольника:1. Треугольник в нижнем левом углу квадрата: с вершинами $(0,0)$, $P'(0.75, 0)$, $N'(0, 1)$.Его катеты вдоль осей $x$ и $y$ имеют длины $0.75$ и $1$ соответственно.Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{8}$.

2. Треугольник в верхнем правом углу квадрата: с вершинами $(1,1)$, $L'(0.25, 1)$, $K'(1, 0.25)$.Его катеты вдоль линий $y=1$ и $x=1$ имеют длины $(1-0.25) = 0.75$ и $(1-0.25)=0.75$ соответственно.Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32}$.

Площадь проекции $S_{proj} = (\text{Площадь квадрата}) - S_1 - S_2 = 1 - \frac{3}{8} - \frac{9}{32}$.Приведем к общему знаменателю: $1 = \frac{32}{32}$, $\frac{3}{8} = \frac{12}{32}$.$S_{proj} = \frac{32}{32} - \frac{12}{32} - \frac{9}{32} = \frac{32 - 12 - 9}{32} = \frac{11}{32}$.

Теперь найдем площадь самого сечения:$S = 3 \cdot S_{proj} = 3 \cdot \frac{11}{32} = \frac{33}{32}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{33}{32}$.