Номер 69, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

69. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

1. Середина ребра $BB_1$. Обозначим эту точку $M$.

2. Середина ребра $DD_1$. Обозначим эту точку $N$.

3. Точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $C$ на 0.25. Обозначим эту точку $P$.

Перевод в систему СИ:

Сторона куба $a = 1$ ед. (единица длины).

Точка $M$ - середина $BB_1$, значит, $BM = MB_1 = 0.5 \cdot a = 0.5$ ед.

Точка $N$ - середина $DD_1$, значит, $DN = ND_1 = 0.5 \cdot a = 0.5$ ед.

Точка $P$ на ребре $BC$, $CP = 0.25 \cdot a = 0.25$ ед. Тогда $BP = BC - CP = 1 - 0.25 = 0.75$ ед.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда вершины куба имеют следующие координаты:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

1. Точка $M$ - середина $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$.

$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

2. Точка $N$ - середина $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$.

$N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

3. Точка $P$ на ребре $BC$, $CP=0.25$. Координаты $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$. Точка $P$ находится на расстоянии 0.25 от $C$ вдоль ребра $BC$.

$P_x = 1$. $P_y = C_y - 0.25 = 1 - 0.25 = 0.75$. $P_z = 0$.

$P = (1,0.75,0)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$, $P(1,0.75,0)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz+D=0$.

Для $M$: $A(1) + B(0) + C(0.5) + D = 0 \implies A + 0.5C + D = 0$ (1)

Для $N$: $A(0) + B(1) + C(0.5) + D = 0 \implies B + 0.5C + D = 0$ (2)

Для $P$: $A(1) + B(0.75) + C(0) + D = 0 \implies A + 0.75B + D = 0$ (3)

Из (1) и (2) следует $A=B$. Пусть $A=B=k$.

Подставим $A=k$ в (1): $k + 0.5C + D = 0 \implies D = -k - 0.5C$.

Подставим $A=k$ и $B=k$ в (3): $k + 0.75k + D = 0 \implies 1.75k + D = 0 \implies D = -1.75k$.

Приравниваем выражения для $D$: $-k - 0.5C = -1.75k \implies 0.75k = 0.5C \implies C = \frac{0.75}{0.5}k = 1.5k$.

Пусть $k=2$ для удобства (любое $k \ne 0$ даст то же уравнение плоскости, умноженное на константу).

$A=2, B=2, C=1.5 \cdot 2 = 3$.

$D = -1.75 \cdot 2 = -3.5$.

Уравнение плоскости: $2x+2y+3z-3.5=0$, или, умножив на 2, $4x+4y+6z-7=0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

1. Ребра на нижней грани ($z=0$): $4x+4y-7=0$.

- Ребро $BC$ ($x=1$, $0 \le y \le 1$): $4(1)+4y-7=0 \implies 4y-3=0 \implies y=0.75$. Точка $P(1,0.75,0)$.

- Ребро $CD$ ($y=1$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(1)-7=0 \implies 4x-3=0 \implies x=0.75$. Точка $Q_2(0.75,1,0)$.

- Ребро $AD$ ($x=0$, $0 \le y \le 1$): $4(0)+4y-7=0 \implies 4y=7 \implies y=1.75$. Вне ребра.

- Ребро $AB$ ($y=0$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(0)-7=0 \implies 4x=7 \implies x=1.75$. Вне ребра.

2. Ребра на верхней грани ($z=1$): $4x+4y+6(1)-7=0 \implies 4x+4y-1=0$.

- Ребро $A_1B_1$ ($y=0$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(0)-1=0 \implies 4x=1 \implies x=0.25$. Точка $Q_1(0.25,0,1)$.

- Ребро $D_1A_1$ ($x=0$, $0 \le y \le 1$): $4(0)+4y-1=0 \implies 4y=1 \implies y=0.25$. Точка $Q_3(0,0.25,1)$.

- Ребро $B_1C_1$ ($x=1$, $0 \le y \le 1$): $4(1)+4y-1=0 \implies 4y+3=0 \implies y=-0.75$. Вне ребра.

- Ребро $C_1D_1$ ($y=1$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(1)-1=0 \implies 4x+3=0 \implies x=-0.75$. Вне ребра.

3. Вертикальные ребра:

- Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0$, $0 \le z \le 1$): $4(1)+4(0)+6z-7=0 \implies 6z-3=0 \implies z=0.5$. Точка $M(1,0,0.5)$.

- Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1$, $0 \le z \le 1$): $4(0)+4(1)+6z-7=0 \implies 6z-3=0 \implies z=0.5$. Точка $N(0,1,0.5)$.

- Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $4(0)+4(0)+6z-7=0 \implies 6z=7 \implies z=7/6$. Вне ребра.

- Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $4(1)+4(1)+6z-7=0 \implies 1+6z=0 \implies z=-1/6$. Вне ребра.

Таким образом, сечение является шестиугольником с вершинами:

$P(1, 0.75, 0)$ на ребре $BC$.

$Q_2(0.75, 1, 0)$ на ребре $CD$.

$N(0, 1, 0.5)$ на ребре $DD_1$.

$Q_3(0, 0.25, 1)$ на ребре $D_1A_1$.

$Q_1(0.25, 0, 1)$ на ребре $A_1B_1$.

$M(1, 0, 0.5)$ на ребре $BB_1$.

Порядок обхода вершин: $P \to Q_2 \to N \to Q_3 \to Q_1 \to M \to P$.

Две стороны шестиугольника, $PQ_2$ и $Q_3Q_1$, лежат в плоскостях основания и крыши соответственно и параллельны друг другу. Их длина составляет $PQ_2 = \sqrt{(1-0.75)^2 + (0.75-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{0.0625+0.0625} = \sqrt{0.125} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Остальные четыре стороны равны по длине, например, $Q_2N = \sqrt{(0.75-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0.75^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5625+0.25} = \sqrt{0.8125} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.

Ответ: Сечение представляет собой шестиугольник $P Q_2 N Q_3 Q_1 M$.

Площадь сечения

Используем метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{proj}$ на одну из координатных плоскостей формулой $S = \frac{S_{proj}}{|\cos\alpha|}$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Выберем плоскость $xy$ (плоскость основания куба) для проекции. Проекция шестиугольника на плоскость $xy$ имеет вершины:

$P_{xy}(1, 0.75)$

$Q_{2xy}(0.75, 1)$

$N_{xy}(0, 1)$

$Q_{3xy}(0, 0.25)$

$Q_{1xy}(0.25, 0)$

$M_{xy}(1, 0)$

Площадь этой проекции можно найти, вычтя площади двух треугольников из площади квадрата $A'B'C'D'$ (проекции куба):

Проекция является квадратом $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ за вычетом двух угловых треугольников.

1. Треугольник в верхнем правом углу (возле $C(1,1)$): его вершины $(1,1)$, $Q_{2xy}(0.75,1)$, $P_{xy}(1,0.75)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $1-0.75=0.25$ и $1-0.75=0.25$.

Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.

2. Треугольник в нижнем левом углу (возле $A(0,0)$): его вершины $(0,0)$, $Q_{1xy}(0.25,0)$, $Q_{3xy}(0,0.25)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $0.25$ и $0.25$.

Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{32}$.

Площадь проекции $S_{proj} = (\text{Площадь квадрата } A'B'C'D') - S_1 - S_2 = 1 \cdot 1 - \frac{1}{32} - \frac{1}{32} = 1 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Вектор нормали к плоскости сечения $4x+4y+6z-7=0$ есть $\vec{n} = (4,4,6)$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ (плоскости основания) есть $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ находится по формуле:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{k}||}$

Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{k} = 4(0) + 4(0) + 6(1) = 6$.

Модуль вектора $\vec{n}$: $||\vec{n}|| = \sqrt{4^2+4^2+6^2} = \sqrt{16+16+36} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

Модуль вектора $\vec{k}$: $||\vec{k}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.

Тогда $\cos\alpha = \frac{6}{2\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha} = \frac{15/16}{3/\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{17}}{16}$ квадратных единиц.