Номер 72, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

72. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
Сечение проходит через три точки:

• Точка $M$ - середина ребра $AA_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $CC_1$.
• Точка $P$ на ребре $AD$, такая что $AP = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Для построения сечения в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (где $A$ - нижняя левая передняя вершина):

1. Отметим точку $M$ как середину ребра $AA_1$. ($AM = MA_1 = 0.5a$).
2. Отметим точку $N$ как середину ребра $CC_1$. ($CN = NC_1 = 0.5a$).
3. Отметим точку $P$ на ребре $AD$ на расстоянии $0.25a$ от вершины $A$.
4. Соединим точки $M$ и $P$. Отрезок $MP$ лежит в грани $ADDA_1$.
5. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит внутри куба, он параллелен диагонали основания $AC$.
6. Для определения других вершин сечения, необходимо найти точки пересечения плоскости, проходящей через $M$, $N$, $P$, с другими ребрами куба. Пусть куб расположен в декартовой системе координат так, что $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$. Тогда координаты заданных точек:
   • $M = (0,0,0.5)$
   • $N = (1,1,0.5)$
   • $P = (0,0.25,0)$
   Уравнение плоскости $Ax+By+Cz=D$, проходящей через эти три точки, можно найти, подставив их координаты:
   Для $P(0, 0.25, 0)$: $B(0.25) = D \Rightarrow B = 4D$.
   Для $M(0, 0, 0.5)$: $C(0.5) = D \Rightarrow C = 2D$.
   Для $N(1, 1, 0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + 4D + 2D(0.5) = D \Rightarrow A + 4D + D = D \Rightarrow A = -4D$.
   Разделив на $D$ (при $D \ne 0$), получаем уравнение плоскости: $-4x + 4y + 2z = 1$, или $4x - 4y - 2z = -1$.
7. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:
   • Пересечение с ребром $CD$ (y=1, z=0): $4x - 4(1) - 2(0) = -1 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0.75$. Точка $Q = (0.75, 1, 0)$.
   • Пересечение с ребром $B_1C_1$ (x=1, z=1): $4(1) - 4y - 2(1) = -1 \Rightarrow 2 - 4y = -1 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Точка $S = (1, 0.75, 1)$.
   • Пересечение с ребром $A_1B_1$ (y=0, z=1): $4x - 4(0) - 2(1) = -1 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 0.25$. Точка $R = (0.25, 0, 1)$.
   Таким образом, точками сечения являются $P(0,0.25,0)$, $Q(0.75,1,0)$, $N(1,1,0.5)$, $S(1,0.75,1)$, $R(0.25,0,1)$, $M(0,0,0.5)$.
8. Соединим последовательно эти точки: $P \to Q \to N \to S \to R \to M \to P$. Полученный многоугольник $PQRNSM$ является искомым сечением. Это шестиугольник.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции. Площадь многоугольника в пространстве равна площади его проекции на координатную плоскость, деленной на косинус угла между плоскостью многоугольника и координатной плоскостью.
Уравнение плоскости сечения: $4x - 4y - 2z = -1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n} = (4, -4, -2)$.
Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.
Возьмем для проекции координатную плоскость $XY$ (т.е. $z=0$). Нормальный вектор к плоскости $XY$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$.
Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $XY$:$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(4, -4, -2) \cdot (0,0,1)|}{6 \cdot 1} = \frac{|-2|}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь найдем площадь проекции шестиугольника $PQRNSM$ на плоскость $XY$. Координаты вершин проекции (просто отбрасываем z-координату):
$P_{xy} = (0, 0.25)$
$Q_{xy} = (0.75, 1)$
$N_{xy} = (1, 1)$
$S_{xy} = (1, 0.75)$
$R_{xy} = (0.25, 0)$
$M_{xy} = (0, 0)$
Расположим вершины в порядке обхода (например, против часовой стрелки): $M_{xy}(0,0)$, $R_{xy}(0.25,0)$, $S_{xy}(1,0.75)$, $N_{xy}(1,1)$, $Q_{xy}(0.75,1)$, $P_{xy}(0,0.25)$.
Площадь проекции $S_{proj}$ можно вычислить методом "трапеций" или "формулой шнурков":
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + \dots + (x_ny_1 - y_nx_1) |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.25) + (0.25 \cdot 0.75 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0.75) + (0.75 \cdot 0.25 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0) |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | 0 + (0.1875 - 0) + (1 - 0.75) + (1 - 0.75) + (0.1875 - 0) + 0 |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | 0.1875 + 0.25 + 0.25 + 0.1875 | = \frac{1}{2} | 0.875 | = 0.4375$.
Или в дробях: $0.4375 = \frac{4375}{10000} = \frac{7}{16}$.
Таким образом, площадь сечения $S$ равна:
$S = \frac{S_{proj}}{\cos \theta} = \frac{7/16}{1/3} = \frac{7}{16} \cdot 3 = \frac{21}{16}$.

Ответ: $ \frac{21}{16} $