Страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

55. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $BC$, $DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Вершина $A$.

Середина ребра $BC$, обозначим $M$.

Середина ребра $DD_1$, обозначим $N$.

Сечение проходит через точки $A, M, N$.

Перевод в СИ: Не требуется, все размеры заданы в относительных единицах куба (ребро куба $a=1$).

Найти:

Изобразите сечение (описание построения).

Найдите его площадь.

Решение:

Примем длину ребра единичного куба за $a=1$. Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A(0,0,0)$
• $B(1,0,0)$
• $C(1,1,0)$
• $D(0,1,0)$
• $A_1(0,0,1)$
• $B_1(1,0,1)$
• $C_1(1,1,1)$
• $D_1(0,1,1)$

Точка $M$ - середина ребра $BC$. Координаты $M$: $(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (1, 0.5, 0)$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $N$: $(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0, 1, 0.5)$.

Изобразите сечение

Построение сечения выполняется следующим образом:

1. Точки $A(0,0,0)$ и $M(1,0.5,0)$ лежат в плоскости нижней грани $ABCD$. Соединяем их отрезком $AM$. Это первый след сечения на грани куба.
2. Точки $A(0,0,0)$ и $N(0,1,0.5)$ лежат в плоскости боковой грани $ADD_1A_1$. Соединяем их отрезком $AN$. Это второй след сечения на грани куба.
3. Чтобы найти остальные точки сечения, определим уравнение плоскости, проходящей через $A, M, N$. Вектор $\vec{AM} = (1 - 0, 0.5 - 0, 0 - 0) = (1, 0.5, 0)$. Вектор $\vec{AN} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 0) = (0, 1, 0.5)$. Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ находится как векторное произведение $\vec{AM} \times \vec{AN}$: $ \vec{n} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 0 \\ 0 & 1 & 0.5 \end{matrix} \right| = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) = 0.25\mathbf{i} - 0.5\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0.25, -0.5, 1) $. Уравнение плоскости, проходящей через $A(0,0,0)$ с нормальным вектором $(0.25, -0.5, 1)$, имеет вид $0.25x - 0.5y + z = 0$. Умножим на 4, чтобы избавиться от дробей: $x - 2y + 4z = 0$.
4. Найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба:
   • С ребром $CC_1$ (где $x=1, y=1, z \in [0,1]$): $1 - 2(1) + 4z = 0 \implies -1 + 4z = 0 \implies 4z = 1 \implies z = 0.25$. Получаем точку $P(1, 1, 0.25)$.
   • Проверка остальных ребер показывает, что других точек пересечения с внутренними частями ребер нет, кроме уже известных $A, M, N$ и найденной $P$.
5. Соединяем найденные точки:
   • Отрезок $AM$ (на грани $ABCD$).
   • Отрезок $MP$ (на грани $BCC_1B_1$, так как $M(1,0.5,0)$ и $P(1,1,0.25)$ лежат в этой грани).
   • Отрезок $PN$ (на грани $CDD_1C_1$, так как $P(1,1,0.25)$ и $N(0,1,0.5)$ лежат в этой грани).
   • Отрезок $NA$ (на грани $ADD_1A_1$).

Таким образом, сечение является четырехугольником $AMPN$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(1,0.5,0)$, $P(1,1,0.25)$, $N(0,1,0.5)$.

Ответ: Построение сечения описано выше. Сечение - четырехугольник $AMPN$.

Найдите его площадь

Определим тип четырехугольника $AMPN$.Вычислим векторы, соответствующие его сторонам:$\vec{AN} = (0 - 0, 1 - 0, 0.5 - 0) = (0, 1, 0.5)$.$\vec{MP} = (1 - 1, 1 - 0.5, 0.25 - 0) = (0, 0.5, 0.25)$.Заметим, что $\vec{AN} = 2 \cdot \vec{MP}$. Это означает, что векторы $\vec{AN}$ и $\vec{MP}$ коллинеарны, следовательно, стороны $AN$ и $MP$ параллельны.Таким образом, четырехугольник $AMPN$ является трапецией с параллельными основаниями $AN$ и $MP$.

Для вычисления площади трапеции можно использовать формулу $S = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$, где $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ - векторы, соответствующие диагоналям трапеции. Диагоналями трапеции $AMPN$ являются отрезки $AP$ и $MN$.

Вычислим векторы диагоналей:

$\vec{AP} = (1 - 0, 1 - 0, 0.25 - 0) = (1, 1, 0.25)$.

$\vec{MN} = (0 - 1, 1 - 0.5, 0.5 - 0) = (-1, 0.5, 0.5)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{AP} \times \vec{MN}$:

$ \vec{AP} \times \vec{MN} = \left| \begin{matrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0.25 \\ -1 & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right| = \mathbf{i}(1 \cdot 0.5 - 0.25 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0.5 - 0.25 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 1 \cdot (-1)) $

$ = \mathbf{i}(0.5 - 0.125) - \mathbf{j}(0.5 + 0.25) + \mathbf{k}(0.5 + 1) $

$ = 0.375\mathbf{i} - 0.75\mathbf{j} + 1.5\mathbf{k} $

Найдем модуль этого вектора:

$ |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \sqrt{(0.375)^2 + (-0.75)^2 + (1.5)^2} $

Переведем дроби: $0.375 = \frac{3}{8}$, $0.75 = \frac{3}{4}$, $1.5 = \frac{3}{2}$.

$ |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \sqrt{\left(\frac{3}{8}\right)^2 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{2}\right)^2} $

$ = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{9}{16} + \frac{9}{4}} $

Приведем дроби к общему знаменателю $64$:

$ = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{9 \cdot 4}{16 \cdot 4} + \frac{9 \cdot 16}{4 \cdot 16}} = \sqrt{\frac{9}{64} + \frac{36}{64} + \frac{144}{64}} $

$ = \sqrt{\frac{9 + 36 + 144}{64}} = \sqrt{\frac{189}{64}} $

$ = \frac{\sqrt{189}}{\sqrt{64}} = \frac{\sqrt{9 \cdot 21}}{8} = \frac{3\sqrt{21}}{8} $

Площадь сечения $S$ равна половине модуля векторного произведения диагоналей:

$ S = \frac{1}{2} |\vec{AP} \times \vec{MN}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{3\sqrt{21}}{8} = \frac{3\sqrt{21}}{16} $

Ответ:

Изобразите сечение: Сечение является четырехугольником $AMPN$, где $A$ - вершина куба, $M$ - середина ребра $BC$, $N$ - середина ребра $DD_1$, а $P$ - точка на ребре $CC_1$ такая, что $CP = \frac{1}{4}CC_1$. Стороны сечения: $AM$, $MP$, $PN$, $NA$.

Найдите его площадь: $S = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

56. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $BB_1$, $A_1D_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $BB_1$ (обозначим ее $M$) и середину ребра $A_1D_1$ (обозначим ее $N$).

Перевод в СИ:

Длина ребра единичного куба $a = 1$ (единица длины).

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1. Изобразите сечение

Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Определим координаты заданных точек:Вершина $A(0,0,0)$.Середина ребра $BB_1$: $M(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = M(1,0,0.5)$.Середина ребра $A_1D_1$: $N(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}) = N(0,0.5,1)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$ и $N(0,0.5,1)$.Общее уравнение плоскости $Ax + By + Cz = D$.Так как $A(0,0,0)$ лежит в плоскости, то $D=0$. Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = 0$.Подставим координаты $M(1,0,0.5)$: $A \cdot 1 + B \cdot 0 + C \cdot 0.5 = 0 \Rightarrow A + 0.5C = 0 \Rightarrow A = -0.5C$.Подставим координаты $N(0,0.5,1)$: $A \cdot 0 + B \cdot 0.5 + C \cdot 1 = 0 \Rightarrow 0.5B + C = 0 \Rightarrow B = -2C$.Примем $C = -2$ (для удобства вычислений). Тогда $A = -0.5(-2) = 1$, и $B = -2(-2) = 4$.Уравнение плоскости сечения: $x + 4y - 2z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба, чтобы определить многоугольник сечения.Уже известные точки: $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$ (на ребре $BB_1$), $N(0,0.5,1)$ (на ребре $A_1D_1$).Рассмотрим ребро $B_1C_1$. Для точек на этом ребре $x=1$ и $z=1$ (так как $B_1=(1,0,1)$ и $C_1=(1,1,1)$).Подставим эти значения в уравнение плоскости:$1 + 4y - 2(1) = 0 \Rightarrow 4y - 1 = 0 \Rightarrow y = 0.25$.Получаем точку $P(1, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$, так как ее координата $y=0.25$ находится в пределах $[0,1]$.

Проверка остальных ребер куба показывает, что плоскость сечения не пересекает их внутри куба (координаты точек пересечения выходят за пределы $[0,1]$).Таким образом, сечение является четырехугольником $AMPN$ с вершинами:$A(0,0,0)$$M(1,0,0.5)$$P(1,0.25,1)$$N(0,0.5,1)$

Для изображения сечения необходимо:1. Построить единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.2. Отметить вершину $A$.3. На ребре $BB_1$ (соединяющем $B$ и $B_1$) отметить точку $M$ на его середине.4. На ребре $A_1D_1$ (соединяющем $A_1$ и $D_1$) отметить точку $N$ на его середине.5. На ребре $B_1C_1$ (соединяющем $B_1$ и $C_1$) отметить точку $P$, отступив $0.25$ от $B_1$ по направлению к $C_1$.6. Соединить последовательно отрезками точки $A$, $M$, $P$, $N$, $A$.
Отрезок $AM$ лежит на грани $ABB_1A_1$.
Отрезок $MP$ лежит на грани $BB_1C_1C$.
Отрезок $PN$ лежит на грани $A_1B_1C_1D_1$.
Отрезок $NA$ лежит на грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Изображение сечения представляет собой плоский четырехугольник $AMPN$, где $A$ – вершина куба, $M$ – середина ребра $BB_1$, $N$ – середина ребра $A_1D_1$, а $P$ – точка на ребре $B_1C_1$ с координатой $y=0.25$ (если $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$). Сечение образовано отрезками $AM$, $MP$, $PN$, $NA$.

2. Найти его площадь.

Площадь четырехугольника $AMPN$ можно найти, разбив его на два треугольника, например, $AMN$ и $MPN$.Координаты вершин: $A(0,0,0)$, $M(1,0,0.5)$, $P(1,0.25,1)$, $N(0,0.5,1)$.

Вычислим площадь треугольника $AMN$ с использованием векторного произведения:Векторы: $\vec{AM} = (1, 0, 0.5)$ и $\vec{AN} = (0, 0.5, 1)$.Векторное произведение:$\vec{AM} \times \vec{AN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0.5 \\ 0 & 0.5 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 0) = (-0.25, -1, 0.5)$.Модуль векторного произведения:$|\vec{AM} \times \vec{AN}| = \sqrt{(-0.25)^2 + (-1)^2 + (0.5)^2} = \sqrt{0.0625 + 1 + 0.25} = \sqrt{1.3125}$.Площадь треугольника $AMN$:$S_{AMN} = \frac{1}{2} \sqrt{1.3125} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{16}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{\sqrt{21}}{8}$.

Вычислим площадь треугольника $MPN$. Для этого используем векторы, исходящие из одной точки, например, $P$:$\vec{PM} = M - P = (1-1, 0-0.25, 0.5-1) = (0, -0.25, -0.5)$.$\vec{PN} = N - P = (0-1, 0.5-0.25, 1-1) = (-1, 0.25, 0)$.Векторное произведение:$\vec{PM} \times \vec{PN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.25 & -0.5 \\ -1 & 0.25 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.25 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 0.25) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-0.5) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(0 \cdot 0.25 - (-0.25) \cdot (-1)) = (0.125, 0.5, -0.25)$.Модуль векторного произведения:$|\vec{PM} \times \vec{PN}| = \sqrt{(0.125)^2 + (0.5)^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{(\frac{1}{8})^2 + (\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{4})^2} = \sqrt{\frac{1}{64} + \frac{16}{64} + \frac{4}{64}} = \sqrt{\frac{21}{64}}$.Площадь треугольника $MPN$:$S_{MPN} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{21}{64}} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{21}}{8} = \frac{\sqrt{21}}{16}$.

Общая площадь сечения $S$ - это сумма площадей двух треугольников:$S = S_{AMN} + S_{MPN} = \frac{\sqrt{21}}{8} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{2\sqrt{21}}{16} + \frac{\sqrt{21}}{16} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$ квадратных единиц.

57. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $CD$, $BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A$, середину ребра $CD$ (обозначим ее $K$) и середину ребра $BB_1$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

1. Для удобства расчетов введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ лежит вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина каждого ребра равна $1$.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$ $B(1,0,0)$ $C(1,1,0)$ $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$ $B_1(1,0,1)$ $C_1(1,1,1)$ $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Вершина $A$ имеет координаты $A(0,0,0)$.

Середина ребра $CD$: $K = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 0\right)$.

Середина ребра $BB_1$: $M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = \left(1, 0, \frac{1}{2}\right)$.

2. Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$, $M(1, 0, 1/2)$.

Векторы $\vec{AK}$ и $\vec{AM}$ лежат в этой плоскости:

$\vec{AK} = K - A = (1/2, 1, 0)$

$\vec{AM} = M - A = (1, 0, 1/2)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{n} = \vec{AK} \times \vec{AM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot 1/2 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 0 - 1 \cdot 1) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{4}, -1\right)$.

Для удобства расчетов умножим компоненты нормального вектора на 4: $\vec{n}' = (2, -1, -4)$.

Уравнение плоскости, проходящей через начало координат $A(0,0,0)$ с нормальным вектором $\vec{n}'(2, -1, -4)$:

$2x - y - 4z = 0$.

3.Изобразите сечение:

Чтобы определить форму сечения, найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба. Мы уже знаем точки $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$ и $M(1, 0, 1/2)$.

• Пересечение с ребром $CC_1$: это ребро лежит на линии $x=1, y=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

  $2(1) - 1 - 4z = 0 \implies 1 - 4z = 0 \implies 4z = 1 \implies z = 1/4$.

  Точка пересечения $N(1, 1, 1/4)$.

• Проверка других ребер на предмет пересечений внутри куба (для $x,y,z \in [0,1]$):

  • $DD_1$ ($x=0, y=1$): $2(0) - 1 - 4z = 0 \implies -1 - 4z = 0 \implies 4z = -1 \implies z = -1/4$. Эта точка лежит вне куба ($z < 0$).

  • $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $2x - 0 - 4(1) = 0 \implies 2x = 4 \implies x = 2$. Эта точка лежит вне куба ($x > 1$).

  • $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 1 - 4(1) = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 5/2$. Эта точка лежит вне куба ($x > 1$).

Таким образом, сечение является четырехугольником $AKNM$ с вершинами: $A(0,0,0)$, $K(1/2, 1, 0)$, $N(1, 1, 1/4)$, $M(1, 0, 1/2)$.

Визуально сечение можно представить, соединив эти точки: $A$ (нижняя левая передняя вершина), $K$ (середина верхнего ребра задней грани), $N$ (на боковом ребре задней грани), $M$ (середина переднего ребра правой грани).

4.Найдите его площадь:

Площадь сечения можно найти, используя формулу для площади многоугольника в пространстве: $S_{сеч} = S_{проекции} / |\cos \gamma|$, где $S_{проекции}$ — площадь проекции сечения на одну из координатных плоскостей, а $\gamma$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Выберем проекцию на плоскость $xy$ (плоскость $z=0$). Координаты вершин проекции $A_pK_pN_pM_p$:

$A_p(0,0)$ $K_p(1/2, 1)$ $N_p(1, 1)$ $M_p(1, 0)$

Эта проекция является трапецией. Стороны $A_pM_p$ (на оси $Ox$) и $K_pN_p$ (на прямой $y=1$) параллельны оси $Ox$.

Длины оснований трапеции:

$b_1 = A_pM_p = 1 - 0 = 1$.

$b_2 = K_pN_p = 1 - 1/2 = 1/2$.

Высота трапеции (расстояние между прямыми $y=0$ и $y=1$) равна $h = 1$.

Площадь проекции $S_{проекции} = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot 1 = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения (нормаль $\vec{n}'(2, -1, -4)$) и плоскостью $xy$ (нормаль $\vec{k}(0,0,1)$):

$|\cos \gamma| = \frac{|\vec{n}' \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}'|| \cdot ||\vec{k}||}$.

Скалярное произведение $\vec{n}' \cdot \vec{k} = (2)(0) + (-1)(0) + (-4)(1) = -4$.

Модуль нормального вектора $||\vec{n}'|| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 1 + 16} = \sqrt{21}$.

Модуль вектора оси $Oz$ $||\vec{k}|| = 1$.

$|\cos \gamma| = \frac{|-4|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{4}{\sqrt{21}}$.

Площадь сечения $S_{сеч} = S_{проекции} / |\cos \gamma| = \frac{3/4}{4/\sqrt{21}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{21}}{4} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.

58. Изобразите сечение единичного куба, $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через вершину A и середины ребер $A_1 B_1, DD_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.
Сечение проходит через вершину $A$.
Сечение проходит через середину ребра $A_1B_1$. Обозначим эту точку как $M$.
Сечение проходит через середину ребра $DD_1$. Обозначим эту точку как $N$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для удобства введем декартову систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Тогда оси координат совпадают с ребрами куба, выходящими из $A$. Координаты вершин куба будут: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,
$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Точка $M$ – середина ребра $A_1B_1$. Ее координаты: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = (0.5, 0, 1)$.

Точка $N$ – середина ребра $DD_1$. Ее координаты: $N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A(0,0,0)$, $M(0.5, 0, 1)$ и $N(0, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки. Пусть уравнение плоскости имеет вид $ax+by+cz=d$.

1. Точка $A(0,0,0)$ лежит в плоскости: $a(0)+b(0)+c(0)=d \Rightarrow d=0$. Уравнение плоскости: $ax+by+cz=0$.

2. Точка $M(0.5, 0, 1)$ лежит в плоскости: $a(0.5)+b(0)+c(1)=0 \Rightarrow 0.5a+c=0 \Rightarrow c=-0.5a$.

3. Точка $N(0, 1, 0.5)$ лежит в плоскости: $a(0)+b(1)+c(0.5)=0 \Rightarrow b+0.5c=0$. Подставим $c=-0.5a$: $b+0.5(-0.5a)=0 \Rightarrow b-0.25a=0 \Rightarrow b=0.25a$.

Для удобства выберем $a=4$ (чтобы избавиться от дробей). Тогда $b=0.25 \cdot 4=1$ и $c=-0.5 \cdot 4=-2$. Уравнение плоскости сечения: $4x+y-2z=0$.

Изобразите сечение

Для построения сечения в кубе необходимо найти все точки пересечения плоскости $4x+y-2z=0$ с ребрами куба.

• Точка $A(0,0,0)$ является одной из вершин сечения.
• Точка $M(0.5,0,1)$ является серединой ребра $A_1B_1$ и лежит в плоскости сечения. Отрезок $AM$ является частью сечения и лежит в грани $ABB_1A_1$ (где $y=0$).
• Точка $N(0,1,0.5)$ является серединой ребра $DD_1$ и лежит в плоскости сечения. Отрезок $AN$ является частью сечения и лежит в грани $ADD_1A_1$ (где $x=0$).
• Рассмотрим верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$ (плоскость $z=1$). Уравнение плоскости сечения при $z=1$: $4x+y-2(1)=0 \Rightarrow 4x+y-2=0$. Точка $M(0.5,0,1)$ удовлетворяет этому уравнению ($4(0.5)+0-2=0$). Найдем точку пересечения этой линии с ребром $C_1D_1$ (где $y=1, z=1$). Подставим $y=1$ в уравнение $4x+y-2=0$: $4x+1-2=0 \Rightarrow 4x=1 \Rightarrow x=0.25$. Получаем точку $P_1(0.25,1,1)$. Эта точка лежит на ребре $C_1D_1$, так как $0 \le 0.25 \le 1$. Отрезок $MP_1$ является частью сечения и лежит в грани $A_1B_1C_1D_1$.
• Рассмотрим заднюю грань куба $CDD_1C_1$ (плоскость $y=1$). Уравнение плоскости сечения при $y=1$: $4x+1-2z=0$. Точка $N(0,1,0.5)$ удовлетворяет этому уравнению ($4(0)+1-2(0.5)=0$). Точка $P_1(0.25,1,1)$ также удовлетворяет этому уравнению ($4(0.25)+1-2(1)=0$). Отрезок $NP_1$ является частью сечения и лежит в грани $CDD_1C_1$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $AMP_1N$ с вершинами: $A(0,0,0)$, $M(0.5,0,1)$, $P_1(0.25,1,1)$, $N(0,1,0.5)$.

Изобразить сечение графически в текстовом формате невозможно. Описанный выше процесс построения и координаты вершин определяют его форму и положение в кубе.

Ответ: Сечение представляет собой четырехугольник $AMP_1N$.

Найдите его площадь

Найдем площадь четырехугольника $AMP_1N$ с вершинами $A(0,0,0)$, $M(0.5,0,1)$, $P_1(0.25,1,1)$, $N(0,1,0.5)$. Используем метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью его проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{proj} / |\cos \gamma|$, где $\gamma$ - угол между плоскостью сечения и координатной плоскостью.

Выберем проекцию на плоскость $xy$. Проекции вершин на плоскость $xy$: $A_{xy}=(0,0)$, $M_{xy}=(0.5,0)$, $P_{1xy}=(0.25,1)$, $N_{xy}=(0,1)$.

Проекция сечения на плоскость $xy$ является трапецией с вершинами $A_{xy}(0,0)$, $M_{xy}(0.5,0)$, $P_{1xy}(0.25,1)$, $N_{xy}(0,1)$. Основания трапеции (параллельные оси $x$) лежат на прямых $y=0$ и $y=1$. Длина нижнего основания $b_1 = |M_{xy}A_{xy}| = 0.5 - 0 = 0.5$. Длина верхнего основания $b_2 = |P_{1xy}N_{xy}| = 0.25 - 0 = 0.25$. Высота трапеции $h$ – это расстояние между прямыми $y=0$ и $y=1$, то есть $h=1$.

Площадь проекции $S_{xy} = \frac{(b_1+b_2)h}{2} = \frac{(0.5+0.25) \cdot 1}{2} = \frac{0.75}{2} = \frac{3}{8}$.

Нормальный вектор к плоскости сечения $4x+y-2z=0$ равен $\vec{n}=(4,1,-2)$. Нормальный вектор к плоскости $xy$ равен $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостями находится по формуле: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$
$\vec{n} \cdot \vec{k} = (4)(0) + (1)(0) + (-2)(1) = -2$.
$|\vec{n}| = \sqrt{4^2+1^2+(-2)^2} = \sqrt{16+1+4} = \sqrt{21}$.
$|\vec{k}| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.
Таким образом, $\cos \gamma = \frac{|-2|}{\sqrt{21} \cdot 1} = \frac{2}{\sqrt{21}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{xy}}{\cos \gamma} = \frac{3/8}{2/\sqrt{21}} = \frac{3}{8} \cdot \frac{\sqrt{21}}{2} = \frac{3\sqrt{21}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{21}}{16}$.

59. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $D_1$ и середины ребер $AB$, $BC$. Найдите его площадь.

Дано:
Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба: $a = 1$.
Сечение проходит через вершину $D_1$.
Сечение проходит через середину ребра $AB$ (точка $M$).
Сечение проходит через середину ребра $BC$ (точка $N$).

Найти:
Изобразить сечение.
Площадь сечения.

Перевод в СИ:
Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$. Единицы измерения не указаны, поэтому все расчеты будут безразмерными.

Решение:

Построение сечения:
Для построения и вычисления площади сечения введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба имеет координаты $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин будут: $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $B_1(a,0,a)$, $C_1(a,a,a)$, $D_1(0,a,a)$. Поскольку куб единичный, $a=1$. Координаты заданных точек:

Вершина $D_1$: $D_1(0,1,1)$.
Середина ребра $AB$: $M(1/2,0,0)$.
Середина ребра $BC$: $N(1,1/2,0)$.

1. Соединим точки $M$ и $N$, лежащие в одной грани $ABCD$ (нижнее основание куба). Получим отрезок $MN$. 2. Для нахождения других точек сечения продлим прямую $MN$ до пересечения с продолжениями ребер основания. Прямая $MN$ в плоскости $z=0$ (плоскость $ABCD$) проходит через $M(1/2,0)$ и $N(1,1/2)$. Уравнение прямой $MN$: $y - 0 = \frac{1/2 - 0}{1 - 1/2}(x - 1/2)$, то есть $y = \frac{1/2}{1/2}(x - 1/2)$, или $y = x - 1/2$. a. Продлим $MN$ до пересечения с продолжением ребра $AD$ (ось Y, т.е. $x=0$). Подставив $x=0$ в уравнение прямой, получим $y = -1/2$. Точка пересечения $K(0, -1/2, 0)$. b. Продлим $MN$ до пересечения с продолжением ребра $CD$ (прямая $y=1$, т.е. $y=a$). Подставив $y=1$ в уравнение прямой, получим $1 = x - 1/2$, откуда $x = 3/2$. Точка пересечения $L(3/2, 1, 0)$. 3. Плоскость сечения определяется точками $D_1, K, L$. 4. Соединим $D_1$ с $K$. Прямая $D_1K$ лежит в плоскости $x=0$ (плоскость $ADD_1A_1$). Координаты $D_1(0,1,1)$ и $K(0,-1/2,0)$. Уравнение прямой $D_1K$ в плоскости $x=0$: $\frac{z-0}{1-0} = \frac{y-(-1/2)}{1-(-1/2)}$, т.е. $z = \frac{y+1/2}{3/2}$, или $y = \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $AA_1$. Ребро $AA_1$ лежит на оси Z, т.е. $x=0, y=0$. Подставим $y=0$ в уравнение: $0 = \frac{3}{2}z - \frac{1}{2}$, откуда $\frac{3}{2}z = \frac{1}{2}$, $z = 1/3$. Таким образом, точка $P_A(0,0,1/3)$ лежит на ребре $AA_1$. 5. Соединим $D_1$ с $L$. Прямая $D_1L$ лежит в плоскости $y=1$ (плоскость $CDD_1C_1$). Координаты $D_1(0,1,1)$ и $L(3/2,1,0)$. Уравнение прямой $D_1L$ в плоскости $y=1$: $\frac{z-0}{1-0} = \frac{x-3/2}{0-3/2}$, т.е. $z = \frac{x-3/2}{-3/2}$, или $x = -\frac{3}{2}z + \frac{3}{2}$. Найдем точку пересечения этой прямой с ребром $CC_1$. Ребро $CC_1$ имеет координаты $x=1, y=1$. Подставим $x=1$ в уравнение: $1 = -\frac{3}{2}z + \frac{3}{2}$, откуда $\frac{3}{2}z = \frac{1}{2}$, $z = 1/3$. Таким образом, точка $P_C(1,1,1/3)$ лежит на ребре $CC_1$. 6. Сечение является пятиугольником $D_1P_AMNP_C$. Вершины сечения: $D_1(0,1,1)$, $P_A(0,0,1/3)$, $M(1/2,0,0)$, $N(1,1/2,0)$, $P_C(1,1,1/3)$.

Площадь сечения:
Площадь плоского сечения можно найти как отношение площади его ортогональной проекции на одну из координатных плоскостей к косинусу угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции. Выберем плоскость $ABCD$ (плоскость $z=0$) в качестве плоскости проекции.

1.Площадь проекции:
Проекция вершин сечения $D_1P_AMNP_C$ на плоскость $z=0$ даст следующие точки: $D_1(0,1,1) \to D(0,1,0)$
$P_A(0,0,1/3) \to A(0,0,0)$
$M(1/2,0,0) \to M(1/2,0,0)$
$N(1,1/2,0) \to N(1,1/2,0)$
$P_C(1,1,1/3) \to C(1,1,0)$
Таким образом, проекция сечения на плоскость $ABCD$ является пятиугольником $DAMNC$. Площадь пятиугольника $DAMNC$ можно найти как площадь квадрата $ABCD$ за вычетом площади треугольника $BMN$. Площадь квадрата $ABCD$: $S_{ABCD} = a^2 = 1^2 = 1$. Точка $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$. Значит, $BM = a/2 = 1/2$ и $BN = a/2 = 1/2$. Треугольник $BMN$ является прямоугольным с катетами $BM$ и $BN$. Площадь треугольника $BMN$: $S_{BMN} = \frac{1}{2} \cdot BM \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$. Площадь проекции: $S_{пр} = S_{DAMNC} = S_{ABCD} - S_{BMN} = 1 - 1/8 = 7/8$.

2.Косинус угла между плоскостями:
Найдем вектор нормали к плоскости сечения $D_1MN$. Используем векторы $\vec{D_1M}$ и $\vec{D_1N}$. $\vec{D_1M} = M - D_1 = (1/2-0, 0-1, 0-1) = (1/2, -1, -1)$. $\vec{D_1N} = N - D_1 = (1-0, 1/2-1, 0-1) = (1, -1/2, -1)$. Вектор нормали $\vec{n} = \vec{D_1M} \times \vec{D_1N}$: $\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & -1 & -1 \\ 1 & -1/2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-1)(-1) - (-1)(-1/2)) - \mathbf{j}((1/2)(-1) - (-1)(1)) + \mathbf{k}((1/2)(-1/2) - (-1)(1))$ $\vec{n} = \mathbf{i}(1 - 1/2) - \mathbf{j}(-1/2 + 1) + \mathbf{k}(-1/4 + 1)$ $\vec{n} = (1/2, -1/2, 3/4)$ Для удобства можно взять вектор, параллельный $\vec{n}$, например, умножив на 4: $\vec{n'} = (2, -2, 3)$. Вектор нормали к плоскости $ABCD$ (плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0,0,1)$. Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $ABCD$ вычисляется по формуле: $\cos \gamma = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (-2)(0) + (3)(1)|}{\sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} \cdot \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}}$ $\cos \gamma = \frac{|3|}{\sqrt{4 + 4 + 9} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$

3.Площадь сечения:
Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется по формуле $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos \gamma}$. $S_{сеч} = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$

Ответ: Сечение является пятиугольником $D_1 P_A M N P_C$, где $M$ - середина ребра $AB$, $N$ - середина ребра $BC$, $P_A$ - точка на ребре $AA_1$ такая, что $AP_A = 1/3$ от $AA_1$, и $P_C$ - точка на ребре $CC_1$ такая, что $CP_C = 1/3$ от $CC_1$. Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.

60. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $B_1$ и середины ребер $AD, CD$. Найдите его площадь.

61. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1B_1C_1D_1$, проходящее

Дано:
Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$
Длина ребра куба $a = 1$
Сечение проходит через:

• вершину $B_1$
• середину ребра $AD$ (обозначим $M$)
• середину ребра $CD$ (обозначим $N$)

Перевод в СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ м (единичный куб, предполагается, что единица длины).

Найти:
1. Изобразить сечение (описать его построение и вид).
2. Площадь сечения.

Решение:
1. Изображение сечения:
Примем вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба: $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$
$A_1=(0,0,1)$, $B_1=(1,0,1)$, $C_1=(1,1,1)$, $D_1=(0,1,1)$
Длина ребра куба $a=1$.
Найдем координаты точек, через которые проходит сечение:

• Вершина $B_1$: $(1,0,1)$.
• Середина ребра $AD$: $M$. Координаты $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит, $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $N$. Координаты $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$. Значит, $N = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 1, 0)$.

Таким образом, три точки, определяющие сечение, это $B_1(1,0,1)$, $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$.
Построим сечение, находя точки пересечения плоскости $B_1MN$ с ребрами куба.
Найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.
Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{MB_1} = B_1 - M = (1-0, 0-0.5, 1-0) = (1, -0.5, 1)$
$\vec{MN} = N - M = (0.5-0, 1-0.5, 0-0) = (0.5, 0.5, 0)$
Вектор нормали к плоскости $\vec{n} = \vec{MB_1} \times \vec{MN}$: $ \vec{n} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 1 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 0 - 1 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 0.5) $
$= \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(-0.5) + \mathbf{k}(0.5 + 0.25) = (-0.5, 0.5, 0.75)$.
Для упрощения умножим компоненты нормали на 4: $\vec{n}_{simplified} = (-2, 2, 3)$.
Уравнение плоскости: $-2x + 2y + 3z + D = 0$.
Подставим координаты точки $M(0, 0.5, 0)$: $-2(0) + 2(0.5) + 3(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.
Уравнение плоскости сечения: $-2x + 2y + 3z - 1 = 0$, или $2x - 2y - 3z + 1 = 0$. Найдем точки пересечения плоскости с ребрами куба:

• Пересечение с плоскостью $z=0$ (основание $ABCD$): $2x - 2y + 1 = 0$.
  • С ребром $AD$ ($x=0$): $-2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M(0, 0.5, 0)$.
  • С ребром $CD$ ($y=1$): $2x - 2(1) + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $N(0.5, 1, 0)$.
• Пересечение с плоскостью $x=0$ (грань $ADD_1A_1$): $-2y - 3z + 1 = 0$.
  • С ребром $AD$ ($z=0$): $-2y + 1 = 0 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M(0, 0.5, 0)$.
  • С ребром $AA_1$ ($y=0$): $-3z + 1 = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P(0, 0, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $x=1$ (грань $BCC_1B_1$): $2(1) - 2y - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 3 - 2y - 3z = 0$.
  • С ребром $BB_1$ ($y=0$): $3 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1$. Точка $B_1(1, 0, 1)$.
  • С ребром $CC_1$ ($y=1$): $3 - 2(1) - 3z = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $Q(1, 1, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $y=1$ (грань $CDD_1C_1$): $2x - 2(1) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 2x - 3z - 1 = 0$.
  • С ребром $CD$ ($z=0$): $2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $N(0.5, 1, 0)$.
  • С ребром $CC_1$ ($x=1$): $2(1) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $Q(1, 1, 1/3)$.
• Пересечение с плоскостью $y=0$ (грань $ABB_1A_1$): $2x - 3z + 1 = 0$.
  • С ребром $AA_1$ ($x=0$): $-3z + 1 = 0 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P(0, 0, 1/3)$.
  • С ребром $BB_1$ ($x=1$): $2(1) - 3z + 1 = 0 \Rightarrow 3 - 3z = 0 \Rightarrow z = 1$. Точка $B_1(1, 0, 1)$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $MNQ B_1 P$ с вершинами: $M(0, 0.5, 0)$
$N(0.5, 1, 0)$
$Q(1, 1, 1/3)$
$B_1(1, 0, 1)$
$P(0, 0, 1/3)$
Сечение пересекает ребра $AD$, $CD$, $CC_1$, $BB_1$, $AA_1$. 2. Нахождение площади сечения:
Площадь плоского многоугольника в трехмерном пространстве можно найти, проецируя его на одну из координатных плоскостей, находя площадь проекции и используя косинус угла между плоскостью сечения и координатной плоскостью.
Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (-2, 2, 3)$.
Модуль вектора нормали $|\vec{n}| = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.
Проектируем пятиугольник $MNQ B_1 P$ на плоскость $XY$ ($z=0$). Координаты вершин проекции: $M'(0, 0.5)$
$N'(0.5, 1)$
$Q'(1, 1)$
$B_1'(1, 0)$
$P'(0, 0)$
Этот пятиугольник $P'M'N'Q'B_1'$ можно представить как единичный квадрат $P'(0,0)B_1'(1,0)Q'(1,1)D'(0,1)$ минус треугольник $D'M'N'$.
Единичный квадрат имеет площадь $1 \times 1 = 1$.
Координаты вершины $D'$ (соответствующей $D$ в основании) в плоскости $XY$ - $(0,1)$.
Треугольник $D'M'N'$ имеет вершины $D'(0,1)$, $M'(0,0.5)$, $N'(0.5,1)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $D'M' = |1 - 0.5| = 0.5$ и $D'N' = |0.5 - 0| = 0.5$.
Площадь треугольника $D'M'N'$ равна $S_{\triangle D'M'N'} = \frac{1}{2} \cdot 0.5 \cdot 0.5 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 = 0.125$.
Площадь проекции сечения на плоскость $XY$: $S_{proj, XY} = 1 - 0.125 = 0.875$.
Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью $XY$ равен $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|}$, где $\vec{k}=(0,0,1)$ - вектор нормали к плоскости $XY$.
$\vec{n} \cdot \vec{k} = (-2)(0) + (2)(0) + (3)(1) = 3$.
$|\vec{k}| = 1$.
$\cos \theta = \frac{3}{\sqrt{17}}$.
Площадь сечения $S_{сечения} = \frac{S_{proj, XY}}{\cos \theta} = \frac{0.875}{3/\sqrt{17}} = 0.875 \cdot \frac{\sqrt{17}}{3}$.
Запишем $0.875$ как дробь: $0.875 = \frac{875}{1000} = \frac{7 \cdot 125}{8 \cdot 125} = \frac{7}{8}$.
$S_{сечения} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ:
Сечение представляет собой пятиугольник $MNQ B_1 P$, где $M$ - середина $AD$, $N$ - середина $CD$, $Q$ - точка на $CC_1$ такая, что $CQ = \frac{1}{3}CC_1$, $P$ - точка на $AA_1$ такая, что $AP = \frac{1}{3}AA_1$, и $B_1$ - вершина куба. Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.

61. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C_1$ и середины ребер $AB, AD$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a=1$. Сечение проходит через вершину $C_1$ и середины ребер $AB$ и $AD$.

Перевод в СИ: Ребро куба $a=1$ (единица длины).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $C_1$ и середины ребер $AB, AD$.

Для удобства введем систему координат с началом в вершине $A(0,0,0)$. Пусть ребро куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Обозначим середину ребра $AB$ как $M_1$. Координаты $M_1((0+1)/2, (0+0)/2, (0+0)/2) = (0.5, 0, 0)$.

Обозначим середину ребра $AD$ как $M_2$. Координаты $M_2((0+0)/2, (0+1)/2, (0+0)/2) = (0, 0.5, 0)$.

Третья заданная точка сечения — вершина $C_1(1,1,1)$.

Построение сечения:

1. На нижней грани $ABCD$ отметьте точки $M_1$ (середину $AB$) и $M_2$ (середину $AD$). Соедините их отрезком $M_1M_2$. Этот отрезок является частью сечения.
2. Соедините точку $C_1$ с точками $M_1$ и $M_2$ отрезками $C_1M_1$ и $C_1M_2$. Эти отрезки также являются частью сечения.
3. Для нахождения оставшихся вершин сечения, необходимо определить точки пересечения плоскости сечения с другими ребрами куба.
4. Рассмотрим ребро $BB_1$. Оно лежит в плоскости $x=1, y=0$. Найдем точку $P_B$ пересечения плоскости сечения с ребром $BB_1$.
5. Рассмотрим ребро $DD_1$. Оно лежит в плоскости $x=0, y=1$. Найдем точку $P_D$ пересечения плоскости сечения с ребром $DD_1$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(0.5,0,0)$, $M_2(0,0.5,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

Вектор $\vec{M_1M_2} = (0 - 0.5, 0.5 - 0, 0 - 0) = (-0.5, 0.5, 0)$.

Вектор $\vec{M_1C_1} = (1 - 0.5, 1 - 0, 1 - 0) = (0.5, 1, 1)$.

Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ найдем как векторное произведение $\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1C_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.5 & 0.5 & 0 \\ 0.5 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.5 \cdot 1 - 0 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(-0.5 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) = 0.5\mathbf{i} + 0.5\mathbf{j} - 0.75\mathbf{k}$.

Для удобства умножим компоненты нормального вектора на 4: $\vec{n} = (2, 2, -3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y - 3z + D = 0$. Подставим координаты точки $M_1(0.5, 0, 0)$:

$2(0.5) + 2(0) - 3(0) + D = 0 \Rightarrow 1 + D = 0 \Rightarrow D = -1$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y - 3z - 1 = 0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• С ребром $BB_1$: $x=1, y=0$. Подставим в уравнение плоскости: $2(1) + 2(0) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow 3z = 1 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P_B(1, 0, 1/3)$. Этот отрезок $BP_B = 1/3$ лежит на ребре $BB_1$ (т.к. $0 \le 1/3 \le 1$).
• С ребром $DD_1$: $x=0, y=1$. Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 2(1) - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 2 - 3z - 1 = 0 \Rightarrow 1 - 3z = 0 \Rightarrow 3z = 1 \Rightarrow z = 1/3$. Точка $P_D(0, 1, 1/3)$. Этот отрезок $DP_D = 1/3$ лежит на ребре $DD_1$ (т.к. $0 \le 1/3 \le 1$).

Таким образом, вершины сечения: $M_1(0.5,0,0)$, $P_B(1,0,1/3)$, $C_1(1,1,1)$, $P_D(0,1,1/3)$, $M_2(0,0.5,0)$.

Соединив эти точки последовательно, получаем пятиугольник $M_1P_BC_1P_DM_2$.

Ответ: Сечение является пятиугольником $M_1P_BC_1P_DM_2$, где $M_1$ — середина $AB$, $M_2$ — середина $AD$, $P_B$ — точка на $BB_1$ на расстоянии $1/3$ от $B$, $P_D$ — точка на $DD_1$ на расстоянии $1/3$ от $D$, и $C_1$ — вершина куба.

Найдите его площадь.

Площадь многоугольника в 3D пространстве можно найти, спроецировав его на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, а затем разделив ее на косинус угла между плоскостью многоугольника и плоскостью проекции.

Воспользуемся проекцией на плоскость $xy$. Координаты вершин проекции:

$M_1'(0.5,0)$

$P_B'(1,0)$

$C_1'(1,1)$

$P_D'(0,1)$

$M_2'(0,0.5)$

Площадь проекции $S_{xy}$ можно найти как площадь квадрата со стороной 1 (вершины $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$) минус площадь отсеченного треугольника с вершинами $(0,0)$, $(0.5,0)$ и $(0,0.5)$.

Площадь квадрата: $1 \times 1 = 1$.

Площадь отсеченного треугольника: $1/2 \times \text{основание} \times \text{высота} = 1/2 \times 0.5 \times 0.5 = 1/2 \times 0.25 = 0.125$.

Площадь проекции $S_{xy} = 1 - 0.125 = 0.875 = 7/8$.

Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n} = (2, 2, -3)$. Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-3)^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$: $\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + (-3) \cdot 1|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|-3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой $S = \frac{S_{xy}}{\cos \theta}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$ квадратных единиц.

62. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через вершину $A_1$ и середины ребер $BC$, $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Сечение проходит через вершину $A_1$ и середины ребер $BC$ и $CD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение

Пусть дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина каждого ребра куба равна 1. Введем систему координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а оси $x, y, z$ были направлены вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Сечение проходит через вершину $A_1=(0,0,1)$ и середины ребер $BC$ и $CD$.

Найдем координаты середин ребер:

• Пусть $K$ — середина ребра $BC$. Координаты $K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, 0\right) = (1, 0.5, 0)$.
• Пусть $L$ — середина ребра $CD$. Координаты $L = \left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, 0\right) = (0.5, 1, 0)$.

Таким образом, сечение проходит через точки $A_1(0,0,1)$, $K(1,0.5,0)$ и $L(0.5,1,0)$.

Для того чтобы определить форму сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{A_1K} = K - A_1 = (1-0, 0.5-0, 0-1) = (1, 0.5, -1)$.

Вектор $\vec{A_1L} = L - A_1 = (0.5-0, 1-0, 0-1) = (0.5, 1, -1)$.

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{A_1K} \times \vec{A_1L}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & -1 \\ 0.5 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(-0.5 + 1) - \mathbf{j}(-1 + 0.5) + \mathbf{k}(1 - 0.25) = (0.5, 0.5, 0.75)$.

Для удобства можем умножить компоненты вектора нормали на 4: $\vec{n} = (2, 2, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты нормали: $2x + 2y + 3z + D = 0$.

Используем точку $A_1(0,0,1)$ для нахождения $D$: $2(0) + 2(0) + 3(1) + D = 0 \implies 3 + D = 0 \implies D = -3$.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + 3z - 3 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба.

Известные точки: $A_1(0,0,1)$, $K(1,0.5,0)$, $L(0.5,1,0)$.

• Ребро $BB_1$: Точки на этом ребре имеют координаты $(1,0,z)$, где $0 \le z \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $2(1) + 2(0) + 3z - 3 = 0 \implies 2 + 3z - 3 = 0 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$.

  Точка пересечения $P=(1,0,1/3)$. Эта точка лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/3 \le 1$.

• Ребро $DD_1$: Точки на этом ребре имеют координаты $(0,1,z)$, где $0 \le z \le 1$.

  Подставим в уравнение плоскости: $2(0) + 2(1) + 3z - 3 = 0 \implies 2 + 3z - 3 = 0 \implies 3z = 1 \implies z = 1/3$.

  Точка пересечения $Q=(0,1,1/3)$. Эта точка лежит на ребре $DD_1$, так как $0 \le 1/3 \le 1$.

• Другие ребра: $A_1$ является точкой пересечения с ребрами $AA_1$, $A_1B_1$, $A_1D_1$. Плоскость не пересекает другие ребра куба.

Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с вершинами $A_1(0,0,1)$, $P(1,0,1/3)$, $K(1,0.5,0)$, $L(0.5,1,0)$ и $Q(0,1,1/3)$.

Последовательность вершин, образующих сечение: $A_1 \to P \to K \to L \to Q \to A_1$. Это пятиугольник.

Ответ: Сечение единичного куба, проходящее через указанные точки, является пятиугольником $A_1PKLQ$.

Найдите его площадь

Площадь пятиугольника $A_1PKLQ$ можно найти, спроецировав его на одну из координатных плоскостей, а затем умножив площадь проекции на обратный косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $2x + 2y + 3z - 3 = 0$. Вектор нормали к этой плоскости $\vec{n}=(2,2,3)$.

Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Рассмотрим проекцию пятиугольника на плоскость $xy$. Вектор нормали к плоскости $xy$ — это $\vec{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$: $\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{|(2,2,3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Проекции вершин пятиугольника на плоскость $xy$ (просто отбрасываем $z$-координату):

• $A'_1=(0,0)$
• $P'=(1,0)$
• $K'=(1,0.5)$
• $L'=(0.5,1)$
• $Q'=(0,1)$

Найдем площадь $S_{xy}$ этой проекции (пятиугольника $A'_1P'K'L'Q'$) по формуле площади многоугольника по координатам вершин (формула Гаусса или Shoelace formula).

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_1) |$

Подставляем координаты вершин в порядке обхода ($A'_1, P', K', L', Q'$):

$x_1=0, y_1=0$ ($A'_1$)

$x_2=1, y_2=0$ ($P'$)

$x_3=1, y_3=0.5$ ($K'$)

$x_4=0.5, y_4=1$ ($L'$)

$x_5=0, y_5=1$ ($Q'$)

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (0\cdot0 + 1\cdot0.5 + 1\cdot1 + 0.5\cdot1 + 0\cdot0) - (0\cdot1 + 0\cdot1 + 0.5\cdot0.5 + 1\cdot0 + 1\cdot0) |$

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (0 + 0.5 + 1 + 0.5 + 0) - (0 + 0 + 0.25 + 0 + 0) |$

$S_{xy} = \frac{1}{2} | 2 - 0.25 | = \frac{1}{2} | 1.75 | = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{xy}$ формулой: $S = \frac{S_{xy}}{\cos\gamma}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{17}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{7\sqrt{17}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{7\sqrt{17}}{24}$.

63. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AB, BC, DD_1$. Найдите его площадь.

64. Изобразите

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$. Пусть $K$ – середина $AB$, $L$ – середина $BC$, $M$ – середина $DD_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его построение и форму).

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в декартовой системе координат так, что точка $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно на осях $Ox$, $Oy$, $Oz$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба: $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$ $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Середина ребра $AB$ – точка $K$. Координаты $K = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1/2, 0, 0)$.

Середина ребра $BC$ – точка $L$. Координаты $L = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (1, 1/2, 0)$.

Середина ребра $DD_1$ – точка $M$. Координаты $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 1/2)$.

Для определения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $K(1/2, 0, 0)$, $L(1, 1/2, 0)$, $M(0, 1, 1/2)$.

Векторы, лежащие в плоскости: $\vec{KL} = L - K = (1 - 1/2, 1/2 - 0, 0 - 0) = (1/2, 1/2, 0)$ $\vec{KM} = M - K = (0 - 1/2, 1 - 0, 1/2 - 0) = (-1/2, 1, 1/2)$

Нормальный вектор $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{KL} \times \vec{KM}$:

$\vec{N} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 1/2 & 0 \\ -1/2 & 1 & 1/2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1/2 \cdot 1/2 - 0 \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(1/2 \cdot 1 - 1/2 \cdot (-1/2))$

$\vec{N} = \mathbf{i}(1/4) - \mathbf{j}(1/4) + \mathbf{k}(1/2 + 1/4) = (1/4, -1/4, 3/4)$.

Для удобства умножим нормальный вектор на 4: $\vec{N}' = (1, -1, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Используя $\vec{N}' = (1, -1, 3)$ и точку $K(1/2, 0, 0)$: $1 \cdot (1/2) - 1 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = D \implies D = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y + 3z = 1/2$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба ($0 \le x,y,z \le 1$):

• Ребро $AB$: ($y=0, z=0$). $x - 0 + 0 = 1/2 \implies x = 1/2$. Это точка $K(1/2,0,0)$ (середина $AB$).

• Ребро $BC$: ($x=1, z=0$). $1 - y + 0 = 1/2 \implies y = 1/2$. Это точка $L(1,1/2,0)$ (середина $BC$).

• Ребро $CD$: ($y=1, z=0$). $x - 1 + 0 = 1/2 \implies x = 3/2$. Так как $x > 1$, точка лежит вне ребра $CD$. Сечение не пересекает $CD$.

• Ребро $AD$: ($x=0, z=0$). $0 - y + 0 = 1/2 \implies y = -1/2$. Так как $y < 0$, точка лежит вне ребра $AD$. Сечение не пересекает $AD$.

• Ребро $DD_1$: ($x=0, y=1$). $0 - 1 + 3z = 1/2 \implies 3z = 3/2 \implies z = 1/2$. Это точка $M(0,1,1/2)$ (середина $DD_1$).

• Ребро $CC_1$: ($x=1, y=1$). $1 - 1 + 3z = 1/2 \implies 3z = 1/2 \implies z = 1/6$. Это точка $R(1,1,1/6)$.

• Ребро $AA_1$: ($x=0, y=0$). $0 - 0 + 3z = 1/2 \implies 3z = 1/2 \implies z = 1/6$. Это точка $S(0,0,1/6)$.

• Для остальных ребер куба (таких как $A_1B_1$, $B_1C_1$, $C_1D_1$, $A_1D_1$, $BB_1$) аналогичные расчеты показывают, что точки пересечения лежат вне отрезков этих ребер.

Итак, вершинами сечения являются точки: $K(1/2, 0, 0)$ (середина $AB$) $L(1, 1/2, 0)$ (середина $BC$) $R(1, 1, 1/6)$ (на ребре $CC_1$) $M(0, 1, 1/2)$ (середина $DD_1$) $S(0, 0, 1/6)$ (на ребре $AA_1$)

Сечение представляет собой пятиугольник $KLRMS$. Для его изображения необходимо соединить эти точки последовательно: $K$ с $L$, $L$ с $R$, $R$ с $M$, $M$ с $S$, $S$ с $K$.

Ответ: Сечение единичного куба, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$, $DD_1$, является пятиугольником $KLRMS$, где $K$ – середина $AB$, $L$ – середина $BC$, $M$ – середина $DD_1$, $R$ – точка на ребре $CC_1$ с координатой $z=1/6$, и $S$ – точка на ребре $AA_1$ с координатой $z=1/6$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади пятиугольника $KLRMS$ воспользуемся формулой площади многоугольника, полученного проекцией на координатную плоскость: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{|\cos \gamma|}$, где $S_{проекции}$ – площадь проекции сечения на координатную плоскость, а $\gamma$ – угол между нормалью плоскости сечения и нормалью координатной плоскости. Удобно выбрать плоскость $xy$.

Координаты нормального вектора плоскости сечения $x - y + 3z = 1/2$ это $\vec{N} = (1, -1, 3)$.

Модуль нормального вектора: $|\vec{N}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ (ось $Oz$) – это $\vec{k} = (0, 0, 1)$.

Косинус угла $\gamma$ между нормалью плоскости сечения и осью $Oz$: $\cos \gamma = \frac{|\vec{N} \cdot \vec{k}|}{|\vec{N}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(1, -1, 3) \cdot (0, 0, 1)|}{\sqrt{11} \cdot 1} = \frac{|0 - 0 + 3|}{\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Теперь найдем площадь проекции пятиугольника $KLRMS$ на плоскость $xy$. Вершины проекции: $K'(1/2, 0)$ $L'(1, 1/2)$ $R'(1, 1)$ $M'(0, 1)$ $S'(0, 0)$

Эта проекция $S'K'L'R'M'$ является пятиугольником. Его площадь можно найти, вычитая из площади квадрата со стороной 1 (занимающего область $0 \le x \le 1, 0 \le y \le 1$) площадь "отсеченного" треугольника.

Площадь квадрата с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ равна $1 \cdot 1 = 1$.

"Отсеченный" треугольник имеет вершины $K'(1/2,0)$, $(1,0)$, $L'(1,1/2)$. Его основание вдоль оси $Ox$ равно $1 - 1/2 = 1/2$. Его высота (по оси $Oy$) равна $1/2$. Площадь этого треугольника равна $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot (1/2) \cdot (1/2) = 1/8$.

Площадь проекции $S_{проекции} = S_{квадрата} - S_{треугольника} = 1 - 1/8 = 7/8$.

Теперь найдем площадь сечения: $S_{сечения} = \frac{S_{проекции}}{|\cos \gamma|} = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.

64. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BC, CD, AA_1$. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $BC$, $CD$, $AA_1$.

Найти:

1. Изобразить сечение.

2. Площадь сечения.

Решение

Обозначим середины заданных ребер: точка $M$ - середина ребра $BC$; точка $N$ - середина ребра $CD$; точка $K$ - середина ребра $AA_1$.

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер $AB$, $AD$, $AA_1$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты точек: $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$, $K(0, 0, 0.5)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения выполним следующие шаги: 1. Соединим точки $M$ и $N$, так как они лежат в одной грани $ABCD$. Отрезок $MN$ является частью искомого сечения. 2. Продлим отрезок $MN$ до пересечения с линией, содержащей ребро $AD$. Точку пересечения обозначим $P$. Координаты точки $P$ можно найти из уравнения прямой $MN$: $(x,y,0) = (0.5, 1, 0) + t(0.5, -0.5, 0)$. При $x=0$, $0.5 + 0.5t = 0 \implies t=-1$. Тогда $P = (0, 1.5, 0)$. 3. Точки $P$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ADD_1A_1$ (так как их $x$-координаты равны $0$). Соединим точки $P$ и $K$. Прямая $PK$ пересекает ребро $DD_1$ в точке $Q$. Координаты точки $Q$: прямая $PK$ имеет параметрическое уравнение $(0, y, z) = (0, 0, 0.5) + s(0, 1.5, -0.5)$. Для $y=1$ (на ребре $DD_1$), $1.5s=1 \implies s=2/3$. Тогда $z = 0.5 - 0.5(2/3) = 0.5 - 1/3 = 1/6$. Таким образом, $Q(0, 1, 1/6)$. 4. Продлим отрезок $MN$ (или $NM$) до пересечения с линией, содержащей ребро $AB$. Точку пересечения обозначим $S$. Координаты точки $S$ можно найти из уравнения прямой $NM$: $(x,y,0) = (0.5, 1, 0) + t(-0.5, 0.5, 0)$. При $y=0$, $1 + 0.5t = 0 \implies t=-2$. Тогда $S = (0.5, 1, 0) - 2(-0.5, 0.5, 0) = (1.5, 0, 0)$. 5. Точки $S$ и $K$ лежат в одной плоскости грани $ABB_1A_1$ (так как их $y$-координаты равны $0$). Соединим точки $S$ и $K$. Прямая $SK$ пересекает ребро $BB_1$ в точке $R$. Координаты точки $R$: прямая $SK$ имеет параметрическое уравнение $(x, 0, z) = (0, 0, 0.5) + s(1.5, 0, -0.5)$. Для $x=1$ (на ребре $BB_1$), $1.5s=1 \implies s=2/3$. Тогда $z = 0.5 - 0.5(2/3) = 0.5 - 1/3 = 1/6$. Таким образом, $R(1, 0, 1/6)$. 6. Соединим последовательно полученные точки $K, R, M, N, Q, K$. Полученный многоугольник $KRM NQ$ является искомым сечением.

Сечение представляет собой пятиугольник $KRM NQ$ с вершинами: $K(0, 0, 0.5)$, $R(1, 0, 1/6)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$, $Q(0, 1, 1/6)$.

Ответ:

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции. Спроектируем пятиугольник $KRM NQ$ на координатную плоскость $xy$. Вершины проекции $K'R'M'N'Q'$ будут иметь следующие координаты: $K'(0, 0, 0)$, $R'(1, 0, 0)$, $M'(1, 0.5, 0)$, $N'(0.5, 1, 0)$, $Q'(0, 1, 0)$.

Площадь проекции $S_{proj}$ можно вычислить с помощью формулы Гаусса (формулы площади многоугольника по координатам вершин): $S_{proj} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_1 - y_5x_1)|$.

Подставим координаты вершин $(x_i, y_i)$: $S_{proj} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.5 \cdot 0.5) + (0.5 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 1 \cdot 0)| = \frac{1}{2} |0 + 0.5 + (1 - 0.25) + 0.5 + 0| = \frac{1}{2} |0.5 + 0.75 + 0.5| = \frac{1}{2} |1.75| = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{4} = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем нормальный вектор к плоскости сечения. Для этого используем векторы, образованные точками сечения. Возьмем точки $K(0, 0, 0.5)$, $M(1, 0.5, 0)$, $N(0.5, 1, 0)$.

Вектор $\vec{KM} = (1 - 0, 0.5 - 0, 0 - 0.5) = (1, 0.5, -0.5)$.

Вектор $\vec{KN} = (0.5 - 0, 1 - 0, 0 - 0.5) = (0.5, 1, -0.5)$.

Нормальный вектор $\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN}$: $\vec{n} = \mathbf{i}((0.5)(-0.5) - (-0.5)(1)) - \mathbf{j}((1)(-0.5) - (-0.5)(0.5)) + \mathbf{k}((1)(1) - (0.5)(0.5)) = \mathbf{i}(-0.25 + 0.5) - \mathbf{j}(-0.5 + 0.25) + \mathbf{k}(1 - 0.25) = (0.25, 0.25, 0.75)$.

Для удобства можем умножить вектор на 4: $\vec{n}' = (1, 1, 3)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ (нормальный вектор которой $\vec{k}=(0,0,1)$) вычисляется по формуле: $\cos \alpha = \frac{|\vec{n}' \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}'|| \cdot ||\vec{k}||}$.

$\vec{n}' \cdot \vec{k} = (1)(0) + (1)(0) + (3)(1) = 3$.

$||\vec{n}'|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 1 + 9} = \sqrt{11}$.

$||\vec{k}|| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1$.

$\cos \alpha = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Площадь сечения $S$ связана с площадью проекции $S_{proj}$ по формуле $S = \frac{S_{proj}}{\cos \alpha}$.

$S = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ:

65. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AD, CD, BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $CD$, $BB_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Поскольку куб единичный, его сторона $a = 1$ (условная единица длины). Все расчеты площади будут в квадратных условных единицах.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Пусть куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в декартовой системе координат так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно по осям $x$, $y$, $z$. Длина ребра куба $a = 1$.

Координаты вершин куба:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Определим координаты заданных середин ребер:

• Середина ребра $AD$: $M_1$. Координаты $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. $M_1 = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $M_2$. Координаты $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$. $M_2 = (\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5, 1, 0)$.
• Середина ребра $BB_1$: $M_3$. Координаты $B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$. $M_3 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 0.5)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(0, 0.5, 0)$, $M_2(0.5, 1, 0)$, $M_3(1, 0, 0.5)$.

Векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{M_1M_2} = (0.5 - 0, 1 - 0.5, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (1 - 0, 0 - 0.5, 0.5 - 0) = (1, -0.5, 0.5)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение $\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 1 & -0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0.5 \cdot (-0.5) - 0.5 \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0.25) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(-0.25 - 0.5) = (0.25, -0.25, -0.75)$.

Удобнее использовать пропорциональный вектор нормали, умножив на 4: $\vec{n} = (1, -1, -3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставляем координаты нормали: $x - y - 3z = D$.

Подставим координаты точки $M_1(0, 0.5, 0)$ для нахождения $D$:

$0 - 0.5 - 3(0) = D \Rightarrow D = -0.5$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y - 3z = -0.5$, или $2x - 2y - 6z = -1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AD$: $(0, y, 0)$. $2(0) - 2y - 6(0) = -1 \Rightarrow -2y = -1 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M_1(0, 0.5, 0)$.
• Ребро $CD$: $(x, 1, 0)$. $2x - 2(1) - 6(0) = -1 \Rightarrow 2x - 2 = -1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $M_2(0.5, 1, 0)$.
• Ребро $BB_1$: $(1, 0, z)$. $2(1) - 2(0) - 6z = -1 \Rightarrow 2 - 6z = -1 \Rightarrow -6z = -3 \Rightarrow z = 0.5$. Точка $M_3(1, 0, 0.5)$.
• Ребро $AA_1$: $(0, 0, z)$. $2(0) - 2(0) - 6z = -1 \Rightarrow -6z = -1 \Rightarrow z = 1/6$. Точка $P_4(0, 0, 1/6)$.
• Ребро $CC_1$: $(1, 1, z)$. $2(1) - 2(1) - 6z = -1 \Rightarrow 0 - 6z = -1 \Rightarrow z = 1/6$. Точка $P_5(1, 1, 1/6)$.

Другие ребра не пересекаются в пределах их границ $0 \le x,y,z \le 1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами $M_1(0, 0.5, 0)$, $P_4(0, 0, 1/6)$, $M_3(1, 0, 0.5)$, $P_5(1, 1, 1/6)$, $M_2(0.5, 1, 0)$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти точки последовательно: $M_1$ с $P_4$, $P_4$ с $M_3$, $M_3$ с $P_5$, $P_5$ с $M_2$, и $M_2$ с $M_1$.

Отрезок $M_1P_4$ лежит на грани $ADD_1A_1$.

Отрезок $M_2P_5$ лежит на грани $CDD_1C_1$.

Отрезок $M_1M_2$ лежит на грани $ABCD$.

Отрезки $P_4M_3$ и $M_3P_5$ лежат внутри куба.

Найдите его площадь

Площадь пятиугольника можно найти, разбив его на треугольники. Выберем одну вершину, например $M_1$, и разобьем пятиугольник $M_1P_4M_3P_5M_2$ на три треугольника: $\triangle M_1P_4M_3$, $\triangle M_1M_3P_5$, $\triangle M_1P_5M_2$. Площадь каждого треугольника можно найти как половину модуля векторного произведения двух векторов, исходящих из одной вершины.

Координаты точек:

• $M_1(0, 0.5, 0)$
• $P_4(0, 0, 1/6)$
• $M_3(1, 0, 0.5)$
• $P_5(1, 1, 1/6)$
• $M_2(0.5, 1, 0)$

1. Площадь $\triangle M_1P_4M_3$:

$\vec{M_1P_4} = (0 - 0, 0 - 0.5, 1/6 - 0) = (0, -0.5, 1/6)$

$\vec{M_1M_3} = (1 - 0, 0 - 0.5, 0.5 - 0) = (1, -0.5, 0.5)$

$\vec{S_1} = \vec{M_1P_4} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & 1/6 \\ 1 & -0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 0.5 - 1/6 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(0 \cdot 0.5 - 1/6 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-0.5) - (-0.5) \cdot 1)$

$\vec{S_1} = \mathbf{i}(-0.25 + 1/12) - \mathbf{j}(-1/6) + \mathbf{k}(0.5) = \mathbf{i}(-3/12 + 1/12) + \mathbf{j}(1/6) + \mathbf{k}(0.5) = (-1/6, 1/6, 1/2)$.

Площадь $Area_1 = \frac{1}{2} |\vec{S_1}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/36 + 1/36 + 1/4} = \frac{1}{2} \sqrt{2/36 + 9/36} = \frac{1}{2} \sqrt{11/36} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{\sqrt{11}}{12}$.

2. Площадь $\triangle M_1M_3P_5$:

$\vec{M_1M_3} = (1, -0.5, 0.5)$ (уже найдено)

$\vec{M_1P_5} = (1 - 0, 1 - 0.5, 1/6 - 0) = (1, 0.5, 1/6)$

$\vec{S_2} = \vec{M_1M_3} \times \vec{M_1P_5} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0.5 \\ 1 & 0.5 & 1/6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1/6 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/6 - 0.5 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1)$

$\vec{S_2} = \mathbf{i}(-1/12 - 1/4) - \mathbf{j}(1/6 - 1/2) + \mathbf{k}(0.5 + 0.5) = \mathbf{i}(-1/12 - 3/12) - \mathbf{j}(1/6 - 3/6) + \mathbf{k}(1) = (-4/12, -2/6, 1) = (-1/3, -1/3, 1)$.

Площадь $Area_2 = \frac{1}{2} |\vec{S_2}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/3)^2 + (-1/3)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/9 + 1/9 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2/9 + 9/9} = \frac{1}{2} \sqrt{11/9} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

3. Площадь $\triangle M_1P_5M_2$:

$\vec{M_1P_5} = (1, 0.5, 1/6)$ (уже найдено)

$\vec{M_1M_2} = (0.5, 0.5, 0)$ (уже найдено)

$\vec{S_3} = \vec{M_1P_5} \times \vec{M_1M_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 1/6 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0 - 1/6 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1/6 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.5)$

$\vec{S_3} = \mathbf{i}(-1/12) - \mathbf{j}(-1/12) + \mathbf{k}(0.5 - 0.25) = (-1/12, 1/12, 0.25) = (-1/12, 1/12, 1/4)$.

Площадь $Area_3 = \frac{1}{2} |\vec{S_3}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/12)^2 + (1/12)^2 + (1/4)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/144 + 1/144 + 1/16} = \frac{1}{2} \sqrt{2/144 + 9/144} = \frac{1}{2} \sqrt{11/144} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{12} = \frac{\sqrt{11}}{24}$.

Общая площадь сечения $Area_{total} = Area_1 + Area_2 + Area_3$:

$Area_{total} = \frac{\sqrt{11}}{12} + \frac{\sqrt{11}}{6} + \frac{\sqrt{11}}{24} = \frac{2\sqrt{11}}{24} + \frac{4\sqrt{11}}{24} + \frac{\sqrt{11}}{24} = \frac{(2+4+1)\sqrt{11}}{24} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ:

Сечение является пятиугольником с вершинами, расположенными на ребрах $AD$, $CD$, $BB_1$, $AA_1$, $CC_1$. Его площадь равна $\frac{7\sqrt{11}}{24}$ квадратных условных единиц.

66. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AD, AB, CC_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Сечение проходит через середины ребер $AD$, $AB$, $CC_1$.

Сторона куба $a=1$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для решения задачи введем систему координат. Пусть вершина $A$ куба находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты других вершин: $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$, $C=(1,1,0)$, $B_1=(1,0,1)$, $D_1=(0,1,1)$, $C_1=(1,1,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• Середина ребра $AD$ ($M$): $M = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $AB$ ($N$): $N = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (0.5, 0, 0)$.
• Середина ребра $CC_1$ ($K$): $K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 1, 0.5)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 0)$ и $K(1, 1, 0.5)$. Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz=D$.

Подставим координаты точек:

• Для $M(0, 0.5, 0)$: $A(0) + B(0.5) + C(0) = D \Rightarrow 0.5B = D$.
• Для $N(0.5, 0, 0)$: $A(0.5) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow 0.5A = D$.
• Для $K(1, 1, 0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A+B+0.5C=D$.

Пусть $D=1$. Тогда из первых двух уравнений получаем $A=2$ и $B=2$.

Подставим $A=2, B=2, D=1$ в третье уравнение: $2+2+0.5C=1 \Rightarrow 4+0.5C=1 \Rightarrow 0.5C=-3 \Rightarrow C=-6$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x+2y-6z=1$.

Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Пересечение с ребром $BB_1$ ($x=1, y=0$):$2(1)+2(0)-6z=1 \Rightarrow 2-6z=1 \Rightarrow 6z=1 \Rightarrow z=1/6$.Эта точка $L$ имеет координаты $(1, 0, 1/6)$. Она лежит на ребре $BB_1$, так как $0 \le 1/6 \le 1$.
• Пересечение с ребром $DD_1$ ($x=0, y=1$):$2(0)+2(1)-6z=1 \Rightarrow 2-6z=1 \Rightarrow 6z=1 \Rightarrow z=1/6$.Эта точка $J$ имеет координаты $(0, 1, 1/6)$. Она лежит на ребре $DD_1$, так как $0 \le 1/6 \le 1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами $M(0, 0.5, 0)$, $N(0.5, 0, 0)$, $L(1, 0, 1/6)$, $K(1, 1, 0.5)$, $J(0, 1, 1/6)$.

Изобразить сечение

Сечение представляет собой пятиугольник $MNLJK$. Его вершины расположены на ребрах куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ следующим образом:

• $M$ - середина ребра $AD$.
• $N$ - середина ребра $AB$.
• $L$ - точка на ребре $BB_1$, причем расстояние от $B$ до $L$ составляет $1/6$ длины ребра куба ($BL = 1/6$).
• $K$ - середина ребра $CC_1$.
• $J$ - точка на ребре $DD_1$, причем расстояние от $D$ до $J$ составляет $1/6$ длины ребра куба ($DJ = 1/6$).

Стороны пятиугольника $MNLJK$ соединяют эти точки: $MN$ находится в плоскости основания $ABCD$, $NL$ находится в грани $ABB_1A_1$, $LK$ находится в грани $BCC_1B_1$, $KJ$ находится в грани $CDD_1C_1$, и $JM$ находится в грани $ADD_1A_1$. Пятиугольник является выпуклым.

Ответ: Описание представлено выше.

Найти его площадь

Для нахождения площади пятиугольника $MNLJK$ воспользуемся методом проекции. Площадь проекции $S_{proj}$ фигуры на плоскость связана с площадью самой фигуры $S$ по формуле $S = S_{proj} / \cos\gamma$, где $\gamma$ - угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Уравнение плоскости сечения: $2x+2y-6z=1$.

Вектор нормали к этой плоскости: $\vec{n} = (2,2,-6)$.

Проектируем пятиугольник на координатную плоскость $xy$ (плоскость $z=0$). Вектор нормали к плоскости $xy$ это $\vec{k}=(0,0,1)$.

Модуль вектора нормали: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2+2^2+(-6)^2} = \sqrt{4+4+36} = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}$.

Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:

$\cos\gamma = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}||\vec{k}|} = \frac{|(2)(0) + (2)(0) + (-6)(1)|}{2\sqrt{11}\cdot 1} = \frac{|-6|}{2\sqrt{11}} = \frac{6}{2\sqrt{11}} = \frac{3}{\sqrt{11}}$.

Проекции вершин пятиугольника на плоскость $xy$:

• $M_{xy} = (0,0.5)$
• $N_{xy} = (0.5,0)$
• $L_{xy} = (1,0)$
• $K_{xy} = (1,1)$
• $J_{xy} = (0,1)$

Эта проекция представляет собой квадрат с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ (единичный квадрат) за вычетом прямоугольного треугольника с вершинами $(0,0), (0.5,0), (0,0.5)$.

Площадь единичного квадрата $S_{square} = 1 \times 1 = 1$.

Площадь вырезанного треугольника (с вершинами $(0,0), (0.5,0), (0,0.5)$) $S_{triangle} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 0.5 \times 0.5 = \frac{1}{2} \times 0.25 = 0.125$.

Площадь проекции пятиугольника $S_{xy} = S_{square} - S_{triangle} = 1 - 0.125 = 0.875 = \frac{7}{8}$.

Теперь найдем площадь самого сечения:

$S = \frac{S_{xy}}{\cos\gamma} = \frac{7/8}{3/\sqrt{11}} = \frac{7}{8} \cdot \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ: $\frac{7\sqrt{11}}{24}$.

67. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
Сечение проходит через следующие точки:
1. Середина ребра $AA_1$, обозначим ее $M$.
2. Середина ребра $CC_1$, обозначим ее $N$.
3. Точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0,75$, обозначим ее $P$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для определения сечения введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, вершины будут иметь следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$
$C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $M$ (середина $AA_1$): $M(0,0,0.5)$

• $N$ (середина $CC_1$): $N(1,1,0.5)$

• $P$ (на $AB$, $AP=0.75$): $P(0.75,0,0)$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M$, $N$, $P$. Общий вид уравнения плоскости: $Ax+By+Cz=D$.
Подставим координаты точек:

• Для $M(0,0,0.5)$: $A(0) + B(0) + C(0.5) = D \Rightarrow 0.5C = D \Rightarrow C = 2D$.

• Для $N(1,1,0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + B + 0.5C = D$. Подставим $C=2D$: $A+B+D = D \Rightarrow A+B=0 \Rightarrow B = -A$.

• Для $P(0.75,0,0)$: $A(0.75) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow 0.75A = D \Rightarrow A = D/0.75 = 4D/3$.

Примем $D=3$ (для удобства вычислений). Тогда $A=4$, $B=-4$, $C=6$.
Уравнение плоскости сечения: $4x - 4y + 6z = 3$.
Разделив на 2, получим более простое уравнение: $2x - 2y + 3z = 1.5$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (где $0 \le x,y,z \le 1$).

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $3z = 1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $M(0,0,0.5)$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) + 3z = 1.5 \Rightarrow 3z = 1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $N(1,1,0.5)$.

• Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$. Получаем точку $P(0.75,0,0)$.

• Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 2y + 3(0) = 1.5 \Rightarrow 2 - 2y = 1.5 \Rightarrow 2y = 0.5 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $Q(1,0.25,0)$.

• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) + 3(1) = 1.5 \Rightarrow 2x + 1 = 1.5 \Rightarrow 2x = 0.5 \Rightarrow x = 0.25$. Получаем точку $R(0.25,1,1)$.

• Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $-2y + 3(1) = 1.5 \Rightarrow -2y = -1.5 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $S(0,0.75,1)$.

Проверкой остальных ребер убеждаемся, что других точек пересечения с кубом нет в пределах ребер. Таким образом, сечение является шестиугольником $PQNRSM$.

Изобразите сечение

Сечение представляет собой плоский шестиугольник $PQNRSM$. Для его изображения необходимо построить куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметить на его ребрах найденные точки:

• Точка $P$ на ребре $AB$ на расстоянии $0.75$ от $A$.

• Точка $Q$ на ребре $BC$ на расстоянии $0.25$ от $B$ (или $0.75$ от $C$).

• Точка $N$ — середина ребра $CC_1$.

• Точка $R$ на ребре $C_1D_1$ на расстоянии $0.25$ от $D_1$ (или $0.75$ от $C_1$).

• Точка $S$ на ребре $D_1A_1$ на расстоянии $0.25$ от $D_1$ (или $0.75$ от $A_1$).

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.

Соединив эти точки последовательно отрезками $PQ$, $QN$, $NR$, $RS$, $SM$, $MP$, получим контур искомого сечения.

Ответ: Сечение является шестиугольником $PQNRSM$ с указанными координатами вершин.

Найдите его площадь

Площадь сечения $S_{sec}$ можно вычислить, используя формулу проекции площади. Площадь проекции $S_{proj}$ плоской фигуры на координатную плоскость связана с ее истинной площадью $S_{sec}$ соотношением $S_{sec} = S_{proj} / \cos\theta$, где $\theta$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В данном случае, нормальный вектор плоскости сечения $2x - 2y + 3z = 1.5$ равен $\vec{n} = (2, -2, 3)$.

Длина нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ (плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:
$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|(2,-2,3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Проекция шестиугольника $PQNRSM$ на плоскость $xy$ (обозначим вершины штрихами) имеет следующие координаты:

• $M'(0,0)$

• $P'(0.75,0)$

• $Q'(1,0.25)$

• $N'(1,1)$

• $R'(0.25,1)$

• $S'(0,0.75)$

Площадь проекции $S_{proj}$ вычисляется по формуле "площади шнурков" (Shoelace formula):
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_6 + x_6y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_6 + y_6x_1) |$.
Подставляем координаты вершин в порядке $M', P', Q', N', R', S'$:

Сумма произведений $x_iy_{i+1}$ (прямой ход):
$0 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0.25 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.25 \cdot 0.75 + 0 \cdot 0 = 0 + 0.1875 + 1 + 1 + 0.1875 + 0 = 2.375$.

Сумма произведений $y_ix_{i+1}$ (обратный ход):
$0 \cdot 0.75 + 0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 1 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0 = 0 + 0 + 0.25 + 0.25 + 0 + 0 = 0.5$.

$S_{proj} = \frac{1}{2} |2.375 - 0.5| = \frac{1}{2} |1.875| = 0.9375$.

Дробное представление: $0.9375 = \frac{9375}{10000} = \frac{15}{16}$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{sec}$:

$S_{sec} = S_{proj} / \cos\theta = \frac{15}{16} / \frac{3}{\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{17}}{16}$.

68. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на $0.75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

• $M$ — середина ребра $AA_1$.
• $N$ — середина ребра $CC_1$.
• $K$ — точка на ребре $AD$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изображение сечения:

Для построения сечения и определения его вершин введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим по ребрам $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Координаты $M(0,0,0.5)$.
• Точка $N$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $N(1,1,0.5)$.
• Точка $K$ на ребре $AD$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$. Так как $AD$ лежит на оси $y$, координаты $K(0,0.75,0)$.

Определим уравнение плоскости сечения, проходящей через точки $M(0,0,0.5)$, $N(1,1,0.5)$ и $K(0,0.75,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{MK} = K - M = (0-0, 0.75-0, 0-0.5) = (0, 0.75, -0.5)$

$\vec{MN} = N - M = (1-0, 1-0, 0.5-0.5) = (1, 1, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости сечения перпендикулярен обоим этим векторам. Найдем его с помощью векторного произведения:

$\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0.75 & -0.5 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.75 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1)$

$\vec{n} = (0.5, -0.5, -0.75)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$0.5x - 0.5y - 0.75z + D = 0$.

Используем точку $M(0,0,0.5)$ для нахождения $D$:

$0.5(0) - 0.5(0) - 0.75(0.5) + D = 0$

$-0.375 + D = 0 \Rightarrow D = 0.375$

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $0.5x - 0.5y - 0.75z + 0.375 = 0$.

Для удобства умножим уравнение на 4: $2x - 2y - 3z + 1.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Уже известные точки $M, N, K$ являются такими точками. Найдем остальные:

• Пересечение с ребром $CD$ (на нижней грани, $y=1, z=0$):
  $2x - 2(1) - 3(0) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x - 2 + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 0.5 \Rightarrow x = 0.25$.
  Получим точку $P_1(0.25,1,0)$. Она лежит на ребре $CD$, так как $0 < 0.25 < 1$.
• Пересечение с ребром $A_1B_1$ (на верхней грани, $y=0, z=1$):
  $2x - 2(0) - 3(1) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x - 3 + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$.
  Получим точку $P_2(0.75,0,1)$. Она лежит на ребре $A_1B_1$, так как $0 < 0.75 < 1$.
• Пересечение с ребром $B_1C_1$ (на верхней грани, $x=1, z=1$):
  $2(1) - 2y - 3(1) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2 - 2y - 3 + 1.5 = 0 \Rightarrow -2y + 0.5 = 0 \Rightarrow 2y = 0.5 \Rightarrow y = 0.25$.
  Получим точку $P_3(1,0.25,1)$. Она лежит на ребре $B_1C_1$, так как $0 < 0.25 < 1$.

Все найденные точки ($M, N, K, P_1, P_2, P_3$) лежат на ребрах куба. Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с этими шестью вершинами. Упорядочим их по обходу периметра:

$K(0,0.75,0) \rightarrow P_1(0.25,1,0) \rightarrow N(1,1,0.5) \rightarrow P_3(1,0.25,1) \rightarrow P_2(0.75,0,1) \rightarrow M(0,0,0.5) \rightarrow K(0,0.75,0)$.

Это шестиугольник $KP_1NP_3P_2M$.

Стороны этого шестиугольника лежат на гранях куба:

• $KP_1$ лежит на нижней грани $ABCD$.
• $P_1N$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
• $NP_3$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• $P_3P_2$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $P_2M$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.
• $MK$ лежит на левой грани $ADD_1A_1$.

Площадь сечения:

Площадь многоугольника в пространстве можно найти по формуле $S = S_{пр} / \cos\alpha$, где $S_{пр}$ — площадь проекции сечения на координатную плоскость, а $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (0.5, -0.5, -0.75)$. Выберем $xy$-плоскость для проекции. Вектор нормали к $xy$-плоскости $\vec{k} = (0,0,1)$.

$\cos\alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|0.5 \cdot 0 + (-0.5) \cdot 0 + (-0.75) \cdot 1|}{\sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2 + (-0.75)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}$

$\cos\alpha = \frac{|-0.75|}{\sqrt{0.25 + 0.25 + 0.5625}} = \frac{0.75}{\sqrt{1.0625}}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0.75 = \frac{3}{4}$, $1.0625 = \frac{10625}{10000} = \frac{17}{16}$.

$\cos\alpha = \frac{3/4}{\sqrt{17/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{17}/4} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Теперь найдем площадь проекции шестиугольника $K'P_1'N'P_3'P_2'M'$ на $xy$-плоскость. Координаты вершин проекции (просто отбрасываем $z$-координаты):

• $K'(0,0.75)$
• $P_1'(0.25,1)$
• $N'(1,1)$
• $P_3'(1,0.25)$
• $P_2'(0.75,0)$
• $M'(0,0)$

Используем формулу "шнурков" (Shoelace formula) для площади многоугольника по его плоским координатам:

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_6 + x_6y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_6 + y_6x_1)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 1 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0 + 0 \cdot 0.75) - (0.75 \cdot 0.25 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.25 \cdot 0.75 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(0 + 0.25 + 0.25 + 0 + 0 + 0) - (0.1875 + 1 + 1 + 0.1875 + 0 + 0)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |0.5 - 2.375| = \frac{1}{2} |-1.875| = \frac{1.875}{2} = 0.9375$

Переведем площадь проекции в обыкновенную дробь: $0.9375 = \frac{9375}{10000} = \frac{15}{16}$.

Теперь найдем искомую площадь сечения:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos\alpha} = \frac{15/16}{3/\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ:

Сечение представляет собой шестиугольник $K P_1 N P_3 P_2 M$, где $K(0,0.75,0)$, $P_1(0.25,1,0)$, $N(1,1,0.5)$, $P_3(1,0.25,1)$, $P_2(0.75,0,1)$, $M(0,0,0.5)$. Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{17}}{16}$ квадратных единиц.

69. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

1. Середина ребра $BB_1$. Обозначим эту точку $M$.

2. Середина ребра $DD_1$. Обозначим эту точку $N$.

3. Точка на ребре $BC$, отстоящая от вершины $C$ на 0.25. Обозначим эту точку $P$.

Перевод в систему СИ:

Сторона куба $a = 1$ ед. (единица длины).

Точка $M$ - середина $BB_1$, значит, $BM = MB_1 = 0.5 \cdot a = 0.5$ ед.

Точка $N$ - середина $DD_1$, значит, $DN = ND_1 = 0.5 \cdot a = 0.5$ ед.

Точка $P$ на ребре $BC$, $CP = 0.25 \cdot a = 0.25$ ед. Тогда $BP = BC - CP = 1 - 0.25 = 0.75$ ед.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

Введем систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$.

Тогда вершины куба имеют следующие координаты:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

1. Точка $M$ - середина $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$.

$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

2. Точка $N$ - середина $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$.

$N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

3. Точка $P$ на ребре $BC$, $CP=0.25$. Координаты $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$. Точка $P$ находится на расстоянии 0.25 от $C$ вдоль ребра $BC$.

$P_x = 1$. $P_y = C_y - 0.25 = 1 - 0.25 = 0.75$. $P_z = 0$.

$P = (1,0.75,0)$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$, $P(1,0.75,0)$.

Общее уравнение плоскости: $Ax+By+Cz+D=0$.

Для $M$: $A(1) + B(0) + C(0.5) + D = 0 \implies A + 0.5C + D = 0$ (1)

Для $N$: $A(0) + B(1) + C(0.5) + D = 0 \implies B + 0.5C + D = 0$ (2)

Для $P$: $A(1) + B(0.75) + C(0) + D = 0 \implies A + 0.75B + D = 0$ (3)

Из (1) и (2) следует $A=B$. Пусть $A=B=k$.

Подставим $A=k$ в (1): $k + 0.5C + D = 0 \implies D = -k - 0.5C$.

Подставим $A=k$ и $B=k$ в (3): $k + 0.75k + D = 0 \implies 1.75k + D = 0 \implies D = -1.75k$.

Приравниваем выражения для $D$: $-k - 0.5C = -1.75k \implies 0.75k = 0.5C \implies C = \frac{0.75}{0.5}k = 1.5k$.

Пусть $k=2$ для удобства (любое $k \ne 0$ даст то же уравнение плоскости, умноженное на константу).

$A=2, B=2, C=1.5 \cdot 2 = 3$.

$D = -1.75 \cdot 2 = -3.5$.

Уравнение плоскости: $2x+2y+3z-3.5=0$, или, умножив на 2, $4x+4y+6z-7=0$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

1. Ребра на нижней грани ($z=0$): $4x+4y-7=0$.

- Ребро $BC$ ($x=1$, $0 \le y \le 1$): $4(1)+4y-7=0 \implies 4y-3=0 \implies y=0.75$. Точка $P(1,0.75,0)$.

- Ребро $CD$ ($y=1$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(1)-7=0 \implies 4x-3=0 \implies x=0.75$. Точка $Q_2(0.75,1,0)$.

- Ребро $AD$ ($x=0$, $0 \le y \le 1$): $4(0)+4y-7=0 \implies 4y=7 \implies y=1.75$. Вне ребра.

- Ребро $AB$ ($y=0$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(0)-7=0 \implies 4x=7 \implies x=1.75$. Вне ребра.

2. Ребра на верхней грани ($z=1$): $4x+4y+6(1)-7=0 \implies 4x+4y-1=0$.

- Ребро $A_1B_1$ ($y=0$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(0)-1=0 \implies 4x=1 \implies x=0.25$. Точка $Q_1(0.25,0,1)$.

- Ребро $D_1A_1$ ($x=0$, $0 \le y \le 1$): $4(0)+4y-1=0 \implies 4y=1 \implies y=0.25$. Точка $Q_3(0,0.25,1)$.

- Ребро $B_1C_1$ ($x=1$, $0 \le y \le 1$): $4(1)+4y-1=0 \implies 4y+3=0 \implies y=-0.75$. Вне ребра.

- Ребро $C_1D_1$ ($y=1$, $0 \le x \le 1$): $4x+4(1)-1=0 \implies 4x+3=0 \implies x=-0.75$. Вне ребра.

3. Вертикальные ребра:

- Ребро $BB_1$ ($x=1, y=0$, $0 \le z \le 1$): $4(1)+4(0)+6z-7=0 \implies 6z-3=0 \implies z=0.5$. Точка $M(1,0,0.5)$.

- Ребро $DD_1$ ($x=0, y=1$, $0 \le z \le 1$): $4(0)+4(1)+6z-7=0 \implies 6z-3=0 \implies z=0.5$. Точка $N(0,1,0.5)$.

- Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $4(0)+4(0)+6z-7=0 \implies 6z=7 \implies z=7/6$. Вне ребра.

- Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $4(1)+4(1)+6z-7=0 \implies 1+6z=0 \implies z=-1/6$. Вне ребра.

Таким образом, сечение является шестиугольником с вершинами:

$P(1, 0.75, 0)$ на ребре $BC$.

$Q_2(0.75, 1, 0)$ на ребре $CD$.

$N(0, 1, 0.5)$ на ребре $DD_1$.

$Q_3(0, 0.25, 1)$ на ребре $D_1A_1$.

$Q_1(0.25, 0, 1)$ на ребре $A_1B_1$.

$M(1, 0, 0.5)$ на ребре $BB_1$.

Порядок обхода вершин: $P \to Q_2 \to N \to Q_3 \to Q_1 \to M \to P$.

Две стороны шестиугольника, $PQ_2$ и $Q_3Q_1$, лежат в плоскостях основания и крыши соответственно и параллельны друг другу. Их длина составляет $PQ_2 = \sqrt{(1-0.75)^2 + (0.75-1)^2} = \sqrt{0.25^2 + (-0.25)^2} = \sqrt{0.0625+0.0625} = \sqrt{0.125} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Остальные четыре стороны равны по длине, например, $Q_2N = \sqrt{(0.75-0)^2 + (1-1)^2 + (0-0.5)^2} = \sqrt{0.75^2 + (-0.5)^2} = \sqrt{0.5625+0.25} = \sqrt{0.8125} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.

Ответ: Сечение представляет собой шестиугольник $P Q_2 N Q_3 Q_1 M$.

Площадь сечения

Используем метод проекции. Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{proj}$ на одну из координатных плоскостей формулой $S = \frac{S_{proj}}{|\cos\alpha|}$, где $\alpha$ - угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Выберем плоскость $xy$ (плоскость основания куба) для проекции. Проекция шестиугольника на плоскость $xy$ имеет вершины:

$P_{xy}(1, 0.75)$

$Q_{2xy}(0.75, 1)$

$N_{xy}(0, 1)$

$Q_{3xy}(0, 0.25)$

$Q_{1xy}(0.25, 0)$

$M_{xy}(1, 0)$

Площадь этой проекции можно найти, вычтя площади двух треугольников из площади квадрата $A'B'C'D'$ (проекции куба):

Проекция является квадратом $A(0,0)$, $B(1,0)$, $C(1,1)$, $D(0,1)$ за вычетом двух угловых треугольников.

1. Треугольник в верхнем правом углу (возле $C(1,1)$): его вершины $(1,1)$, $Q_{2xy}(0.75,1)$, $P_{xy}(1,0.75)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $1-0.75=0.25$ и $1-0.75=0.25$.

Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{32}$.

2. Треугольник в нижнем левом углу (возле $A(0,0)$): его вершины $(0,0)$, $Q_{1xy}(0.25,0)$, $Q_{3xy}(0,0.25)$. Это прямоугольный треугольник с катетами $0.25$ и $0.25$.

Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.25 \cdot 0.25 = \frac{1}{32}$.

Площадь проекции $S_{proj} = (\text{Площадь квадрата } A'B'C'D') - S_1 - S_2 = 1 \cdot 1 - \frac{1}{32} - \frac{1}{32} = 1 - \frac{2}{32} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.

Вектор нормали к плоскости сечения $4x+4y+6z-7=0$ есть $\vec{n} = (4,4,6)$.

Вектор нормали к плоскости $xy$ (плоскости основания) есть $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$ находится по формуле:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{||\vec{n}|| \cdot ||\vec{k}||}$

Скалярное произведение $\vec{n} \cdot \vec{k} = 4(0) + 4(0) + 6(1) = 6$.

Модуль вектора $\vec{n}$: $||\vec{n}|| = \sqrt{4^2+4^2+6^2} = \sqrt{16+16+36} = \sqrt{68} = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17}$.

Модуль вектора $\vec{k}$: $||\vec{k}|| = \sqrt{0^2+0^2+1^2} = 1$.

Тогда $\cos\alpha = \frac{6}{2\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Площадь сечения $S = \frac{S_{proj}}{\cos\alpha} = \frac{15/16}{3/\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{17}}{16}$ квадратных единиц.

70. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$. Длина ребра куба $a = 1$.

Точка $M$ - середина ребра $BB_1$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$.

Точка $K$ на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.25$.

Перевод в СИ:

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a=1$ (безразмерная величина). Все координаты и расстояния также безразмерны.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Для решения задачи введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направим вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно.

Координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Определим координаты заданных точек:

1. Точка $K$ лежит на ребре $AB$. Поскольку $AK=0.25$ и $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, координаты точки $K$ будут $K(0.25, 0, 0)$.

2. Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$, $B_1(1,0,1)$. Значит, $M\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = M(1, 0, 0.5)$.

3. Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$, $D_1(0,1,1)$. Значит, $N\left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = N(0, 1, 0.5)$.

Сечение проходит через точки $K(0.25, 0, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $N(0, 1, 0.5)$.

Для определения полного сечения, найдем уравнение плоскости, проходящей через эти три точки.

Найдем векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{KM} = M - K = (1 - 0.25, 0 - 0, 0.5 - 0) = (0.75, 0, 0.5)$

$\vec{KN} = N - K = (0 - 0.25, 1 - 0, 0.5 - 0) = (-0.25, 1, 0.5)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости сечения перпендикулярен векторам $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$. Его можно найти как векторное произведение этих векторов:

$\vec{n} = \vec{KM} \times \vec{KN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.75 & 0 & 0.5 \\ -0.25 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.75 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.25)) + \mathbf{k}(0.75 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.25))$

$\vec{n} = -0.5\mathbf{i} - (0.375 + 0.125)\mathbf{j} + 0.75\mathbf{k}$

$\vec{n} = (-0.5, -0.5, 0.75)$

Для упрощения вычислений, умножим компоненты вектора нормали на 4, получим $\vec{n} = (-2, -2, 3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты $\vec{n}$, получаем $-2x - 2y + 3z + D = 0$.

Подставим координаты точки $K(0.25, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$-2(0.25) - 2(0) + 3(0) + D = 0$

$-0.5 + D = 0 \Rightarrow D = 0.5$

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $-2x - 2y + 3z + 0.5 = 0$, или $2x + 2y - 3z - 0.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба.

Рассмотрим ребро $C_1D_1$. Для точек на этом ребре $y=1$ и $z=1$. Подставим эти значения в уравнение плоскости:

$2x + 2(1) - 3(1) - 0.5 = 0$

$2x + 2 - 3 - 0.5 = 0$

$2x - 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$

Полученная точка $L(0.75, 1, 1)$ лежит на ребре $C_1D_1$, так как ее $x$-координата находится в диапазоне $[0, 1]$.

Таким образом, сечение является четырехугольником с вершинами $K(0.25, 0, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $L(0.75, 1, 1)$, $N(0, 1, 0.5)$.

Визуализация сечения:

Сечение проходит через $K$ на ребре $AB$, $M$ на ребре $BB_1$, $N$ на ребре $DD_1$ и $L$ на ребре $C_1D_1$.

Определим вид этого четырехугольника, проверив параллельность его сторон:

Вектор $\vec{KM} = (0.75, 0, 0.5)$

Вектор $\vec{NL} = L - N = (0.75 - 0, 1 - 1, 1 - 0.5) = (0.75, 0, 0.5)$

Так как $\vec{KM} = \vec{NL}$, стороны $KM$ и $NL$ параллельны и равны по длине. Следовательно, четырехугольник $KMLN$ является параллелограммом.

Площадь параллелограмма, построенного на векторах $\vec{u}$ и $\vec{v}$, равна модулю их векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}|$. В качестве смежных сторон параллелограмма $KMLN$ возьмем векторы $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ (где $K, M, N$ - последовательные вершины $K-M$ и $K-N$ как смежные стороны).

(Примечание: $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$ не являются смежными сторонами параллелограмма $KMLN$. Смежные стороны параллелограмма $KMLN$ - это $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$, если $N$ это вершина. Или $\vec{KM}$ и $\vec{KL}$, если $L$ вершина. Мы определили, что $KMLN$ это последовательность вершин. Тогда смежные стороны - $\vec{KM}$ и $\vec{MN}$.)

Исправим: Площадь параллелограмма $KMLN$ определяется как модуль векторного произведения векторов, исходящих из одной вершины, например, $\vec{KM}$ и $\vec{KN}$.

Мы уже вычислили $\vec{KM} \times \vec{KN} = (-0.5, -0.5, 0.75)$.

Площадь $S = |\vec{KM} \times \vec{KN}| = \sqrt{(-0.5)^2 + (-0.5)^2 + (0.75)^2}$

$S = \sqrt{0.25 + 0.25 + (3/4)^2}$

$S = \sqrt{0.5 + 9/16}$

$S = \sqrt{8/16 + 9/16}$

$S = \sqrt{17/16}$

$S = \frac{\sqrt{17}}{4}$

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{17}}{4}$.

71. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на 0.25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с длиной ребра $a = 1$.

Сечение проходит через:

• Середину ребра $AA_1$, обозначим $M_1$.

• Середину ребра $CC_1$, обозначим $M_2$.

• Точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,25$, обозначим $P$.

Единицы измерения не указаны, поэтому все длины в условных единицах, площади в квадратных условных единицах.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Определение координат вершин куба и заданных точек.

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $D = (0,1,0)$

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (1,1,1)$

• $D_1 = (0,1,1)$

Координаты заданных точек:

• $M_1$ (середина $AA_1$) $= (\frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (0,0,0.5)$.

• $M_2$ (середина $CC_1$) $= (\frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1,1,0.5)$.

• $P$ (на ребре $AB$, $AP=0.25$) $= (0.25,0,0)$.

Нахождение уравнения плоскости сечения.

Для определения уравнения плоскости, проходящей через три точки $P(0.25,0,0)$, $M_1(0,0,0.5)$ и $M_2(1,1,0.5)$, найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

• Вектор $\vec{PM_1} = M_1 - P = (0-0.25, 0-0, 0.5-0) = (-0.25, 0, 0.5)$.

• Вектор $\vec{PM_2} = M_2 - P = (1-0.25, 1-0, 0.5-0) = (0.75, 1, 0.5)$.

Вектор нормали $\vec{N}$ к плоскости равен векторному произведению этих векторов:

$\vec{N} = \vec{PM_1} \times \vec{PM_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -0.25 & 0 & 0.5 \\ 0.75 & 1 & 0.5 \end{vmatrix}$

$\vec{N} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(-0.25 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.75) + \mathbf{k}(-0.25 \cdot 1 - 0 \cdot 0.75)$

$\vec{N} = \mathbf{i}(-0.5) - \mathbf{j}(-0.125 - 0.375) + \mathbf{k}(-0.25)$

$\vec{N} = (-0.5, 0.5, -0.25)$.

Для удобства вычислений умножим вектор нормали на $-4$: $\vec{N'} = (2, -2, 1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты $\vec{N'}$: $2x - 2y + z + D = 0$.

Используем точку $P(0.25,0,0)$ для нахождения $D$:

$2(0.25) - 2(0) + 0 + D = 0$

$0.5 + D = 0 \Rightarrow D = -0.5$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x - 2y + z - 0.5 = 0$.

Построение сечения (определение вершин многоугольника).

Сечение куба плоскостью представляет собой многоугольник, вершины которого являются точками пересечения плоскости с ребрами куба. Найдем эти точки, учитывая, что координаты должны быть в диапазоне $[0,1]$.

• Пересечение с гранью $ABCD$ (нижняя грань, $z=0$):
  

  $2x - 2y - 0.5 = 0 \Rightarrow 4x - 4y = 1$.

  • С ребром $AB$ ($y=0$): $4x = 1 \Rightarrow x = 0.25$. Это точка $P(0.25,0,0)$ (уже заданная).

  • С ребром $BC$ ($x=1$): $4(1) - 4y = 1 \Rightarrow 4 - 4y = 1 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $Q(1,0.75,0)$.

• Пересечение с гранью $A_1B_1C_1D_1$ (верхняя грань, $z=1$):
  

  $2x - 2y + 1 - 0.5 = 0 \Rightarrow 4x - 4y = -1$.

  • С ребром $A_1D_1$ ($x=0$): $-4y = -1 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $R(0,0.25,1)$.

  • С ребром $C_1D_1$ ($y=1$): $4x - 4(1) = -1 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0.75$. Получаем точку $S(0.75,1,1)$.

• Пересечение с гранью $AA_1D_1D$ (левая грань, $x=0$):
  

  $-2y + z - 0.5 = 0$.

  • С ребром $AA_1$ ($y=0$): $z = 0.5$. Это точка $M_1(0,0,0.5)$ (уже заданная).

• Пересечение с гранью $BB_1C_1C$ (правая грань, $x=1$):
  

  $2(1) - 2y + z - 0.5 = 0 \Rightarrow -2y + z = -1.5$.

  • С ребром $CC_1$ ($y=1$): $-2(1) + z = -1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Это точка $M_2(1,1,0.5)$ (уже заданная).

В результате, вершины сечения в порядке обхода являются:

• $P(0.25,0,0)$ (на $AB$)

• $Q(1,0.75,0)$ (на $BC$)

• $M_2(1,1,0.5)$ (на $CC_1$)

• $S(0.75,1,1)$ (на $C_1D_1$)

• $R(0,0.25,1)$ (на $A_1D_1$)

• $M_1(0,0,0.5)$ (на $AA_1$)

Таким образом, сечение представляет собой шестиугольник $PQM_2SRM_1$.

Отрезки сечения лежат на гранях куба:

• $PM_1$ лежит на передней грани $ABA_1B_1$ ($y=0$).

• $M_1R$ лежит на левой грани $AA_1D_1D$ ($x=0$).

• $RS$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$).

• $SM_2$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$ ($y=1$).

• $M_2Q$ лежит на правой грани $BB_1C_1C$ ($x=1$).

• $QP$ лежит на нижней грани $ABCD$ ($z=0$).

Вычисление площади сечения.

Площадь плоской фигуры можно вычислить, спроецировав ее на одну из координатных плоскостей, вычислив площадь проекции, и разделив ее на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения: $\vec{N'} = (2, -2, 1)$. Его длина: $|\vec{N'}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Выберем проекцию на плоскость $XY$ ($z=0$). Вектор нормали к плоскости $XY$ равен $\mathbf{k}=(0,0,1)$.

Косинус угла $\alpha$ между плоскостью сечения и плоскостью $XY$ равен:

$\cos\alpha = \frac{|\vec{N'} \cdot \mathbf{k}|}{|\vec{N'}| \cdot |\mathbf{k}|} = \frac{|(2,-2,1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|1|}{3} = \frac{1}{3}$.

Проекция шестиугольника $PQM_2SRM_1$ на плоскость $XY$ имеет следующие вершины:

• $P_{xy}(0.25,0)$

• $Q_{xy}(1,0.75)$

• $M_{2xy}(1,1)$

• $S_{xy}(0.75,1)$

• $R_{xy}(0,0.25)$

• $M_{1xy}(0,0)$

Площадь проекции $S_{xy}$ вычислим по формуле площади Гаусса (Shoelace formula):

$S_{xy} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_6 - y_5x_6) + (x_6y_1 - y_6x_1) |$

$2 S_{xy} = (0.25 \cdot 0.75 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0.75) + (0.75 \cdot 0.25 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.25)$

$2 S_{xy} = (0.1875 - 0) + (1 - 0.75) + (1 - 0.75) + (0.1875 - 0) + 0 + 0$

$2 S_{xy} = 0.1875 + 0.25 + 0.25 + 0.1875 = 0.875$.

$S_{xy} = \frac{0.875}{2} = 0.4375$.

Площадь сечения $S$ равна:

$S = \frac{S_{xy}}{\cos\alpha} = \frac{0.4375}{1/3} = 0.4375 \cdot 3 = 1.3125$.

В виде обыкновенной дроби: $0.4375 = \frac{7}{16}$.

$S = \frac{7}{16} \cdot 3 = \frac{21}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $1.3125$ или $\frac{21}{16}$ квадратных условных единиц.

72. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на 0,25. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
Сечение проходит через три точки:

• Точка $M$ - середина ребра $AA_1$.
• Точка $N$ - середина ребра $CC_1$.
• Точка $P$ на ребре $AD$, такая что $AP = 0.25$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Для построения сечения в единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (где $A$ - нижняя левая передняя вершина):

1. Отметим точку $M$ как середину ребра $AA_1$. ($AM = MA_1 = 0.5a$).
2. Отметим точку $N$ как середину ребра $CC_1$. ($CN = NC_1 = 0.5a$).
3. Отметим точку $P$ на ребре $AD$ на расстоянии $0.25a$ от вершины $A$.
4. Соединим точки $M$ и $P$. Отрезок $MP$ лежит в грани $ADDA_1$.
5. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит внутри куба, он параллелен диагонали основания $AC$.
6. Для определения других вершин сечения, необходимо найти точки пересечения плоскости, проходящей через $M$, $N$, $P$, с другими ребрами куба. Пусть куб расположен в декартовой системе координат так, что $A=(0,0,0)$, $B=(1,0,0)$, $D=(0,1,0)$, $A_1=(0,0,1)$. Тогда координаты заданных точек:
   • $M = (0,0,0.5)$
   • $N = (1,1,0.5)$
   • $P = (0,0.25,0)$
   Уравнение плоскости $Ax+By+Cz=D$, проходящей через эти три точки, можно найти, подставив их координаты:
   Для $P(0, 0.25, 0)$: $B(0.25) = D \Rightarrow B = 4D$.
   Для $M(0, 0, 0.5)$: $C(0.5) = D \Rightarrow C = 2D$.
   Для $N(1, 1, 0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + 4D + 2D(0.5) = D \Rightarrow A + 4D + D = D \Rightarrow A = -4D$.
   Разделив на $D$ (при $D \ne 0$), получаем уравнение плоскости: $-4x + 4y + 2z = 1$, или $4x - 4y - 2z = -1$.
7. Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:
   • Пересечение с ребром $CD$ (y=1, z=0): $4x - 4(1) - 2(0) = -1 \Rightarrow 4x = 3 \Rightarrow x = 0.75$. Точка $Q = (0.75, 1, 0)$.
   • Пересечение с ребром $B_1C_1$ (x=1, z=1): $4(1) - 4y - 2(1) = -1 \Rightarrow 2 - 4y = -1 \Rightarrow 4y = 3 \Rightarrow y = 0.75$. Точка $S = (1, 0.75, 1)$.
   • Пересечение с ребром $A_1B_1$ (y=0, z=1): $4x - 4(0) - 2(1) = -1 \Rightarrow 4x = 1 \Rightarrow x = 0.25$. Точка $R = (0.25, 0, 1)$.
   Таким образом, точками сечения являются $P(0,0.25,0)$, $Q(0.75,1,0)$, $N(1,1,0.5)$, $S(1,0.75,1)$, $R(0.25,0,1)$, $M(0,0,0.5)$.
8. Соединим последовательно эти точки: $P \to Q \to N \to S \to R \to M \to P$. Полученный многоугольник $PQRNSM$ является искомым сечением. Это шестиугольник.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции. Площадь многоугольника в пространстве равна площади его проекции на координатную плоскость, деленной на косинус угла между плоскостью многоугольника и координатной плоскостью.
Уравнение плоскости сечения: $4x - 4y - 2z = -1$. Нормальный вектор к этой плоскости: $\vec{n} = (4, -4, -2)$.
Модуль нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{4^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 16 + 4} = \sqrt{36} = 6$.
Возьмем для проекции координатную плоскость $XY$ (т.е. $z=0$). Нормальный вектор к плоскости $XY$ равен $\vec{k} = (0,0,1)$.
Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $XY$:$\cos \theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(4, -4, -2) \cdot (0,0,1)|}{6 \cdot 1} = \frac{|-2|}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
Теперь найдем площадь проекции шестиугольника $PQRNSM$ на плоскость $XY$. Координаты вершин проекции (просто отбрасываем z-координату):
$P_{xy} = (0, 0.25)$
$Q_{xy} = (0.75, 1)$
$N_{xy} = (1, 1)$
$S_{xy} = (1, 0.75)$
$R_{xy} = (0.25, 0)$
$M_{xy} = (0, 0)$
Расположим вершины в порядке обхода (например, против часовой стрелки): $M_{xy}(0,0)$, $R_{xy}(0.25,0)$, $S_{xy}(1,0.75)$, $N_{xy}(1,1)$, $Q_{xy}(0.75,1)$, $P_{xy}(0,0.25)$.
Площадь проекции $S_{proj}$ можно вычислить методом "трапеций" или "формулой шнурков":
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + \dots + (x_ny_1 - y_nx_1) |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (0 \cdot 0 - 0 \cdot 0.25) + (0.25 \cdot 0.75 - 0 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1) + (1 \cdot 1 - 1 \cdot 0.75) + (0.75 \cdot 0.25 - 1 \cdot 0) + (0 \cdot 0 - 0.25 \cdot 0) |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | 0 + (0.1875 - 0) + (1 - 0.75) + (1 - 0.75) + (0.1875 - 0) + 0 |$
$S_{proj} = \frac{1}{2} | 0.1875 + 0.25 + 0.25 + 0.1875 | = \frac{1}{2} | 0.875 | = 0.4375$.
Или в дробях: $0.4375 = \frac{4375}{10000} = \frac{7}{16}$.
Таким образом, площадь сечения $S$ равна:
$S = \frac{S_{proj}}{\cos \theta} = \frac{7/16}{1/3} = \frac{7}{16} \cdot 3 = \frac{21}{16}$.

Ответ: $ \frac{21}{16} $