Номер 65, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

65. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AD, CD, BB_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $CD$, $BB_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Поскольку куб единичный, его сторона $a = 1$ (условная единица длины). Все расчеты площади будут в квадратных условных единицах.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Пусть куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ расположен в декартовой системе координат так, что вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ лежат соответственно по осям $x$, $y$, $z$. Длина ребра куба $a = 1$.

Координаты вершин куба:

• $A=(0,0,0)$
• $B=(1,0,0)$
• $C=(1,1,0)$
• $D=(0,1,0)$
• $A_1=(0,0,1)$
• $B_1=(1,0,1)$
• $C_1=(1,1,1)$
• $D_1=(0,1,1)$

Определим координаты заданных середин ребер:

• Середина ребра $AD$: $M_1$. Координаты $A=(0,0,0)$, $D=(0,1,0)$. $M_1 = (\frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0, 0.5, 0)$.
• Середина ребра $CD$: $M_2$. Координаты $C=(1,1,0)$, $D=(0,1,0)$. $M_2 = (\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}) = (0.5, 1, 0)$.
• Середина ребра $BB_1$: $M_3$. Координаты $B=(1,0,0)$, $B_1=(1,0,1)$. $M_3 = (\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (1, 0, 0.5)$.

Изобразите сечение

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M_1(0, 0.5, 0)$, $M_2(0.5, 1, 0)$, $M_3(1, 0, 0.5)$.

Векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{M_1M_2} = (0.5 - 0, 1 - 0.5, 0 - 0) = (0.5, 0.5, 0)$

$\vec{M_1M_3} = (1 - 0, 0 - 0.5, 0.5 - 0) = (1, -0.5, 0.5)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение $\vec{M_1M_2} \times \vec{M_1M_3}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.5 & 0.5 & 0 \\ 1 & -0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(0.5 \cdot 0.5 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(0.5 \cdot (-0.5) - 0.5 \cdot 1)$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0.25) - \mathbf{j}(0.25) + \mathbf{k}(-0.25 - 0.5) = (0.25, -0.25, -0.75)$.

Удобнее использовать пропорциональный вектор нормали, умножив на 4: $\vec{n} = (1, -1, -3)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz = D$. Подставляем координаты нормали: $x - y - 3z = D$.

Подставим координаты точки $M_1(0, 0.5, 0)$ для нахождения $D$:

$0 - 0.5 - 3(0) = D \Rightarrow D = -0.5$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y - 3z = -0.5$, или $2x - 2y - 6z = -1$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба:

• Ребро $AD$: $(0, y, 0)$. $2(0) - 2y - 6(0) = -1 \Rightarrow -2y = -1 \Rightarrow y = 0.5$. Точка $M_1(0, 0.5, 0)$.
• Ребро $CD$: $(x, 1, 0)$. $2x - 2(1) - 6(0) = -1 \Rightarrow 2x - 2 = -1 \Rightarrow 2x = 1 \Rightarrow x = 0.5$. Точка $M_2(0.5, 1, 0)$.
• Ребро $BB_1$: $(1, 0, z)$. $2(1) - 2(0) - 6z = -1 \Rightarrow 2 - 6z = -1 \Rightarrow -6z = -3 \Rightarrow z = 0.5$. Точка $M_3(1, 0, 0.5)$.
• Ребро $AA_1$: $(0, 0, z)$. $2(0) - 2(0) - 6z = -1 \Rightarrow -6z = -1 \Rightarrow z = 1/6$. Точка $P_4(0, 0, 1/6)$.
• Ребро $CC_1$: $(1, 1, z)$. $2(1) - 2(1) - 6z = -1 \Rightarrow 0 - 6z = -1 \Rightarrow z = 1/6$. Точка $P_5(1, 1, 1/6)$.

Другие ребра не пересекаются в пределах их границ $0 \le x,y,z \le 1$.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами $M_1(0, 0.5, 0)$, $P_4(0, 0, 1/6)$, $M_3(1, 0, 0.5)$, $P_5(1, 1, 1/6)$, $M_2(0.5, 1, 0)$.

Для изображения сечения необходимо соединить эти точки последовательно: $M_1$ с $P_4$, $P_4$ с $M_3$, $M_3$ с $P_5$, $P_5$ с $M_2$, и $M_2$ с $M_1$.

Отрезок $M_1P_4$ лежит на грани $ADD_1A_1$.

Отрезок $M_2P_5$ лежит на грани $CDD_1C_1$.

Отрезок $M_1M_2$ лежит на грани $ABCD$.

Отрезки $P_4M_3$ и $M_3P_5$ лежат внутри куба.

Найдите его площадь

Площадь пятиугольника можно найти, разбив его на треугольники. Выберем одну вершину, например $M_1$, и разобьем пятиугольник $M_1P_4M_3P_5M_2$ на три треугольника: $\triangle M_1P_4M_3$, $\triangle M_1M_3P_5$, $\triangle M_1P_5M_2$. Площадь каждого треугольника можно найти как половину модуля векторного произведения двух векторов, исходящих из одной вершины.

Координаты точек:

• $M_1(0, 0.5, 0)$
• $P_4(0, 0, 1/6)$
• $M_3(1, 0, 0.5)$
• $P_5(1, 1, 1/6)$
• $M_2(0.5, 1, 0)$

1. Площадь $\triangle M_1P_4M_3$:

$\vec{M_1P_4} = (0 - 0, 0 - 0.5, 1/6 - 0) = (0, -0.5, 1/6)$

$\vec{M_1M_3} = (1 - 0, 0 - 0.5, 0.5 - 0) = (1, -0.5, 0.5)$

$\vec{S_1} = \vec{M_1P_4} \times \vec{M_1M_3} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -0.5 & 1/6 \\ 1 & -0.5 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 0.5 - 1/6 \cdot (-0.5)) - \mathbf{j}(0 \cdot 0.5 - 1/6 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot (-0.5) - (-0.5) \cdot 1)$

$\vec{S_1} = \mathbf{i}(-0.25 + 1/12) - \mathbf{j}(-1/6) + \mathbf{k}(0.5) = \mathbf{i}(-3/12 + 1/12) + \mathbf{j}(1/6) + \mathbf{k}(0.5) = (-1/6, 1/6, 1/2)$.

Площадь $Area_1 = \frac{1}{2} |\vec{S_1}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/6)^2 + (1/6)^2 + (1/2)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/36 + 1/36 + 1/4} = \frac{1}{2} \sqrt{2/36 + 9/36} = \frac{1}{2} \sqrt{11/36} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{\sqrt{11}}{12}$.

2. Площадь $\triangle M_1M_3P_5$:

$\vec{M_1M_3} = (1, -0.5, 0.5)$ (уже найдено)

$\vec{M_1P_5} = (1 - 0, 1 - 0.5, 1/6 - 0) = (1, 0.5, 1/6)$

$\vec{S_2} = \vec{M_1M_3} \times \vec{M_1P_5} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -0.5 & 0.5 \\ 1 & 0.5 & 1/6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-0.5 \cdot 1/6 - 0.5 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 1/6 - 0.5 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - (-0.5) \cdot 1)$

$\vec{S_2} = \mathbf{i}(-1/12 - 1/4) - \mathbf{j}(1/6 - 1/2) + \mathbf{k}(0.5 + 0.5) = \mathbf{i}(-1/12 - 3/12) - \mathbf{j}(1/6 - 3/6) + \mathbf{k}(1) = (-4/12, -2/6, 1) = (-1/3, -1/3, 1)$.

Площадь $Area_2 = \frac{1}{2} |\vec{S_2}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/3)^2 + (-1/3)^2 + 1^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/9 + 1/9 + 1} = \frac{1}{2} \sqrt{2/9 + 9/9} = \frac{1}{2} \sqrt{11/9} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{3} = \frac{\sqrt{11}}{6}$.

3. Площадь $\triangle M_1P_5M_2$:

$\vec{M_1P_5} = (1, 0.5, 1/6)$ (уже найдено)

$\vec{M_1M_2} = (0.5, 0.5, 0)$ (уже найдено)

$\vec{S_3} = \vec{M_1P_5} \times \vec{M_1M_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0.5 & 1/6 \\ 0.5 & 0.5 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.5 \cdot 0 - 1/6 \cdot 0.5) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - 1/6 \cdot 0.5) + \mathbf{k}(1 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 0.5)$

$\vec{S_3} = \mathbf{i}(-1/12) - \mathbf{j}(-1/12) + \mathbf{k}(0.5 - 0.25) = (-1/12, 1/12, 0.25) = (-1/12, 1/12, 1/4)$.

Площадь $Area_3 = \frac{1}{2} |\vec{S_3}| = \frac{1}{2} \sqrt{(-1/12)^2 + (1/12)^2 + (1/4)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{1/144 + 1/144 + 1/16} = \frac{1}{2} \sqrt{2/144 + 9/144} = \frac{1}{2} \sqrt{11/144} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{11}}{12} = \frac{\sqrt{11}}{24}$.

Общая площадь сечения $Area_{total} = Area_1 + Area_2 + Area_3$:

$Area_{total} = \frac{\sqrt{11}}{12} + \frac{\sqrt{11}}{6} + \frac{\sqrt{11}}{24} = \frac{2\sqrt{11}}{24} + \frac{4\sqrt{11}}{24} + \frac{\sqrt{11}}{24} = \frac{(2+4+1)\sqrt{11}}{24} = \frac{7\sqrt{11}}{24}$.

Ответ:

Сечение является пятиугольником с вершинами, расположенными на ребрах $AD$, $CD$, $BB_1$, $AA_1$, $CC_1$. Его площадь равна $\frac{7\sqrt{11}}{24}$ квадратных условных единиц.