Номер 67, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

67. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины $A$ на $0,75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, то есть длина ребра $a = 1$.
Сечение проходит через следующие точки:
1. Середина ребра $AA_1$, обозначим ее $M$.
2. Середина ребра $CC_1$, обозначим ее $N$.
3. Точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0,75$, обозначим ее $P$.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение:

Для определения сечения введем декартову систему координат. Пусть вершина $A$ имеет координаты $(0,0,0)$, а ребра $AB$, $AD$, $AA_1$ направлены вдоль осей $Ox$, $Oy$, $Oz$ соответственно. Так как куб единичный, вершины будут иметь следующие координаты:
$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $D(0,1,0)$, $A_1(0,0,1)$
$C(1,1,0)$, $B_1(1,0,1)$, $D_1(0,1,1)$, $C_1(1,1,1)$

Координаты заданных точек сечения:

• $M$ (середина $AA_1$): $M(0,0,0.5)$

• $N$ (середина $CC_1$): $N(1,1,0.5)$

• $P$ (на $AB$, $AP=0.75$): $P(0.75,0,0)$

Найдем уравнение плоскости, проходящей через точки $M$, $N$, $P$. Общий вид уравнения плоскости: $Ax+By+Cz=D$.
Подставим координаты точек:

• Для $M(0,0,0.5)$: $A(0) + B(0) + C(0.5) = D \Rightarrow 0.5C = D \Rightarrow C = 2D$.

• Для $N(1,1,0.5)$: $A(1) + B(1) + C(0.5) = D \Rightarrow A + B + 0.5C = D$. Подставим $C=2D$: $A+B+D = D \Rightarrow A+B=0 \Rightarrow B = -A$.

• Для $P(0.75,0,0)$: $A(0.75) + B(0) + C(0) = D \Rightarrow 0.75A = D \Rightarrow A = D/0.75 = 4D/3$.

Примем $D=3$ (для удобства вычислений). Тогда $A=4$, $B=-4$, $C=6$.
Уравнение плоскости сечения: $4x - 4y + 6z = 3$.
Разделив на 2, получим более простое уравнение: $2x - 2y + 3z = 1.5$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба (где $0 \le x,y,z \le 1$).

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $3z = 1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $M(0,0,0.5)$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $2(1) - 2(1) + 3z = 1.5 \Rightarrow 3z = 1.5 \Rightarrow z = 0.5$. Получаем точку $N(1,1,0.5)$.

• Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$. Получаем точку $P(0.75,0,0)$.

• Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $2(1) - 2y + 3(0) = 1.5 \Rightarrow 2 - 2y = 1.5 \Rightarrow 2y = 0.5 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $Q(1,0.25,0)$.

• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $2x - 2(1) + 3(1) = 1.5 \Rightarrow 2x + 1 = 1.5 \Rightarrow 2x = 0.5 \Rightarrow x = 0.25$. Получаем точку $R(0.25,1,1)$.

• Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $-2y + 3(1) = 1.5 \Rightarrow -2y = -1.5 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $S(0,0.75,1)$.

Проверкой остальных ребер убеждаемся, что других точек пересечения с кубом нет в пределах ребер. Таким образом, сечение является шестиугольником $PQNRSM$.

Изобразите сечение

Сечение представляет собой плоский шестиугольник $PQNRSM$. Для его изображения необходимо построить куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и отметить на его ребрах найденные точки:

• Точка $P$ на ребре $AB$ на расстоянии $0.75$ от $A$.

• Точка $Q$ на ребре $BC$ на расстоянии $0.25$ от $B$ (или $0.75$ от $C$).

• Точка $N$ — середина ребра $CC_1$.

• Точка $R$ на ребре $C_1D_1$ на расстоянии $0.25$ от $D_1$ (или $0.75$ от $C_1$).

• Точка $S$ на ребре $D_1A_1$ на расстоянии $0.25$ от $D_1$ (или $0.75$ от $A_1$).

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$.

Соединив эти точки последовательно отрезками $PQ$, $QN$, $NR$, $RS$, $SM$, $MP$, получим контур искомого сечения.

Ответ: Сечение является шестиугольником $PQNRSM$ с указанными координатами вершин.

Найдите его площадь

Площадь сечения $S_{sec}$ можно вычислить, используя формулу проекции площади. Площадь проекции $S_{proj}$ плоской фигуры на координатную плоскость связана с ее истинной площадью $S_{sec}$ соотношением $S_{sec} = S_{proj} / \cos\theta$, где $\theta$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

В данном случае, нормальный вектор плоскости сечения $2x - 2y + 3z = 1.5$ равен $\vec{n} = (2, -2, 3)$.

Длина нормального вектора: $|\vec{n}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4+4+9} = \sqrt{17}$.

Нормальный вектор к плоскости $xy$ (плоскость $z=0$) равен $\vec{k} = (0,0,1)$.

Косинус угла $\theta$ между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:
$\cos\theta = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| |\vec{k}|} = \frac{|(2,-2,3) \cdot (0,0,1)|}{\sqrt{17} \cdot 1} = \frac{|3|}{\sqrt{17}} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Проекция шестиугольника $PQNRSM$ на плоскость $xy$ (обозначим вершины штрихами) имеет следующие координаты:

• $M'(0,0)$

• $P'(0.75,0)$

• $Q'(1,0.25)$

• $N'(1,1)$

• $R'(0.25,1)$

• $S'(0,0.75)$

Площадь проекции $S_{proj}$ вычисляется по формуле "площади шнурков" (Shoelace formula):
$S_{proj} = \frac{1}{2} | (x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_6 + x_6y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_6 + y_6x_1) |$.
Подставляем координаты вершин в порядке $M', P', Q', N', R', S'$:

Сумма произведений $x_iy_{i+1}$ (прямой ход):
$0 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0.25 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.25 \cdot 0.75 + 0 \cdot 0 = 0 + 0.1875 + 1 + 1 + 0.1875 + 0 = 2.375$.

Сумма произведений $y_ix_{i+1}$ (обратный ход):
$0 \cdot 0.75 + 0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 1 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0 = 0 + 0 + 0.25 + 0.25 + 0 + 0 = 0.5$.

$S_{proj} = \frac{1}{2} |2.375 - 0.5| = \frac{1}{2} |1.875| = 0.9375$.

Дробное представление: $0.9375 = \frac{9375}{10000} = \frac{15}{16}$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{sec}$:

$S_{sec} = S_{proj} / \cos\theta = \frac{15}{16} / \frac{3}{\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ: $\frac{5\sqrt{17}}{16}$.