Номер 68, страница 176 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

68. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $AA_1$, $CC_1$ и точку на ребре $AD$, отстоящую от вершины $A$ на $0.75$. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

• $M$ — середина ребра $AA_1$.
• $N$ — середина ребра $CC_1$.
• $K$ — точка на ребре $AD$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изображение сечения:

Для построения сечения и определения его вершин введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x$, $y$, $z$ направим по ребрам $AB$, $AD$, $AA_1$ соответственно. Тогда координаты вершин куба будут:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$,

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

Найдем координаты заданных точек:

• Точка $M$ — середина ребра $AA_1$. Координаты $M(0,0,0.5)$.
• Точка $N$ — середина ребра $CC_1$. Координаты $N(1,1,0.5)$.
• Точка $K$ на ребре $AD$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$. Так как $AD$ лежит на оси $y$, координаты $K(0,0.75,0)$.

Определим уравнение плоскости сечения, проходящей через точки $M(0,0,0.5)$, $N(1,1,0.5)$ и $K(0,0.75,0)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{MK} = K - M = (0-0, 0.75-0, 0-0.5) = (0, 0.75, -0.5)$

$\vec{MN} = N - M = (1-0, 1-0, 0.5-0.5) = (1, 1, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости сечения перпендикулярен обоим этим векторам. Найдем его с помощью векторного произведения:

$\vec{n} = \vec{MK} \times \vec{MN} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0.75 & -0.5 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0.75 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) - \mathbf{j}(0 \cdot 0 - (-0.5) \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 1 - 0.75 \cdot 1)$

$\vec{n} = (0.5, -0.5, -0.75)$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим компоненты вектора нормали:

$0.5x - 0.5y - 0.75z + D = 0$.

Используем точку $M(0,0,0.5)$ для нахождения $D$:

$0.5(0) - 0.5(0) - 0.75(0.5) + D = 0$

$-0.375 + D = 0 \Rightarrow D = 0.375$

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $0.5x - 0.5y - 0.75z + 0.375 = 0$.

Для удобства умножим уравнение на 4: $2x - 2y - 3z + 1.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Уже известные точки $M, N, K$ являются такими точками. Найдем остальные:

• Пересечение с ребром $CD$ (на нижней грани, $y=1, z=0$):
  $2x - 2(1) - 3(0) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x - 2 + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 0.5 \Rightarrow x = 0.25$.
  Получим точку $P_1(0.25,1,0)$. Она лежит на ребре $CD$, так как $0 < 0.25 < 1$.
• Пересечение с ребром $A_1B_1$ (на верхней грани, $y=0, z=1$):
  $2x - 2(0) - 3(1) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x - 3 + 1.5 = 0 \Rightarrow 2x = 1.5 \Rightarrow x = 0.75$.
  Получим точку $P_2(0.75,0,1)$. Она лежит на ребре $A_1B_1$, так как $0 < 0.75 < 1$.
• Пересечение с ребром $B_1C_1$ (на верхней грани, $x=1, z=1$):
  $2(1) - 2y - 3(1) + 1.5 = 0 \Rightarrow 2 - 2y - 3 + 1.5 = 0 \Rightarrow -2y + 0.5 = 0 \Rightarrow 2y = 0.5 \Rightarrow y = 0.25$.
  Получим точку $P_3(1,0.25,1)$. Она лежит на ребре $B_1C_1$, так как $0 < 0.25 < 1$.

Все найденные точки ($M, N, K, P_1, P_2, P_3$) лежат на ребрах куба. Таким образом, сечение представляет собой многоугольник с этими шестью вершинами. Упорядочим их по обходу периметра:

$K(0,0.75,0) \rightarrow P_1(0.25,1,0) \rightarrow N(1,1,0.5) \rightarrow P_3(1,0.25,1) \rightarrow P_2(0.75,0,1) \rightarrow M(0,0,0.5) \rightarrow K(0,0.75,0)$.

Это шестиугольник $KP_1NP_3P_2M$.

Стороны этого шестиугольника лежат на гранях куба:

• $KP_1$ лежит на нижней грани $ABCD$.
• $P_1N$ лежит на задней грани $CDD_1C_1$.
• $NP_3$ лежит на правой грани $BCC_1B_1$.
• $P_3P_2$ лежит на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.
• $P_2M$ лежит на передней грани $ABB_1A_1$.
• $MK$ лежит на левой грани $ADD_1A_1$.

Площадь сечения:

Площадь многоугольника в пространстве можно найти по формуле $S = S_{пр} / \cos\alpha$, где $S_{пр}$ — площадь проекции сечения на координатную плоскость, а $\alpha$ — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n} = (0.5, -0.5, -0.75)$. Выберем $xy$-плоскость для проекции. Вектор нормали к $xy$-плоскости $\vec{k} = (0,0,1)$.

$\cos\alpha = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|0.5 \cdot 0 + (-0.5) \cdot 0 + (-0.75) \cdot 1|}{\sqrt{0.5^2 + (-0.5)^2 + (-0.75)^2} \cdot \sqrt{0^2+0^2+1^2}}$

$\cos\alpha = \frac{|-0.75|}{\sqrt{0.25 + 0.25 + 0.5625}} = \frac{0.75}{\sqrt{1.0625}}$

Переведем десятичные дроби в обыкновенные: $0.75 = \frac{3}{4}$, $1.0625 = \frac{10625}{10000} = \frac{17}{16}$.

$\cos\alpha = \frac{3/4}{\sqrt{17/16}} = \frac{3/4}{\sqrt{17}/4} = \frac{3}{\sqrt{17}}$.

Теперь найдем площадь проекции шестиугольника $K'P_1'N'P_3'P_2'M'$ на $xy$-плоскость. Координаты вершин проекции (просто отбрасываем $z$-координаты):

• $K'(0,0.75)$
• $P_1'(0.25,1)$
• $N'(1,1)$
• $P_3'(1,0.25)$
• $P_2'(0.75,0)$
• $M'(0,0)$

Используем формулу "шнурков" (Shoelace formula) для площади многоугольника по его плоским координатам:

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_5 + x_5y_6 + x_6y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_5 + y_5x_6 + y_6x_1)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(0 \cdot 1 + 0.25 \cdot 1 + 1 \cdot 0.25 + 1 \cdot 0 + 0.75 \cdot 0 + 0 \cdot 0.75) - (0.75 \cdot 0.25 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0.25 \cdot 0.75 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |(0 + 0.25 + 0.25 + 0 + 0 + 0) - (0.1875 + 1 + 1 + 0.1875 + 0 + 0)|$

$S_{пр} = \frac{1}{2} |0.5 - 2.375| = \frac{1}{2} |-1.875| = \frac{1.875}{2} = 0.9375$

Переведем площадь проекции в обыкновенную дробь: $0.9375 = \frac{9375}{10000} = \frac{15}{16}$.

Теперь найдем искомую площадь сечения:

$S = \frac{S_{пр}}{\cos\alpha} = \frac{15/16}{3/\sqrt{17}} = \frac{15}{16} \cdot \frac{\sqrt{17}}{3} = \frac{5\sqrt{17}}{16}$.

Ответ:

Сечение представляет собой шестиугольник $K P_1 N P_3 P_2 M$, где $K(0,0.75,0)$, $P_1(0.25,1,0)$, $N(1,1,0.5)$, $P_3(1,0.25,1)$, $P_2(0.75,0,1)$, $M(0,0,0.5)$. Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{17}}{16}$ квадратных единиц.