Номер 75, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

75. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $A$ и перпендикулярной диагонали $DB_1$. Найдите его площадь.

76. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна главной диагонали $DB_1$.

Найти

Описать сечение геометрически и найти его площадь.

Решение

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

$D=(0,0,0)$

$A=(1,0,0)$

$B=(1,1,0)$

$C=(0,1,0)$

$D_1=(0,0,1)$

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(1,1,1)$

$C_1=(0,1,1)$

Диагональ $DB_1$ имеет начальную точку $D(0,0,0)$ и конечную точку $B_1(1,1,1)$. Вектор $\vec{DB_1}$ равен $(1,1,1)$.

Поскольку плоскость сечения перпендикулярна вектору $\vec{DB_1}$, этот вектор является нормальным вектором к плоскости. Уравнение плоскости имеет вид $x+y+z+D_0=0$.

Плоскость проходит через вершину $A(1,0,0)$. Подставим координаты точки $A$ в уравнение плоскости:

$1+0+0+D_0=0 \implies D_0=-1$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+y+z-1=0$.

Для определения вершин сечения найдем точки пересечения плоскости $x+y+z-1=0$ с ребрами куба.

1. Пересечение с ребром $DA$ (на оси $Ox$, где $y=0, z=0$): $x+0+0-1=0 \implies x=1$. Точка пересечения $P_1=(1,0,0)$, что является вершиной $A$. Это одна из заданных точек.

2. Пересечение с ребром $DC$ (на оси $Oy$, где $x=0, z=0$): $0+y+0-1=0 \implies y=1$. Точка пересечения $P_2=(0,1,0)$, что является вершиной $C$.

3. Пересечение с ребром $DD_1$ (на оси $Oz$, где $x=0, y=0$): $0+0+z-1=0 \implies z=1$. Точка пересечения $P_3=(0,0,1)$, что является вершиной $D_1$.

Все остальные вершины куба, кроме $A, C, D_1$, не лежат на плоскости $x+y+z-1=0$. Например, для вершины $B(1,1,0)$, $1+1+0-1 = 1 \ne 0$. Для вершины $B_1(1,1,1)$, $1+1+1-1=2 \ne 0$. Поскольку плоскость проходит через три вершины куба, которые не лежат на одной прямой, эти три вершины образуют сечение.

Сечение куба данной плоскостью является треугольником $ACD_1$. Этот треугольник соединяет вершину $A$ и $C$ на нижней грани куба, и вершину $D_1$ на верхней грани. Его стороны $AC$, $CD_1$, $AD_1$ являются диагоналями соответствующих граней куба: $AC$ - диагональ грани $ABCD$, $CD_1$ - диагональ грани $CDD_1C_1$, $AD_1$ - диагональ грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Сечение является треугольником $ACD_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$ по координатам вершин: $A(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Длина стороны $AC = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CD_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $D_1A = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $ACD_1$ равны $\sqrt{2}$, треугольник $ACD_1$ является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

В нашем случае $s=\sqrt{2}$.

$S_{\text{сеч}} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.