Номер 82, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

82. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину ребра $SA$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a=1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и середину ребра $SA$. Обозначим середину ребра $SA$ как точку $M$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Плоскость сечения проходит через точки $B$, $C$ и $M$ (середину $SA$).

1. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, отрезок $BC$ является одной из сторон сечения.

2. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом. Из этого следует, что сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$).

3. Плоскость сечения $(BCM)$ пересекает грань $SBC$ по отрезку $BC$. Плоскость $(BCM)$ также пересекает грань $SAD$. Поскольку $BC \parallel AD$, и плоскости $SBC$ и $SAD$ имеют общую вершину $S$, а их основания $BC$ и $AD$ параллельны, то линии пересечения плоскости сечения с этими гранями должны быть параллельны. Так как $BC$ является одной из таких линий, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $SAD$ должна быть параллельна $BC$ (и $AD$).

4. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, которое находится в грани $SAD$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $AD$ (и $BC$), в плоскости грани $SAD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SD$ в точке $N$.

5. Из подобия треугольников $\triangle SMN$ и $\triangle SAD$ (так как $MN \parallel AD$) и того, что $M$ - середина $SA$ ($SM = MA$), следует, что $N$ также является серединой $SD$ ($SN = ND$), а длина отрезка $MN$ равна половине длины $AD$ ($MN = \frac{1}{2}AD$).

6. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $BCNM$. Поскольку $BC \parallel MN$, этот четырехугольник является трапецией.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $BCNM$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади трапеции $BCNM$ нам необходимы длины ее оснований $BC$ и $MN$, а также ее высота.

1.Длины оснований:

• Основание $BC$ равно ребру основания пирамиды, которое равно 1. $BC = a = 1$.
• Основание $MN$ равно половине $AD$. Так как $AD = a = 1$, то $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2.Длины боковых сторон:

• Рассмотрим треугольник $SAB$. Все ребра пирамиды равны 1, следовательно, $SA=SB=AB=1$. Треугольник $SAB$ является равносторонним.
• Точка $M$ - середина $SA$. Отрезок $BM$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $h = s\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Таким образом, $BM = AB \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Аналогично, рассмотрим треугольник $SCD$. $SC=CD=SD=1$, поэтому $\triangle SCD$ также равносторонний. Точка $N$ - середина $SD$. Отрезок $CN$ является медианой (и высотой) в равностороннем треугольнике $SCD$.
• Следовательно, $CN = CD \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $BM = CN$, трапеция $BCNM$ является равнобедренной.

3.Высота трапеции:

Обозначим высоту трапеции $BCNM$ как $H$. Опустим перпендикуляр из вершины $N$ на основание $BC$, пусть его основанием будет точка $P$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $CP$ равна половине разности длин оснований:

$CP = \frac{BC - MN}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle NPC$. Катеты $NP$ (высота $H$) и $CP$, гипотенуза $CN$. По теореме Пифагора:

$H^2 + CP^2 = CN^2$

$H^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$H^2 + \frac{1}{16} = \frac{3}{4}$

$H^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16} = \frac{12}{16} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

$H = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

4.Площадь сечения:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot H$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований.

$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot H = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{BCNM} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$.