Номер 78, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

78. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Найдите его площадь.

79. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Обозначим эти середины как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Найти:

Изобразить сечение тетраэдра $ABCD$, проходящее через точки $M, N, P$.

Площадь $S$ этого сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AB$, $BC$, $CD$ как $M$, $N$, $P$ соответственно.

1. Определение формы сечения:

Поскольку точки $M$ и $N$ лежат в плоскости грани $ABC$, отрезок $MN$ является частью сечения. $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$. Так как все ребра тетраэдра равны $a=1$, то $AC = a = 1$, и $MN = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Аналогично, точки $N$ и $P$ лежат в плоскости грани $BCD$. Отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$. Отсюда $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Плоскость сечения проходит через точки $M, N, P$. Поскольку $MN \parallel AC$, плоскость сечения $MNP$ параллельна ребру $AC$. Так как $P$ лежит в этой плоскости и на ребре $CD$, а ребро $AC$ лежит в плоскости грани $ACD$, то линия пересечения плоскости $MNP$ с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AC$ и проходить через $P$. Пусть эта линия пересекает ребро $AD$ в точке $Q$. Тогда $PQ \parallel AC$.

В треугольнике $ACD$, если $P$ - середина $CD$ и $PQ \parallel AC$, то $Q$ по теореме Фалеса (или теореме о средней линии, примененной к $\triangle ACD$ и $\triangle DPQ$) является серединой $AD$.

Таким образом, четвертой вершиной сечения является точка $Q$ - середина ребра $AD$.

Теперь определим оставшиеся стороны сечения:

• $MQ$ соединяет середины $AB$ и $AD$ в $\triangle ABD$. Следовательно, $MQ$ - средняя линия $\triangle ABD$, и $MQ \parallel BD$, $MQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

• $PQ$ соединяет середины $CD$ и $AD$ в $\triangle ACD$. Следовательно, $PQ$ - средняя линия $\triangle ACD$, и $PQ \parallel AC$, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Итак, сечение $MNPQ$ является четырехугольником, у которого все стороны равны: $MN = NP = PQ = QM = \frac{1}{2}$. Следовательно, $MNPQ$ является ромбом.

В правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны. Ребра $AC$ и $BD$ являются противоположными ребрами. Значит, $AC \perp BD$.

Поскольку $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$, то и $MN \perp MQ$.

Ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Следовательно, сечение $MNPQ$ является квадратом со стороной $s = \frac{1}{2}$.

2. Вычисление площади сечения:

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = s^2$.

В нашем случае сторона квадрата $s = \frac{1}{2}$.

$S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ:

Сечение является квадратом, проходящим через середины ребер $AB, BC, CD, AD$. Его площадь составляет $S = \frac{1}{4}$.