Номер 80, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

80. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$

Длина каждого ребра $a = 1$

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{MNP}$

Решение

Изобразите сечение тетраэдра ABCD, все ребра которого равны 1, проходящее через середины ребер AD, BD и BC.

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$, проходящего через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите тетраэдр $ABCD$. Для наглядности можно представить вершину $D$ как верхнюю точку.

2. Отметьте середину ребра $AD$ и обозначьте ее точкой $M$.

3. Отметьте середину ребра $BD$ и обозначьте ее точкой $N$.

4. Отметьте середину ребра $BC$ и обозначьте ее точкой $P$.

5. Соедините последовательно точки $M$, $N$ и $P$ отрезками. Полученный треугольник $MNP$ является искомым сечением.

Отрезок $MN$ лежит в плоскости грани $ABD$ и является средней линией треугольника $ABD$.

Отрезок $NP$ лежит в плоскости грани $BCD$ и является средней линией треугольника $BCD$.

Отрезок $MP$ соединяет середины двух скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ тетраэдра.

Примечание: Трехмерное изображение не может быть предоставлено в данном формате. Описанные шаги предназначены для самостоятельного построения.

Ответ: Изображение невозможно предоставить в данном формате.

Найдите его площадь.

Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны $a=1$), все его грани представляют собой равносторонние треугольники со стороной $a=1$.

1. Определим длину отрезка $MN$. Точки $M$ и $N$ являются серединами ребер $AD$ и $BD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае $MN = \frac{1}{2} AB$.

Так как длина ребра $AB = a = 1$, то $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Определим длину отрезка $NP$. Аналогично, точки $N$ и $P$ являются серединами ребер $BD$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии, $NP = \frac{1}{2} CD$.

Так как длина ребра $CD = a = 1$, то $NP = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

3. Определим длину отрезка $MP$. Отрезок $MP$ соединяет середины двух скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ правильного тетраэдра.

Длина отрезка, соединяющего середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра со стороной $a$, определяется по формуле $h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставляя $a=1$, получаем $MP = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, длины сторон треугольника $MNP$ составляют:

$MN = \frac{1}{2}$

$NP = \frac{1}{2}$

$MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим тип треугольника $MNP$, используя теорему Пифагора. Если $MN^2 + NP^2 = MP^2$, то треугольник прямоугольный.

$MN^2 + NP^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$MP^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Так как $MN^2 + NP^2 = MP^2$, треугольник $MNP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$. Поскольку $MN = NP$, он также является равнобедренным.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов:

$S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NP$

$S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Ответ:

Площадь сечения $S_{MNP} = \frac{1}{8}$.