Номер 87, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

87. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AD$, $BC$ и $SB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина каждого ребра пирамиды равна 1.

Сечение проходит через середины ребер $AD, BC$ и $SB$.

Перевод данных в систему СИ:

Длина каждого ребра пирамиды $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

1. Описание (изображение) сечения.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, $N$ - середина ребра $BC$, $K$ - середина ребра $SB$. Эти три точки лежат в плоскости сечения.

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, и $M, N$ - середины противоположных сторон $AD$ и $BC$, то $MN$ параллелен $AB$ и $CD$, а его длина равна $MN = AB = 1$.

2. Соединим точки $N$ и $K$. Отрезок $NK$ лежит в плоскости боковой грани $SBC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SBC$ является равносторонним. $N$ - середина $BC$, $K$ - середина $SB$. Следовательно, $NK$ - средняя линия треугольника $SBC$. Отсюда $NK = SC/2 = 1/2$.

3. Плоскость сечения содержит линию $MN$, которая параллельна ребру $AB$. Согласно свойствам сечений, если плоскость сечения проходит через прямую, параллельную одной из граней, и пересекает эту грань, то линия пересечения будет параллельна исходной прямой. Поскольку $MN || AB$, и точка $K$ лежит на $SB$, то для построения сечения в грани $SAB$, мы должны провести отрезок $KL$ через $K$ параллельно $AB$. Пусть $L$ - точка пересечения этого отрезка с ребром $SA$. Так как $K$ - середина $SB$ и $KL || AB$, то $KL$ является средней линией треугольника $SAB$ (который также является равносторонним). Следовательно, $L$ - середина $SA$, и $KL = AB/2 = 1/2$.

4. Соединим точки $M$ и $L$. Отрезок $ML$ лежит в плоскости боковой грани $SAD$. Так как $M$ - середина $AD$ и $L$ - середина $SA$, $ML$ является средней линией треугольника $SAD$ (который также является равносторонним). Следовательно, $ML = SD/2 = 1/2$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MNKL$. Поскольку $MN || KL$ и $ML = NK = 1/2$, сечение $MNKL$ представляет собой равнобедренную трапецию.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $MNKL$ с параллельными основаниями $MN=1$ и $KL=1/2$, а также равными боковыми сторонами $ML=NK=1/2$.

Найдите его площадь:

Площадь равнобедренной трапеции $MNKL$ вычисляется по формуле $A = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h$, где $a_1$ и $a_2$ - длины оснований, $h$ - высота трапеции.

Длины оснований: $a_1 = MN = 1$, $a_2 = KL = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин $L$ и $K$ на основание $MN$. Пусть $L'$ и $K'$ - основания этих перпендикуляров на $MN$.

Тогда $L'K' = KL = 1/2$.

Отрезки $ML'$ и $NK'$ равны: $ML' = NK' = \frac{MN - KL}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MLL'$. Гипотенуза $ML = 1/2$, катет $ML' = 1/4$. Высота $h = LL'$.

По теореме Пифагора:

$h^2 = ML^2 - ML'^2$

$h^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{3}{16}$

$h = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь вычислим площадь трапеции:

$A = \frac{MN + KL}{2} \cdot h$

$A = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.