Номер 90, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

90. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и перпендикулярное ребру $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$ и $BC$ и перпендикулярно ребру $SD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, BC$ и перпендикулярное ребру $SD$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ со стороной основания $AB = BC = CD = DA = 1$ и боковыми ребрами $SA = SB = SC = SD = 1$. Пусть $H$ - центр основания пирамиды, т.е. точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Высота пирамиды $SH$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим систему координат с началом в точке $H(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(-1/2, -1/2, 0)$

• $B(1/2, -1/2, 0)$

• $C(1/2, 1/2, 0)$

• $D(-1/2, 1/2, 0)$

Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра до вершины основания $HA = HB = HC = HD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SHB$ (или любом другом $SHA, SHC, SHD$): $SH^2 + HB^2 = SB^2$.

$SH^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2 \implies SH^2 + \frac{1}{2} = 1 \implies SH^2 = \frac{1}{2} \implies SH = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершины $S(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пусть $M$ - середина ребра $AB$, $N$ - середина ребра $BC$.

• Координаты $M$: $M\left(\frac{-1/2+1/2}{2}, \frac{-1/2-1/2}{2}, 0\right) = M(0, -1/2, 0)$.

• Координаты $N$: $N\left(\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{-1/2+1/2}{2}, 0\right) = N(1/2, 0, 0)$.

Сечение проходит через точки $M$ и $N$. Плоскость сечения $\alpha$ перпендикулярна ребру $SD$.

Вектор $\vec{SD}$ является нормальным вектором к плоскости сечения. $\vec{SD} = D - S = (-1/2, 1/2, 0) - (0,0,\sqrt{2}/2) = (-1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax + By + Cz = D_1$, где $(A,B,C)$ - компоненты нормального вектора, т.е. $(-1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$.

$-1/2 x + 1/2 y - \sqrt{2}/2 z = D_1$. Умножим на $-2$: $x - y + \sqrt{2} z = -2D_1$. Пусть $-2D_1 = D_0$.

Уравнение плоскости: $x - y + \sqrt{2} z = D_0$.

Точка $M(0, -1/2, 0)$ лежит в плоскости: $0 - (-1/2) + \sqrt{2} \cdot 0 = D_0 \implies D_0 = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y + \sqrt{2} z = 1/2$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:

1. Ребра основания $AB, BC, CD, DA$: Точки $M(0, -1/2, 0)$ на $AB$ и $N(1/2, 0, 0)$ на $BC$ уже найдены.

2. Ребро $SA$: Вектор $\vec{SA} = A - S = (-1/2, -1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SA$: $P(t) = S + t\vec{SA} = (-t/2, -t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(-t/2) - (-t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $0 + (1 - t) = 1/2 \implies t = 1/2$. Точка $L$ - середина $SA$. $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$.

3. Ребро $SB$: Вектор $\vec{SB} = B - S = (1/2, -1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SB$: $P(t) = S + t\vec{SB} = (t/2, -t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(t/2) - (-t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $t + (1 - t) = 1/2 \implies 1 = 1/2$. Это противоречие означает, что плоскость сечения параллельна ребру $SB$ и не пересекает его. Действительно, скалярное произведение нормального вектора плоскости $\vec{n} = \vec{SD}$ и $\vec{SB}$ равно $\vec{SD} \cdot \vec{SB} = (-1/2)(1/2) + (1/2)(-1/2) + (-\sqrt{2}/2)(-\sqrt{2}/2) = -1/4 - 1/4 + 2/4 = 0$.

4. Ребро $SC$: Вектор $\vec{SC} = C - S = (1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = S + t\vec{SC} = (t/2, t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(t/2) - (t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $0 + (1 - t) = 1/2 \implies t = 1/2$. Точка $P$ - середина $SC$. $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$.

5. Ребро $SD$: Поскольку плоскость перпендикулярна $SD$, она пересекает $SD$ в одной точке. Параметрическое уравнение прямой $SD$: $P(t) = S + t\vec{SD} = (-t/2, t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(-t/2) - (t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $-t + (1 - t) = 1/2 \implies 1 - 2t = 1/2 \implies 2t = 1/2 \implies t = 1/4$. Точка $Q$ на $SD$ такова, что $SQ = \frac{1}{4}SD$. $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $MNPQL$ с вершинами:

• $M(0, -1/2, 0)$

• $N(1/2, 0, 0)$

• $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$

• $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$

• $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$

Для построения сечения:

1. Отметьте точки $M$ и $N$ как середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Соедините их отрезком $MN$.

2. Поскольку $M$ и $N$ являются серединами сторон смежных треугольников $SAB$ и $SBC$, а плоскость сечения параллельна $SB$, через $M$ проведите прямую, параллельную $SB$, до пересечения с $SA$ (это будет точка $L$, середина $SA$). Аналогично через $N$ проведите прямую, параллельную $SB$, до пересечения с $SC$ (это будет точка $P$, середина $SC$).

3. Отрезок $LP$ соединяет середины $SA$ и $SC$, поэтому он параллелен $AC$. Отрезок $MN$ также параллелен $AC$ (как средняя линия треугольника $ABC$). Следовательно, $MNPL$ является параллелограммом, так как $MN \parallel LP$ и $MN = LP = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а также $LM \parallel NP$ и $LM = NP = \frac{1}{2}$.

4. Точка $Q$ на ребре $SD$ определяется как точка пересечения прямой $SD$ с плоскостью сечения. Согласно расчетам, $Q$ делит ребро $SD$ в отношении $SQ:QD = 1:3$. Соедините $L$ с $Q$ и $P$ с $Q$.

5. Соедините последовательно точки $M, N, P, Q, L$. Полученный пятиугольник $MNPQL$ и есть искомое сечение.

Ответ: Сечение является пятиугольником $MNPQL$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$, $L$ - середина $SA$, $P$ - середина $SC$, а $Q$ - точка на $SD$ такая, что $SQ = \frac{1}{4}SD$.

Найдите его площадь.

Площадь пятиугольника $MNPQL$ можно найти, разбив его на параллелограмм $MNPL$ и треугольник $LPQ$.

Координаты вершин:

• $M(0, -1/2, 0)$

• $N(1/2, 0, 0)$

• $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$

• $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$

• $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$

Площадь параллелограмма $MNPL$:

Используем векторы двух смежных сторон, например $\vec{LM}$ и $\vec{LP}$.

$\vec{LM} = M - L = (0 - (-1/4), -1/2 - (-1/4), 0 - \sqrt{2}/4) = (1/4, -1/4, -\sqrt{2}/4)$.

$\vec{LP} = P - L = (1/4 - (-1/4), 1/4 - (-1/4), \sqrt{2}/4 - \sqrt{2}/4) = (1/2, 1/2, 0)$.

Площадь $A_{MNPL} = |\vec{LM} \times \vec{LP}| = \left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1/4 & -1/4 & -\sqrt{2}/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{vmatrix} \right|$

$= |\vec{i}((-1/4) \cdot 0 - (-\sqrt{2}/4) \cdot (1/2)) - \vec{j}((1/4) \cdot 0 - (-\sqrt{2}/4) \cdot (1/2)) + \vec{k}((1/4) \cdot (1/2) - (-1/4) \cdot (1/2))|$

$= |\vec{i}(\sqrt{2}/8) - \vec{j}(\sqrt{2}/8) + \vec{k}(1/8 + 1/8)| = |(\sqrt{2}/8, -\sqrt{2}/8, 2/8)| = |(\sqrt{2}/8, -\sqrt{2}/8, 1/4)|$.

$A_{MNPL} = \sqrt{(\sqrt{2}/8)^2 + (-\sqrt{2}/8)^2 + (1/4)^2} = \sqrt{2/64 + 2/64 + 1/16} = \sqrt{4/64 + 4/64} = \sqrt{8/64} = \sqrt{1/8} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Площадь треугольника $LPQ$:

Вершины: $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$, $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$, $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$.

Вектор $\vec{PL} = L - P = (-1/4 - 1/4, -1/4 - 1/4, \sqrt{2}/4 - \sqrt{2}/4) = (-1/2, -1/2, 0)$.

Вектор $\vec{PQ} = Q - P = (-1/8 - 1/4, 1/8 - 1/4, 3\sqrt{2}/8 - \sqrt{2}/4) = (-3/8, -1/8, 3\sqrt{2}/8 - 2\sqrt{2}/8) = (-3/8, -1/8, \sqrt{2}/8)$.

$A_{LPQ} = \frac{1}{2} |\vec{PL} \times \vec{PQ}| = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & -1/2 & 0 \\ -3/8 & -1/8 & \sqrt{2}/8 \end{vmatrix} \right|$

$= \frac{1}{2} |\vec{i}((-1/2) \cdot (\sqrt{2}/8) - 0) - \vec{j}((-1/2) \cdot (\sqrt{2}/8) - 0) + \vec{k}((-1/2) \cdot (-1/8) - (-1/2) \cdot (-3/8))|$

$= \frac{1}{2} |\vec{i}(-\sqrt{2}/16) - \vec{j}(-\sqrt{2}/16) + \vec{k}(1/16 - 3/16)| = \frac{1}{2} |(-\sqrt{2}/16, \sqrt{2}/16, -2/16)| = \frac{1}{2} |(-\sqrt{2}/16, \sqrt{2}/16, -1/8)|$.

$A_{LPQ} = \frac{1}{2} \sqrt{(-\sqrt{2}/16)^2 + (\sqrt{2}/16)^2 + (-1/8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2/256 + 2/256 + 1/64} = \frac{1}{2} \sqrt{4/256 + 4/256} = \frac{1}{2} \sqrt{8/256} = \frac{1}{2} \sqrt{1/32} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

Общая площадь сечения $A_{MNPQL} = A_{MNPL} + A_{LPQ} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{16} = \frac{4\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{16} = \frac{5\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{2}}{16}$ квадратных единиц.