Страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

87. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AD$, $BC$ и $SB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина каждого ребра пирамиды равна 1.

Сечение проходит через середины ребер $AD, BC$ и $SB$.

Перевод данных в систему СИ:

Длина каждого ребра пирамиды $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

1. Описание (изображение) сечения.

2. Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, $N$ - середина ребра $BC$, $K$ - середина ребра $SB$. Эти три точки лежат в плоскости сечения.

1. Соединим точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, и $M, N$ - середины противоположных сторон $AD$ и $BC$, то $MN$ параллелен $AB$ и $CD$, а его длина равна $MN = AB = 1$.

2. Соединим точки $N$ и $K$. Отрезок $NK$ лежит в плоскости боковой грани $SBC$. Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольник $SBC$ является равносторонним. $N$ - середина $BC$, $K$ - середина $SB$. Следовательно, $NK$ - средняя линия треугольника $SBC$. Отсюда $NK = SC/2 = 1/2$.

3. Плоскость сечения содержит линию $MN$, которая параллельна ребру $AB$. Согласно свойствам сечений, если плоскость сечения проходит через прямую, параллельную одной из граней, и пересекает эту грань, то линия пересечения будет параллельна исходной прямой. Поскольку $MN || AB$, и точка $K$ лежит на $SB$, то для построения сечения в грани $SAB$, мы должны провести отрезок $KL$ через $K$ параллельно $AB$. Пусть $L$ - точка пересечения этого отрезка с ребром $SA$. Так как $K$ - середина $SB$ и $KL || AB$, то $KL$ является средней линией треугольника $SAB$ (который также является равносторонним). Следовательно, $L$ - середина $SA$, и $KL = AB/2 = 1/2$.

4. Соединим точки $M$ и $L$. Отрезок $ML$ лежит в плоскости боковой грани $SAD$. Так как $M$ - середина $AD$ и $L$ - середина $SA$, $ML$ является средней линией треугольника $SAD$ (который также является равносторонним). Следовательно, $ML = SD/2 = 1/2$.

Таким образом, сечение является четырехугольником $MNKL$. Поскольку $MN || KL$ и $ML = NK = 1/2$, сечение $MNKL$ представляет собой равнобедренную трапецию.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $MNKL$ с параллельными основаниями $MN=1$ и $KL=1/2$, а также равными боковыми сторонами $ML=NK=1/2$.

Найдите его площадь:

Площадь равнобедренной трапеции $MNKL$ вычисляется по формуле $A = \frac{a_1 + a_2}{2} \cdot h$, где $a_1$ и $a_2$ - длины оснований, $h$ - высота трапеции.

Длины оснований: $a_1 = MN = 1$, $a_2 = KL = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$ опустим перпендикуляры из вершин $L$ и $K$ на основание $MN$. Пусть $L'$ и $K'$ - основания этих перпендикуляров на $MN$.

Тогда $L'K' = KL = 1/2$.

Отрезки $ML'$ и $NK'$ равны: $ML' = NK' = \frac{MN - KL}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = 1/4$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MLL'$. Гипотенуза $ML = 1/2$, катет $ML' = 1/4$. Высота $h = LL'$.

По теореме Пифагора:

$h^2 = ML^2 - ML'^2$

$h^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$h^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{4}{16} - \frac{1}{16}$

$h^2 = \frac{3}{16}$

$h = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Теперь вычислим площадь трапеции:

$A = \frac{MN + KL}{2} \cdot h$

$A = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4}$

$A = \frac{3\sqrt{3}}{16}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.

88. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер AB, CD и SC. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.Все ребра пирамиды равны $a = 1$.Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$ и $SC$. Обозначим эти середины как $M_1$, $M_2$ и $M_3$ соответственно.

Найти:

Описание сечения.Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, CD$ и $SC$.

Пусть $M_1$ – середина ребра $AB$, $M_2$ – середина ребра $CD$, $M_3$ – середина ребра $SC$.

1. Соединим точки $M_1$ и $M_2$. Отрезок $M_1M_2$ лежит в плоскости основания $ABCD$. Поскольку $ABCD$ – квадрат со стороной $a=1$, и $M_1$, $M_2$ – середины противоположных сторон, то $M_1M_2$ параллелен $AD$ и $BC$, и его длина $M_1M_2 = a = 1$.

2. Соединим точки $M_2$ и $M_3$. Отрезок $M_2M_3$ лежит в плоскости грани $SCD$.

3. Поскольку отрезок $M_1M_2$ параллелен стороне $BC$ (лежащей в плоскости грани $SBC$), и точка $M_3$ лежит на ребре $SC$, плоскость сечения, содержащая $M_1M_2$ и $M_3$, будет пересекать грань $SBC$ по линии, параллельной $BC$. Эта линия должна проходить через $M_3$. Пусть эта линия пересекает ребро $SB$ в точке $M_4$.

4. Так как $M_3M_4 \parallel BC$, и $M_3$ – середина $SC$, то по свойству средней линии треугольника $M_4$ является серединой ребра $SB$. Отрезок $M_3M_4$ является средней линией треугольника $SBC$. Поскольку все ребра пирамиды равны $a=1$, треугольник $SBC$ – равносторонний со стороной 1. Следовательно, $M_3M_4 = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

5. Соединим точки $M_1$ и $M_4$. Отрезок $M_1M_4$ лежит в плоскости грани $SAB$. $M_1M_4$ является средней линией треугольника $SAB$, так как $M_1$ – середина $AB$ и $M_4$ – середина $SB$. Аналогично, треугольник $SAB$ – равносторонний со стороной 1, поэтому $M_1M_4 = \frac{1}{2} SA = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

6. Теперь рассмотрим отрезок $M_2M_3$. Он является средней линией треугольника $SCD$ (т.к. $M_2$ – середина $CD$, $M_3$ – середина $SC$). Треугольник $SCD$ – равносторонний со стороной 1, поэтому $M_2M_3 = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 1 = 0.5$.

7. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $M_1M_4M_3M_2$ со сторонами: $M_1M_2 = 1$ $M_3M_4 = 0.5$ $M_1M_4 = 0.5$ $M_2M_3 = 0.5$

Поскольку $M_1M_2 \parallel BC$ и $M_3M_4 \parallel BC$, то $M_1M_2 \parallel M_3M_4$.Следовательно, сечение $M_1M_4M_3M_2$ является равнобокой трапецией (поскольку $M_1M_4 = M_2M_3$).

Ответ: Сечение представляет собой равнобокую трапецию $M_1M_4M_3M_2$, где $M_1$ – середина $AB$, $M_2$ – середина $CD$, $M_3$ – середина $SC$, $M_4$ – середина $SB$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади равнобокой трапеции $M_1M_4M_3M_2$ используем формулу $A = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ – длины оснований, $h$ – высота трапеции.

Основания трапеции: $b_1 = M_1M_2 = 1$, $b_2 = M_3M_4 = 0.5$.Боковые стороны: $l = M_1M_4 = M_2M_3 = 0.5$.

Проведем высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из $M_4$ и $M_3$ на основание $M_1M_2$. Пусть $H_4$ – основание перпендикуляра из $M_4$ на $M_1M_2$.Тогда отрезок $M_1H_4 = \frac{M_1M_2 - M_3M_4}{2} = \frac{1 - 0.5}{2} = \frac{0.5}{2} = 0.25$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $M_1M_4$, высотой $h$ (равной $M_4H_4$) и отрезком $M_1H_4$.По теореме Пифагора: $h^2 + (M_1H_4)^2 = (M_1M_4)^2$.$h^2 + (0.25)^2 = (0.5)^2$.$h^2 + 0.0625 = 0.25$.$h^2 = 0.25 - 0.0625 = 0.1875$.$h = \sqrt{0.1875} = \sqrt{\frac{1875}{10000}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 75}{100 \cdot 100}} = \sqrt{\frac{25 \cdot 3 \cdot 25}{100 \cdot 100}} = \frac{25 \sqrt{3}}{100} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем площадь трапеции:$A = \frac{1 + 0.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{1.5}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.

89. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и параллельное ребру $SB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1. ($AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$).

Сечение проходит через середины ребер $AB$ и $BC$. Обозначим эти середины как $M$ и $N$ соответственно.

Сечение параллельно ребру $SB$.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения.

Решение:

1.Описание сечения:

Пусть $M$ — середина ребра $AB$, а $N$ — середина ребра $BC$.

Так как сечение проходит через $M$ и $N$, отрезок $MN$ лежит в плоскости сечения.

В основании $ABCD$ (квадрат со стороной 1), $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда $MN \parallel AC$ и длина $MN = \frac{1}{2} AC$. Диагональ квадрата $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Таким образом, $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Плоскость сечения параллельна ребру $SB$. Это означает, что если через точку $M$ в плоскости грани $SAB$ провести прямую, параллельную $SB$, она будет принадлежать плоскости сечения. Аналогично, если через точку $N$ в плоскости грани $SBC$ провести прямую, параллельную $SB$, она также будет принадлежать плоскости сечения.

Проведем через $M$ прямую, параллельную $SB$, до пересечения с ребром $SA$ в точке $P$. Поскольку $M$ — середина $AB$ и $MP \parallel SB$, то $MP$ является средней линией треугольника $SAB$. Следовательно, $P$ — середина $SA$, и $MP = \frac{1}{2} SB$. Так как все ребра пирамиды равны 1, $SB = 1$, значит $MP = \frac{1}{2}$.

Проведем через $N$ прямую, параллельную $SB$, до пересечения с ребром $SC$ в точке $Q$. Аналогично, поскольку $N$ — середина $BC$ и $NQ \parallel SB$, то $NQ$ является средней линией треугольника $SBC$. Следовательно, $Q$ — середина $SC$, и $NQ = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2}$.

Теперь соединим точки $P$ и $Q$. $P$ и $Q$ являются серединами ребер $SA$ и $SC$ соответственно. Следовательно, $PQ$ является средней линией треугольника $SAC$. Отсюда $PQ \parallel AC$ и $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNQP$ со сторонами $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $MP = \frac{1}{2}$, $NQ = \frac{1}{2}$, $PQ = \frac{\sqrt{2}}{2}$. Поскольку $MN \parallel PQ$ (обе параллельны $AC$) и $MP \parallel NQ$ (обе параллельны $SB$), четырехугольник $MNQP$ является параллелограммом.

Для определения вида параллелограмма, рассмотрим угол между его смежными сторонами, например, между $MN$ и $MP$. Сторона $MN$ параллельна диагонали основания $AC$. Сторона $MP$ параллельна боковому ребру $SB$.

В правильной четырехугольной пирамиде, у которой все ребра равны, боковые грани являются равносторонними треугольниками, а основание — квадрат.

Покажем, что $AC \perp SB$. Пусть $O$ — центр основания $ABCD$. Тогда $SO$ — высота пирамиды. $SO \perp AC$ (так как $SO$ перпендикулярна плоскости основания). Также, в квадрате $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$. Поскольку $SO$ и $BD$ лежат в плоскости $SBD$ и обе перпендикулярны $AC$, то плоскость $SBD$ перпендикулярна $AC$. Так как ребро $SB$ лежит в плоскости $SBD$, то $SB \perp AC$.

Поскольку $MN \parallel AC$ и $MP \parallel SB$, и $AC \perp SB$, то $MN \perp MP$.

Следовательно, параллелограмм $MNQP$ является прямоугольником.

2.Площадь сечения:

Площадь прямоугольника $MNQP$ равна произведению длин его смежных сторон:

$S_{MNQP} = MN \cdot MP$

Мы нашли $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$ и $MP = \frac{1}{2}$.

$S_{MNQP} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ: Сечение является прямоугольником $MNQP$ со сторонами $\frac{\sqrt{2}}{2}$ и $\frac{1}{2}$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{2}}{4}$.

90. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и перпендикулярное ребру $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длины всех ребер равны $1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$ и $BC$ и перпендикулярно ребру $SD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица длины).

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB, BC$ и перпендикулярное ребру $SD$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ со стороной основания $AB = BC = CD = DA = 1$ и боковыми ребрами $SA = SB = SC = SD = 1$. Пусть $H$ - центр основания пирамиды, т.е. точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Высота пирамиды $SH$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим систему координат с началом в точке $H(0,0,0)$. Тогда координаты вершин будут:

• $A(-1/2, -1/2, 0)$

• $B(1/2, -1/2, 0)$

• $C(1/2, 1/2, 0)$

• $D(-1/2, 1/2, 0)$

Длина диагонали основания $AC = BD = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Расстояние от центра до вершины основания $HA = HB = HC = HD = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $SHB$ (или любом другом $SHA, SHC, SHD$): $SH^2 + HB^2 = SB^2$.

$SH^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = 1^2 \implies SH^2 + \frac{1}{2} = 1 \implies SH^2 = \frac{1}{2} \implies SH = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Координаты вершины $S(0,0,\frac{\sqrt{2}}{2})$.

Пусть $M$ - середина ребра $AB$, $N$ - середина ребра $BC$.

• Координаты $M$: $M\left(\frac{-1/2+1/2}{2}, \frac{-1/2-1/2}{2}, 0\right) = M(0, -1/2, 0)$.

• Координаты $N$: $N\left(\frac{1/2+1/2}{2}, \frac{-1/2+1/2}{2}, 0\right) = N(1/2, 0, 0)$.

Сечение проходит через точки $M$ и $N$. Плоскость сечения $\alpha$ перпендикулярна ребру $SD$.

Вектор $\vec{SD}$ является нормальным вектором к плоскости сечения. $\vec{SD} = D - S = (-1/2, 1/2, 0) - (0,0,\sqrt{2}/2) = (-1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$.

Уравнение плоскости $\alpha$ имеет вид $Ax + By + Cz = D_1$, где $(A,B,C)$ - компоненты нормального вектора, т.е. $(-1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$.

$-1/2 x + 1/2 y - \sqrt{2}/2 z = D_1$. Умножим на $-2$: $x - y + \sqrt{2} z = -2D_1$. Пусть $-2D_1 = D_0$.

Уравнение плоскости: $x - y + \sqrt{2} z = D_0$.

Точка $M(0, -1/2, 0)$ лежит в плоскости: $0 - (-1/2) + \sqrt{2} \cdot 0 = D_0 \implies D_0 = 1/2$.

Уравнение плоскости сечения: $x - y + \sqrt{2} z = 1/2$.

Найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:

1. Ребра основания $AB, BC, CD, DA$: Точки $M(0, -1/2, 0)$ на $AB$ и $N(1/2, 0, 0)$ на $BC$ уже найдены.

2. Ребро $SA$: Вектор $\vec{SA} = A - S = (-1/2, -1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SA$: $P(t) = S + t\vec{SA} = (-t/2, -t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(-t/2) - (-t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $0 + (1 - t) = 1/2 \implies t = 1/2$. Точка $L$ - середина $SA$. $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$.

3. Ребро $SB$: Вектор $\vec{SB} = B - S = (1/2, -1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SB$: $P(t) = S + t\vec{SB} = (t/2, -t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(t/2) - (-t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $t + (1 - t) = 1/2 \implies 1 = 1/2$. Это противоречие означает, что плоскость сечения параллельна ребру $SB$ и не пересекает его. Действительно, скалярное произведение нормального вектора плоскости $\vec{n} = \vec{SD}$ и $\vec{SB}$ равно $\vec{SD} \cdot \vec{SB} = (-1/2)(1/2) + (1/2)(-1/2) + (-\sqrt{2}/2)(-\sqrt{2}/2) = -1/4 - 1/4 + 2/4 = 0$.

4. Ребро $SC$: Вектор $\vec{SC} = C - S = (1/2, 1/2, -\sqrt{2}/2)$. Параметрическое уравнение прямой $SC$: $P(t) = S + t\vec{SC} = (t/2, t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(t/2) - (t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $0 + (1 - t) = 1/2 \implies t = 1/2$. Точка $P$ - середина $SC$. $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$.

5. Ребро $SD$: Поскольку плоскость перпендикулярна $SD$, она пересекает $SD$ в одной точке. Параметрическое уравнение прямой $SD$: $P(t) = S + t\vec{SD} = (-t/2, t/2, \sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2)$ для $0 \le t \le 1$.

   Подставим в уравнение плоскости: $(-t/2) - (t/2) + \sqrt{2}(\sqrt{2}/2 - t\sqrt{2}/2) = 1/2$.

   $-t + (1 - t) = 1/2 \implies 1 - 2t = 1/2 \implies 2t = 1/2 \implies t = 1/4$. Точка $Q$ на $SD$ такова, что $SQ = \frac{1}{4}SD$. $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$.

Таким образом, сечение является пятиугольником $MNPQL$ с вершинами:

• $M(0, -1/2, 0)$

• $N(1/2, 0, 0)$

• $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$

• $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$

• $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$

Для построения сечения:

1. Отметьте точки $M$ и $N$ как середины ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Соедините их отрезком $MN$.

2. Поскольку $M$ и $N$ являются серединами сторон смежных треугольников $SAB$ и $SBC$, а плоскость сечения параллельна $SB$, через $M$ проведите прямую, параллельную $SB$, до пересечения с $SA$ (это будет точка $L$, середина $SA$). Аналогично через $N$ проведите прямую, параллельную $SB$, до пересечения с $SC$ (это будет точка $P$, середина $SC$).

3. Отрезок $LP$ соединяет середины $SA$ и $SC$, поэтому он параллелен $AC$. Отрезок $MN$ также параллелен $AC$ (как средняя линия треугольника $ABC$). Следовательно, $MNPL$ является параллелограммом, так как $MN \parallel LP$ и $MN = LP = \frac{\sqrt{2}}{2}$, а также $LM \parallel NP$ и $LM = NP = \frac{1}{2}$.

4. Точка $Q$ на ребре $SD$ определяется как точка пересечения прямой $SD$ с плоскостью сечения. Согласно расчетам, $Q$ делит ребро $SD$ в отношении $SQ:QD = 1:3$. Соедините $L$ с $Q$ и $P$ с $Q$.

5. Соедините последовательно точки $M, N, P, Q, L$. Полученный пятиугольник $MNPQL$ и есть искомое сечение.

Ответ: Сечение является пятиугольником $MNPQL$, где $M$ - середина $AB$, $N$ - середина $BC$, $L$ - середина $SA$, $P$ - середина $SC$, а $Q$ - точка на $SD$ такая, что $SQ = \frac{1}{4}SD$.

Найдите его площадь.

Площадь пятиугольника $MNPQL$ можно найти, разбив его на параллелограмм $MNPL$ и треугольник $LPQ$.

Координаты вершин:

• $M(0, -1/2, 0)$

• $N(1/2, 0, 0)$

• $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$

• $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$

• $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$

Площадь параллелограмма $MNPL$:

Используем векторы двух смежных сторон, например $\vec{LM}$ и $\vec{LP}$.

$\vec{LM} = M - L = (0 - (-1/4), -1/2 - (-1/4), 0 - \sqrt{2}/4) = (1/4, -1/4, -\sqrt{2}/4)$.

$\vec{LP} = P - L = (1/4 - (-1/4), 1/4 - (-1/4), \sqrt{2}/4 - \sqrt{2}/4) = (1/2, 1/2, 0)$.

Площадь $A_{MNPL} = |\vec{LM} \times \vec{LP}| = \left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1/4 & -1/4 & -\sqrt{2}/4 \\ 1/2 & 1/2 & 0 \end{vmatrix} \right|$

$= |\vec{i}((-1/4) \cdot 0 - (-\sqrt{2}/4) \cdot (1/2)) - \vec{j}((1/4) \cdot 0 - (-\sqrt{2}/4) \cdot (1/2)) + \vec{k}((1/4) \cdot (1/2) - (-1/4) \cdot (1/2))|$

$= |\vec{i}(\sqrt{2}/8) - \vec{j}(\sqrt{2}/8) + \vec{k}(1/8 + 1/8)| = |(\sqrt{2}/8, -\sqrt{2}/8, 2/8)| = |(\sqrt{2}/8, -\sqrt{2}/8, 1/4)|$.

$A_{MNPL} = \sqrt{(\sqrt{2}/8)^2 + (-\sqrt{2}/8)^2 + (1/4)^2} = \sqrt{2/64 + 2/64 + 1/16} = \sqrt{4/64 + 4/64} = \sqrt{8/64} = \sqrt{1/8} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Площадь треугольника $LPQ$:

Вершины: $L(-1/4, -1/4, \sqrt{2}/4)$, $P(1/4, 1/4, \sqrt{2}/4)$, $Q(-1/8, 1/8, 3\sqrt{2}/8)$.

Вектор $\vec{PL} = L - P = (-1/4 - 1/4, -1/4 - 1/4, \sqrt{2}/4 - \sqrt{2}/4) = (-1/2, -1/2, 0)$.

Вектор $\vec{PQ} = Q - P = (-1/8 - 1/4, 1/8 - 1/4, 3\sqrt{2}/8 - \sqrt{2}/4) = (-3/8, -1/8, 3\sqrt{2}/8 - 2\sqrt{2}/8) = (-3/8, -1/8, \sqrt{2}/8)$.

$A_{LPQ} = \frac{1}{2} |\vec{PL} \times \vec{PQ}| = \frac{1}{2} \left| \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1/2 & -1/2 & 0 \\ -3/8 & -1/8 & \sqrt{2}/8 \end{vmatrix} \right|$

$= \frac{1}{2} |\vec{i}((-1/2) \cdot (\sqrt{2}/8) - 0) - \vec{j}((-1/2) \cdot (\sqrt{2}/8) - 0) + \vec{k}((-1/2) \cdot (-1/8) - (-1/2) \cdot (-3/8))|$

$= \frac{1}{2} |\vec{i}(-\sqrt{2}/16) - \vec{j}(-\sqrt{2}/16) + \vec{k}(1/16 - 3/16)| = \frac{1}{2} |(-\sqrt{2}/16, \sqrt{2}/16, -2/16)| = \frac{1}{2} |(-\sqrt{2}/16, \sqrt{2}/16, -1/8)|$.

$A_{LPQ} = \frac{1}{2} \sqrt{(-\sqrt{2}/16)^2 + (\sqrt{2}/16)^2 + (-1/8)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{2/256 + 2/256 + 1/64} = \frac{1}{2} \sqrt{4/256 + 4/256} = \frac{1}{2} \sqrt{8/256} = \frac{1}{2} \sqrt{1/32} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{8\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{16}$.

Общая площадь сечения $A_{MNPQL} = A_{MNPL} + A_{LPQ} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{16} = \frac{4\sqrt{2}}{16} + \frac{\sqrt{2}}{16} = \frac{5\sqrt{2}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{5\sqrt{2}}{16}$ квадратных единиц.

91. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $SB$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Сечение проходит через вершину $A$ и середины ребер $SB$ и $SD$.

Обозначим $M$ - середина ребра $SB$, $N$ - середина ребра $SD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{AMN}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$

Чтобы изобразить сечение, следуйте следующим шагам:

1. Нарисуйте правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $S$ - вершина, а $ABCD$ - квадратное основание. Точка $O$ - центр квадрата $ABCD$ и основание высоты пирамиды $SO$.
2. Отметьте вершину $A$ на основании пирамиды.
3. Найдите середину $M$ ребра $SB$.
4. Найдите середину $N$ ребра $SD$.
5. Соедините точки $A$, $M$, $N$. Полученное сечение является треугольником $AMN$.

Таким образом, искомое сечение - это треугольник $AMN$.

Ответ:

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $AMN$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длины сторон $AM$ и $AN$:

Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольники $SAB$ и $SAD$ являются равносторонними со стороной 1. $M$ - середина $SB$, $N$ - середина $SD$.

В равностороннем треугольнике $SAB$ со стороной $SA=AB=SB=1$, $AM$ является медианой, проведенной к стороне $SB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в равностороннем треугольнике $SAD$ со стороной $SA=AD=SD=1$, $AN$ является медианой, проведенной к стороне $SD$.

Следовательно, $AN = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Длина стороны $MN$:

Треугольник $SBD$ образован вершиной $S$ и диагональю основания $BD$. $M$ - середина $SB$, $N$ - середина $SD$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SBD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае $MN = \frac{1}{2} BD$.

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной $AB=1$. Диагональ квадрата $BD$ находится по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, $MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление площади треугольника $AMN$:

Стороны треугольника $AMN$ равны: $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AN = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Треугольник $AMN$ является равнобедренным ($AM=AN$). Для нахождения его площади используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем $MN$. Высоту $AK$ проведем из вершины $A$ к середине $K$ стороны $MN$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ (так как $AK \perp MN$):

$KM = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

По теореме Пифагора: $AK^2 = AM^2 - KM^2$

$AK^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$AK^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{16}$

$AK^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{8}$

$AK^2 = \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

$AK = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.

Площадь треугольника $AMN$:

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot AK$

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$

$S_{AMN} = \frac{\sqrt{20}}{16}$

$S_{AMN} = \frac{2\sqrt{5}}{16}$

$S_{AMN} = \frac{\sqrt{5}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{8}$

92. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершину $B$, середину ребра $SD$ и параллельное прямой $AC$. Найдите его площадь.

Дано:
Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.
Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Найти:
Площадь сечения, проходящего через вершину $B$, середину ребра $SD$ и параллельного прямой $AC$.

Решение:

Изобразите сечение
Для построения и описания сечения введем систему координат. Пусть вершина $D$ имеет координаты $(0,0,0)$. Ребра основания $DC$ и $DA$ лежат на осях $x$ и $y$ соответственно. Тогда координаты вершин основания: $D(0,0,0)$, $C(1,0,0)$, $B(1,1,0)$, $A(0,1,0)$.
Центр основания $O$ имеет координаты $(0.5, 0.5, 0)$.
Высота пирамиды $SO = h$. В правильной пирамиде $SO$ перпендикулярна основанию, а $O$ является центром основания. Длина диагонали основания $AC = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$. Длина отрезка $OC = \frac{1}{2}AC = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Из прямоугольного треугольника $SOC$: $SC^2 = SO^2 + OC^2$. Подставляя известные значения, $1^2 = h^2 + (\frac{\sqrt{2}}{2})^2 \implies 1 = h^2 + \frac{1}{2} \implies h^2 = \frac{1}{2} \implies h = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, координаты вершины $S$: $(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$.
Сечение проходит через вершину $B(1,1,0)$ и середину ребра $SD$. Обозначим середину ребра $SD$ как точку $M$.
Координаты $M = (\frac{D_x+S_x}{2}, \frac{D_y+S_y}{2}, \frac{D_z+S_z}{2}) = (\frac{0+0.5}{2}, \frac{0+0.5}{2}, \frac{0+\sqrt{2}/2}{2}) = (\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.
Плоскость сечения $\alpha$ параллельна прямой $AC$. Вектор $\vec{AC} = C-A = (1,-1,0)$.
Так как плоскость $\alpha$ содержит точку $B$ и параллельна $AC$, а также содержит точку $M$ (середину $SD$), то можно найти другие точки сечения, используя свойство параллельности. Если плоскость параллельна прямой, то линии пересечения этой плоскости с любыми другими плоскостями, содержащими данную прямую, будут параллельны этой прямой.
Поскольку $AC$ лежит в плоскости основания $ABCD$, а сечение проходит через $B$, то пересечение сечения с плоскостью основания является линией, проходящей через $B$ параллельно $AC$. Однако, в контексте сечений пирамиды, это означает, что плоскость сечения "обрезает" грани. Воспользуемся аналитической геометрией для точного определения плоскости и точек пересечения:
Нормальный вектор $\vec{n} = (n_x, n_y, n_z)$ плоскости $\alpha$ ортогонален вектору $\vec{AC}$, поэтому $\vec{n} \cdot \vec{AC} = 0 \implies (n_x, n_y, n_z) \cdot (1,-1,0) = 0 \implies n_x - n_y = 0 \implies n_x = n_y$.
Уравнение плоскости: $n_x x + n_x y + n_z z + D' = 0$.
Плоскость содержит $B(1,1,0)$: $n_x(1) + n_x(1) + n_z(0) + D' = 0 \implies 2n_x + D' = 0 \implies D' = -2n_x$.
Уравнение плоскости: $n_x x + n_x y + n_z z - 2n_x = 0$.
Плоскость содержит $M(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$: $n_x(\frac{1}{4}) + n_x(\frac{1}{4}) + n_z(\frac{\sqrt{2}}{4}) - 2n_x = 0 \implies \frac{n_x}{2} + \frac{n_z\sqrt{2}}{4} - 2n_x = 0$.
Умножим на 4: $2n_x + n_z\sqrt{2} - 8n_x = 0 \implies n_z\sqrt{2} = 6n_x$.
Примем $n_x = 1$. Тогда $n_z = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
Нормальный вектор $\vec{n} = (1, 1, 3\sqrt{2})$. Уравнение плоскости сечения: $x + y + 3\sqrt{2}z - 2 = 0$.
Найдем остальные точки пересечения этой плоскости с ребрами пирамиды:
- Ребро $SC$: Параметрическое уравнение прямой $SC$, проходящей через $S(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $C(1,0,0)$: $P(t) = (1-t)C + tS = (1-t)(1,0,0) + t(0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$ для $t \in [0,1]$. $x=1-0.5t$, $y=0.5t$, $z=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
Подставим в уравнение плоскости: $(1-0.5t) + 0.5t + 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}t) - 2 = 0 \implies 1+3t-2 = 0 \implies 3t=1 \implies t=\frac{1}{3}$.
Точка $N$ на ребре $SC$ имеет координаты: $N = (1-\frac{0.5}{3}, \frac{0.5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}) = (\frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$. - Ребро $SA$: Параметрическое уравнение прямой $SA$, проходящей через $S(0.5, 0.5, \frac{\sqrt{2}}{2})$ и $A(0,1,0)$: $P(t) = (1-t)A + tS = (1-t)(0,1,0) + t(0.5,0.5,\frac{\sqrt{2}}{2})$ для $t \in [0,1]$. $x=0.5t$, $y=1-0.5t$, $z=\frac{\sqrt{2}}{2}t$.
Подставим в уравнение плоскости: $0.5t + (1-0.5t) + 3\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2}t) - 2 = 0 \implies 1+3t-2 = 0 \implies 3t=1 \implies t=\frac{1}{3}$.
Точка $P$ на ребре $SA$ имеет координаты: $P = (\frac{0.5}{3}, 1-\frac{0.5}{3}, \frac{\sqrt{2}}{6}) = (\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$.
Таким образом, сечение является четырехугольником $BPNM$.

Ответ: Сечение является четырехугольником $BPNM$, где $B$ - вершина основания, $M$ - середина ребра $SD$, $P$ - точка на $SA$ такая, что $AP:PS=1:2$, и $N$ - точка на $SC$ такая, что $CN:NS=1:2$.

Найдите его площадь
Площадь четырехугольника в пространстве можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} |\vec{d_1} \times \vec{d_2}|$, где $\vec{d_1}$ и $\vec{d_2}$ - векторы, соответствующие его диагоналям. Выберем диагонали $BN$ и $PM$.
Координаты вершин сечения: $B(1,1,0)$, $P(\frac{1}{6}, \frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$, $N(\frac{5}{6}, \frac{1}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$, $M(\frac{1}{4}, \frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.
Вектор $\vec{BN} = N-B = (\frac{5}{6}-1, \frac{1}{6}-1, \frac{\sqrt{2}}{6}-0) = (-\frac{1}{6}, -\frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{6})$.
Вектор $\vec{PM} = M-P = (\frac{1}{4}-\frac{1}{6}, \frac{1}{4}-\frac{5}{6}, \frac{\sqrt{2}}{4}-\frac{\sqrt{2}}{6})$.
Преобразуем компоненты $\vec{PM}$ к общему знаменателю 12: $(\frac{3-2}{12}, \frac{3-10}{12}, \frac{3\sqrt{2}-2\sqrt{2}}{12}) = (\frac{1}{12}, -\frac{7}{12}, \frac{\sqrt{2}}{12})$.
Найдем векторное произведение $\vec{BN} \times \vec{PM}$: $\vec{BN} \times \vec{PM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{1}{6} & -\frac{5}{6} & \frac{\sqrt{2}}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{7}{12} & \frac{\sqrt{2}}{12} \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i} \left( (-\frac{5}{6})(\frac{\sqrt{2}}{12}) - (\frac{\sqrt{2}}{6})(-\frac{7}{12}) \right) - \mathbf{j} \left( (-\frac{1}{6})(\frac{\sqrt{2}}{12}) - (\frac{\sqrt{2}}{6})(\frac{1}{12}) \right) + \mathbf{k} \left( (-\frac{1}{6})(-\frac{7}{12}) - (-\frac{5}{6})(\frac{1}{12}) \right)$
$= \mathbf{i} \left( -\frac{5\sqrt{2}}{72} + \frac{7\sqrt{2}}{72} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{\sqrt{2}}{72} - \frac{\sqrt{2}}{72} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{7}{72} + \frac{5}{72} \right)$
$= \mathbf{i} \left( \frac{2\sqrt{2}}{72} \right) - \mathbf{j} \left( -\frac{2\sqrt{2}}{72} \right) + \mathbf{k} \left( \frac{12}{72} \right)$
$= (\frac{\sqrt{2}}{36}, \frac{\sqrt{2}}{36}, \frac{1}{6})$.
Модуль векторного произведения: $|\vec{BN} \times \vec{PM}| = \sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{36})^2 + (\frac{\sqrt{2}}{36})^2 + (\frac{1}{6})^2}$
$= \sqrt{\frac{2}{1296} + \frac{2}{1296} + \frac{1}{36}} = \sqrt{\frac{4}{1296} + \frac{36}{1296}} = \sqrt{\frac{40}{1296}} = \frac{\sqrt{40}}{\sqrt{1296}} = \frac{2\sqrt{10}}{36} = \frac{\sqrt{10}}{18}$.
Площадь сечения $S = \frac{1}{2} |\vec{BN} \times \vec{PM}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{18} = \frac{\sqrt{10}}{36}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{10}}{36}$.

93. Изобразите сечение пирамиды $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, проходящее через вершины $A$, $F$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$.

Основание $ABCDEF$ - правильный шестиугольник со стороной $a = 1$.

Боковые ребра $SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Сечение проходит через вершины $A$, $F$ и середину ребра $SC$, обозначим ее $M$.

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в единой системе без конкретных единиц измерения, что соответствует условиям задачи (например, метры, сантиметры или условные единицы).

Найти:

1. Изобразить сечение пирамиды.

2. Площадь сечения.

Решение:

1.Изображение сечения:

Для того чтобы изобразить сечение пирамиды $SABCDEF$ плоскостью, проходящей через точки $A$, $F$ и $M$ (середину $SC$), выполним следующие шаги:

1. Нарисуйте правильный шестиугольник $ABCDEF$ в качестве основания пирамиды.

2. Обозначьте центр основания $O$. Так как пирамида правильная (все боковые ребра равны, а основание - правильный многоугольник), вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания.

3. Соедините вершину $S$ со всеми вершинами основания ($A, B, C, D, E, F$), чтобы получить боковые ребра пирамиды.

4. Отметьте точку $M$ как середину ребра $SC$.

5. Плоскость сечения определяется тремя точками $A, F, M$.

6. Поскольку точки $A$ и $F$ лежат в плоскости основания, отрезок $AF$ является одной из сторон искомого сечения.

7. Точки $A$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $SAC$. Отрезок $AM$ является второй стороной сечения.

8. Точки $F$ и $M$ лежат в плоскости боковой грани $SFC$. Отрезок $FM$ является третьей стороной сечения.

9. Таким образом, сечение пирамиды плоскостью $AFM$ представляет собой треугольник $AFM$.

2.Нахождение площади сечения:

Для нахождения площади треугольника $AFM$ нам необходимо знать длины его сторон. Найдем их:

• Длина стороны $AF$:

  Вершины $A$ и $F$ являются соседними вершинами правильного шестиугольника $ABCDEF$. Сторона основания шестиугольника равна $1$. Следовательно, отрезок, соединяющий две соседние вершины, является стороной шестиугольника.

  $AF = 1$.

• Длина стороны $AM$:

  Рассмотрим треугольник $SAC$. Известны длины боковых ребер $SA=2$ и $SC=2$. Длина диагонали $AC$ правильного шестиугольника (проходящей через центр) равна удвоенной длине стороны основания, т.е. $AC = 2 \cdot 1 = 2$.

  Таким образом, треугольник $SAC$ является равносторонним треугольником со стороной $2$.

  Точка $M$ является серединой ребра $SC$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, является также высотой.

  Длина медианы в равностороннем треугольнике со стороной $l$ вычисляется по формуле $l\frac{\sqrt{3}}{2}$.

  $AM = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

• Длина стороны $FM$:

  Рассмотрим треугольник $SFC$. Известны длины боковых ребер $SF=2$ и $SC=2$. Длина диагонали $FC$ правильного шестиугольника, соединяющей вершины через одну, равна $a\sqrt{3}$, где $a$ - длина стороны шестиугольника. В нашем случае $a=1$, поэтому $FC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

  Таким образом, треугольник $SFC$ является равнобедренным с $SF=SC=2$ и $FC=\sqrt{3}$.

  Точка $M$ является серединой ребра $SC$, то есть $SM = MC = SC/2 = 2/2 = 1$.

  Применим теорему Аполлония (или теорему о медиане) для треугольника $SFC$ и медианы $FM$:

  $SF^2 + FC^2 = 2(FM^2 + MC^2)$

  Подставим известные значения:

  $2^2 + (\sqrt{3})^2 = 2(FM^2 + 1^2)$

  $4 + 3 = 2(FM^2 + 1)$

  $7 = 2FM^2 + 2$

  $2FM^2 = 5$

  $FM^2 = \frac{5}{2}$

  $FM = \sqrt{\frac{5}{2}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $AFM$:

$AF = 1$

$AM = \sqrt{3}$

$FM = \frac{\sqrt{10}}{2}$

Для нахождения площади треугольника $AFM$ воспользуемся формулой площади через две стороны и синус угла между ними. Найдем косинус угла $\angle FAM$ по теореме косинусов в $\triangle AFM$:

$FM^2 = AF^2 + AM^2 - 2 \cdot AF \cdot AM \cdot \cos(\angle FAM)$

$(\frac{\sqrt{10}}{2})^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \cos(\angle FAM)$

$\frac{10}{4} = 1 + 3 - 2\sqrt{3} \cos(\angle FAM)$

$\frac{5}{2} = 4 - 2\sqrt{3} \cos(\angle FAM)$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = 4 - \frac{5}{2}$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = \frac{8-5}{2}$

$2\sqrt{3} \cos(\angle FAM) = \frac{3}{2}$

$\cos(\angle FAM) = \frac{3/2}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{4\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{12} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь найдем синус угла $\angle FAM$, используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$:

$\sin^2(\angle FAM) = 1 - \cos^2(\angle FAM)$

$\sin^2(\angle FAM) = 1 - \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{3}{16} = \frac{16-3}{16} = \frac{13}{16}$.

Поскольку $\angle FAM$ является углом треугольника, его синус положителен.

$\sin(\angle FAM) = \sqrt{\frac{13}{16}} = \frac{\sqrt{13}}{4}$.

Площадь треугольника $AFM$ вычисляется по формуле:

$S_{AFM} = \frac{1}{2} \cdot AF \cdot AM \cdot \sin(\angle FAM)$

$S_{AFM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{4}$

$S_{AFM} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}{8} = \frac{\sqrt{39}}{8}$.

Ответ:

Сечение представляет собой треугольник $AFM$. Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{39}}{8}$.

94. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины A, B и середину ребра $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B$ и середину ребра $A_1C_1$. Обозначим середину ребра $A_1C_1$ как $M$.

Перевод в систему СИ:

Все длины заданы в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Площадь сечения $S_{ABM}$.

Решение:

Сечением является треугольник $ABM$. Для нахождения его площади используем формулу площади треугольника: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем ребро $AB$.

1.Длина основания $AB$:

По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, длина ребра $AB = 1$.

$AB = 1$

2.Нахождение высоты сечения:

Для нахождения высоты треугольника $ABM$ (опущенной из вершины $M$ на основание $AB$), используем метод проекций.

Проекция точки $M$ (середины $A_1C_1$) на плоскость основания $ABC$ является серединой ребра $AC$. Обозначим эту точку $K$.

Высота призмы $h = AA_1 = 1$. Это также расстояние от точки $M$ до плоскости $ABC$, то есть $MK = 1$.

Найдем расстояние от точки $K$ до прямой $AB$. В основании лежит правильный (равносторонний) треугольник $ABC$ со стороной 1. Точка $K$ — середина $AC$.

В плоскости основания $ABC$ проведем высоту $CH$ из вершины $C$ к стороне $AB$. Длина $CH = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $K$ является серединой $AC$, а $CH$ перпендикулярно $AB$, то расстояние от $K$ до $AB$ равно половине высоты $CH$. Проведем перпендикуляр $KP$ из $K$ на $AB$.

$KP = \frac{1}{2} CH = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MKP$. Катет $MK = 1$ (высота призмы), катет $KP = \frac{\sqrt{3}}{4}$ (расстояние от проекции $M$ до прямой $AB$). Гипотенуза $MP$ является искомой высотой треугольника $ABM$ относительно основания $AB$.

По теореме Пифагора:

$MP^2 = MK^2 + KP^2$

$MP^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$

$MP = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

3.Вычисление площади сечения:

Площадь треугольника $ABM$ равна:

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot MP$

$S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{19}}{8}$

95. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все рёбра равны 1: $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$ (обозначим её как $M$).

Перевод в СИ

Длины рёбер даны в безразмерных единицах, поэтому преобразование в СИ не требуется.

Найти

Площадь сечения ($S_{сеч}$).

Решение

1.Построение сечения
Вершины $A$ и $C$ лежат в плоскости нижнего основания $ABC$. Следовательно, отрезок $AC$ является одной из сторон сечения.
Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$. $M$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$.
Поскольку плоскости оснований $ABC$ и $A_1B_1C_1$ параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими плоскостями должны быть параллельны.
Так как $AC$ - линия пересечения с нижним основанием, то в верхнем основании должна быть линия, параллельная $AC$ и проходящая через $M$.
В правильной треугольной призме основанием является равносторонний треугольник, поэтому $A_1C_1 \parallel AC$.
Проведем через точку $M$ в плоскости верхнего основания прямую, параллельную $A_1C_1$. Эта прямая пересечет ребро $B_1C_1$ в некоторой точке $K$.
В треугольнике $A_1B_1C_1$ отрезок $MK$ параллелен $A_1C_1$. Поскольку $M$ - середина $A_1B_1$, то по теореме Фалеса $MK$ является средней линией треугольника $A_1B_1C_1$, исходящей из $M$. Следовательно, $K$ - середина ребра $B_1C_1$.
Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ACKM$.
Поскольку $AC \parallel MK$, четырехугольник $ACKM$ является трапецией.

2.Определение длин сторон трапеции
Длина всех рёбер призмы равна 1.
Длина основания $AC = 1$.
Длина основания $MK$: $M$ и $K$ - середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ соответственно. $MK$ - средняя линия треугольника $A_1B_1C_1$.
Поэтому $MK = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.
Длина боковой стороны $AM$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Катет $AA_1 = 1$. Катет $A_1M = \frac{1}{2} A_1B_1 = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Длина боковой стороны $CK$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CC_1K$. Катет $CC_1 = 1$. Катет $C_1K = \frac{1}{2} C_1B_1 = \frac{1}{2}$.
По теореме Пифагора: $CK = \sqrt{CC_1^2 + C_1K^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.
Так как $AM = CK$, трапеция $ACKM$ является равнобедренной.

3.Вычисление высоты трапеции
Пусть $h$ - высота трапеции $ACKM$.
Опустим перпендикуляры из $M$ и $K$ на основание $AC$. Пусть длины отрезков, отсекаемых этими перпендикулярами на $AC$ с концов, равны $x$.
$x = \frac{AC - MK}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $AM$, высотой $h$ и отрезком $x$.
По теореме Пифагора: $h^2 + x^2 = AM^2$.
$h^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2$.
$h^2 + \frac{1}{16} = \frac{5}{4}$.
$h^2 = \frac{5}{4} - \frac{1}{16} = \frac{20}{16} - \frac{1}{16} = \frac{19}{16}$.
$h = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

4.Вычисление площади трапеции
Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, $h$ - высота.
$S_{ACKM} = \frac{AC + MK}{2} \cdot h = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4}$.
$S_{ACKM} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$.

Ответ

$S_{ACKM} = \frac{3\sqrt{19}}{16}$.

Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину ребра $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину $M$ ребра $A_1B_1$, представляет собой треугольник $BMC$.

• Сторона $BC$ является ребром нижнего основания призмы $ABC$.

• Сторона $BM$ соединяет вершину $B$ нижнего основания с серединой $M$ ребра $A_1B_1$ верхнего основания. Этот отрезок лежит в боковой грани $ABB_1A_1$ (которая является квадратом).

• Сторона $CM$ соединяет вершину $C$ нижнего основания с серединой $M$ ребра $A_1B_1$ верхнего основания. Этот отрезок проходит через внутреннюю часть призмы.

Треугольник $BMC$ является разносторонним.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BMC$, где $BC$ - ребро нижнего основания, $BM$ - отрезок, лежащий в боковой грани $ABB_1A_1$, а $CM$ - отрезок, проходящий внутри призмы.

Найдите его площадь

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и середину $M$ ребра $A_1B_1$.

В СИ:

Длина всех ребер $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{BMC}$.

Решение:

1. Определим длины сторон треугольника $BMC$.

Сторона $BC$: Это ребро основания правильной треугольной призмы. Так как все ребра равны $1$, то $BC = a = 1$.

Сторона $BM$: Рассмотрим боковую грань $ABB_1A_1$. Эта грань является квадратом со стороной $a=1$, так как призма правильная и все ее ребра равны $1$. Точка $M$ является серединой ребра $A_1B_1$, поэтому $MB_1 = A_1B_1 / 2 = a/2 = 1/2$.Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMB_1$. Угол при вершине $B_1$ прямой, так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$, а значит, и отрезку $MB_1$.По теореме Пифагора:

$BM^2 = BB_1^2 + MB_1^2$

$BM^2 = 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4$

$BM = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Сторона $CM$: Проведем перпендикуляр $MM'$ из точки $M$ к плоскости нижнего основания $ABC$. $MM'$ является высотой призмы, $MM' = a = 1$.Точка $M'$ является проекцией $M$ на плоскость $ABC$. Поскольку $M$ - середина $A_1B_1$, ее проекция $M'$ на плоскость $ABC$ будет серединой отрезка $AB$.Рассмотрим треугольник $M'BC$ в плоскости основания $ABC$.$M'$ - середина $AB$, поэтому $M'B = AB/2 = a/2 = 1/2$.В правильном треугольнике $ABC$ со стороной $a=1$, отрезок $M'C$ является медианой, проведенной из вершины $C$ к середине стороны $AB$. Длина такой медианы (или высоты в правильном треугольнике) равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, $M'C = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Проверим тип треугольника $M'BC$. Длины его сторон: $M'B = 1/2$, $M'C = \sqrt{3}/2$, $BC = 1$.Применим теорему Пифагора: $M'B^2 + M'C^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1/4 + 3/4 = 1$.Так как $BC^2 = 1^2 = 1$, то $M'B^2 + M'C^2 = BC^2$. Это означает, что треугольник $M'BC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M'$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $CMM'$. Угол при вершине $M'$ прямой, так как $MM'$ перпендикулярно плоскости $ABC$, а значит, и отрезку $M'C$.По теореме Пифагора:

$CM^2 = MM'^2 + M'C^2$

$CM^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 1 + 3/4 = 7/4$

$CM = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

2. Вычислим площадь треугольника $BMC$.

Для вычисления площади треугольника $BMC$ воспользуемся формулой $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем сторону $BC$. Высоту из точки $M$ на сторону $BC$ обозначим $MK$.Проекция $MK$ на плоскость основания $ABC$ - это отрезок $M'K$. $MM'$ - высота призмы, равная $1$.В прямоугольном треугольнике $M'BC$ (с прямым углом при $M'$), высота $M'K$ к гипотенузе $BC$ может быть найдена из формулы площади: $S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot M'B \cdot M'C$.$S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{8}$.Также, площадь треугольника $M'BC$ можно выразить как $S_{M'BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot M'K$.Следовательно, $\frac{\sqrt{3}}{8} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot M'K$.Отсюда $M'K = \frac{\sqrt{3}}{4}$.Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $MM'K$. Угол при вершине $M'$ прямой. По теореме Пифагора:

$MK^2 = MM'^2 + M'K^2$

$MK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2 = 1 + \frac{3}{16} = \frac{16+3}{16} = \frac{19}{16}$

$MK = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Площадь сечения $S_{BMC}$:

$S_{BMC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot MK = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{19}}{8}$.

97. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Призма: правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Ребра: все ребра равны $1$. То есть, $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Сечение: проходит через вершины $A_1$, $B_1$ и середину ребра $AC$. Обозначим середину ребра $AC$ как $M$.

Перевод в СИ:

Все длины заданы в условных единицах (число $1$), поэтому нет необходимости в численном переводе в систему СИ.

Найти:

1. Изобразить сечение (описать его).

2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Пусть правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$ имеет основание $ABC$ и верхнее основание $A_1B_1C_1$. Боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны основаниям. Длины всех ребер равны $1$.
Точки, через которые проходит сечение:
— Вершина $A_1$ (принадлежит верхнему основанию $A_1B_1C_1$ и боковому ребру $AA_1$).
— Вершина $B_1$ (принадлежит верхнему основанию $A_1B_1C_1$ и боковому ребру $BB_1$).
— Середина ребра $AC$. Обозначим эту точку $M$. Точка $M$ принадлежит нижнему основанию $ABC$.
Поскольку точки $A_1$ и $B_1$ лежат в одной плоскости (плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$), отрезок $A_1B_1$ является одной из сторон сечения.
Поскольку точки $A_1$ и $M$ лежат в одной плоскости (плоскости боковой грани $AA_1C_1C$), отрезок $A_1M$ является одной из сторон сечения.
Поскольку точки $B_1$ и $M$ лежат в пространстве, отрезок $B_1M$ является третьей стороной сечения.
Таким образом, сечение является треугольником $A_1B_1M$.
Этот треугольник пересекает призму, соединяя две вершины верхнего основания с серединой одной из сторон нижнего основания.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $A_1B_1M$, где $M$ — середина ребра $AC$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $A_1B_1M$ вычислим длины его сторон. Длина всех ребер призмы $a = 1$.

1. Длина стороны $A_1B_1$: Отрезок $A_1B_1$ является стороной верхнего основания $A_1B_1C_1$. Поскольку призма правильная, ее основания — правильные треугольники. Длина стороны верхнего основания равна длине всех ребер призмы, то есть $1$.
$|A_1B_1| = 1$.

2. Длина стороны $A_1M$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Боковое ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, поэтому оно перпендикулярно любому отрезку в этой плоскости, проходящему через $A$, в том числе $AM$.
Длина $AA_1 = 1$.
$M$ — середина ребра $AC$. Длина ребра $AC = 1$, поэтому $AM = AC/2 = 1/2$.
По теореме Пифагора для $\triangle AA_1M$:
$|A_1M|^2 = |AA_1|^2 + |AM|^2$
$|A_1M|^2 = 1^2 + (1/2)^2 = 1 + 1/4 = 5/4$.
$|A_1M| = \sqrt{5}/2$.

3. Длина стороны $B_1M$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $BB_1M$. Боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$, поэтому оно перпендикулярно отрезку $BM$.
Длина $BB_1 = 1$.
Длину отрезка $BM$ найдем из правильного треугольника $ABC$ со стороной $1$. $BM$ является медианой, а также высотой в этом треугольнике.
Длина медианы (высоты) в правильном треугольнике со стороной $a$ равна $h = a\sqrt{3}/2$.
Для $\triangle ABC$ со стороной $1$: $|BM| = 1 \cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{3}/2$.
Теперь по теореме Пифагора для $\triangle BB_1M$:
$|B_1M|^2 = |BB_1|^2 + |BM|^2$
$|B_1M|^2 = 1^2 + (\sqrt{3}/2)^2 = 1 + 3/4 = 7/4$.
$|B_1M| = \sqrt{7}/2$.

Таким образом, стороны треугольника $A_1B_1M$ равны $1$, $\sqrt{5}/2$, $\sqrt{7}/2$.Для нахождения площади треугольника $A_1B_1M$ воспользуемся методом координат и векторным произведением.
Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.
Поскольку $AC=1$ и $M$ — середина $AC$, пусть $C=(1,0,0)$. Тогда $M=(1/2,0,0)$.
Вершина $B$ правильного треугольника $ABC$ со стороной $1$ будет иметь координаты $B=(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
Так как высота призмы равна $1$, координаты соответствующих вершин верхнего основания будут:
$A_1=(0,0,1)$
$B_1=(1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Векторы, образующие две стороны треугольника $A_1B_1M$ из общей вершины $M$:
$\vec{MA_1} = A_1 - M = (0 - 1/2, 0 - 0, 1 - 0) = (-1/2, 0, 1)$.
$\vec{MB_1} = B_1 - M = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (0, \sqrt{3}/2, 1)$.

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов:
$S = \frac{1}{2} |\vec{MA_1} \times \vec{MB_1}|$.

Вычислим векторное произведение:
$\vec{MA_1} \times \vec{MB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & 0 & 1 \\ 0 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1/2 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot 0)$
$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{1}{2}\mathbf{j} - \frac{\sqrt{3}}{4}\mathbf{k}$
$= \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$.

Найдем модуль этого вектора:
$|\vec{MA_1} \times \vec{MB_1}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$
$= \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16+3}{16}}$
$= \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $A_1B_1M$:
$S = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$.

98. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A_1, C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через вершины $A_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (обозначим ее $M$).

Найти:

Площадь сечения $S_{A_1MC_1}$.

Решение:

Сечение представляет собой треугольник $A_1MC_1$. Для нахождения его площади, сначала определим длины сторон этого треугольника.

1. Длина стороны $A_1M$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1AM$, где прямой угол находится в вершине $A$.

Длина ребра $AA_1 = 1$.

Точка $M$ является серединой ребра $AB$, поэтому $AM = AB/2 = 1/2$.

По теореме Пифагора:

$A_1M^2 = AA_1^2 + AM^2$

$A_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

$A_1M = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

2. Длина стороны $A_1C_1$

Сторона $A_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы $A_1B_1C_1$. Так как призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками, и все ребра призмы равны $1$.

Следовательно, $A_1C_1 = 1$.

3. Длина стороны $MC_1$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $MCC_1$, где прямой угол находится в вершине $C$.

Длина ребра $CC_1 = 1$.

Для нахождения длины $MC$, рассмотрим равносторонний треугольник $ABC$ (нижнее основание). $M$ - середина $AB$. $CM$ является медианой (и высотой) в равностороннем треугольнике $ABC$.

Длина медианы (высоты) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $h = a\frac{\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому $CM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $MCC_1$:

$MC_1^2 = MC^2 + CC_1^2$

$MC_1^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{3}{4} + 1 = \frac{7}{4}$

$MC_1 = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Таким образом, стороны треугольника $A_1MC_1$ имеют длины: $A_1M = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $A_1C_1 = 1$, $MC_1 = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Для нахождения площади треугольника в пространстве удобно использовать векторное произведение.

Представим вершины в декартовой системе координат. Пусть $A=(0,0,0)$.

Тогда $A_1=(0,0,1)$ (так как $AA_1=1$).

Для нижнего основания $ABC$ со стороной $1$: $B=(1,0,0)$. $M=(1/2,0,0)$.

Вершина $C$ находится на расстоянии $\frac{\sqrt{3}}{2}$ от середины $AB$ по оси Y. $C = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $C_1$ находится над $C$ на высоте $1$. $C_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Векторы, образующие две стороны треугольника $A_1MC_1$ (например, из вершины $A_1$):

$\vec{A_1M} = M - A_1 = \left(\frac{1}{2}-0, 0-0, 0-1\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, -1\right)$

$\vec{A_1C_1} = C_1 - A_1 = \left(\frac{1}{2}-0, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-1\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0\right)$

Площадь треугольника равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$S_{A_1MC_1} = \frac{1}{2} |\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1} = \det \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1/2 & 0 & -1 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{pmatrix}$

$ = \mathbf{i}((0)(0) - (-1)(\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}((\frac{1}{2})(0) - (-1)(\frac{1}{2})) + \mathbf{k}((\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) - (0)(\frac{1}{2}))$

$ = \mathbf{i}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2}\right) + \mathbf{k}\left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)$

Модуль этого вектора:

$|\vec{A_1M} \times \vec{A_1C_1}| = \sqrt{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$

$ = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$

$ = \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$

$ = \sqrt{\frac{16+3}{16}} = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

Теперь найдем площадь треугольника:

$S_{A_1MC_1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{19}}{8}$.

99. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех рёбер: $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $B_1$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (обозначим её $M$).

Перевод данных в СИ:

Все ребра призмы $a = 1$ (безразмерная величина, или условная единица длины).

Найти:

Изобразить сечение (описать его геометрию).

Площадь сечения $S_{MB_1C_1}$.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение проходит через три точки: $B_1$, $C_1$ и $M$ (середина $AB$). Так как эти три точки не лежат на одной прямой, они определяют плоскость. Следовательно, искомое сечение является треугольником $MB_1C_1$.

Для построения такого сечения необходимо соединить точки $M$ и $B_1$, $M$ и $C_1$, а также $B_1$ и $C_1$. Отрезок $B_1C_1$ является ребром верхнего основания призмы. Отрезки $MB_1$ и $MC_1$ являются диагоналями боковых граней или частей этих граней.

Найдите его площадь:

Для вычисления площади треугольника $MB_1C_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом:

Пусть вершина $A$ находится в начале координат: $A=(0,0,0)$.

Поскольку все ребра призмы равны 1, основание $ABC$ является правильным треугольником со стороной 1, а высота призмы также равна 1.

Координаты вершин нижнего основания $ABC$:

$A = (0,0,0)$

Положительную ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$. Тогда $B = (1,0,0)$.

Вершина $C$ будет иметь координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, так как высота правильного треугольника со стороной $a=1$ равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ получаются сдвигом соответствующих вершин нижнего основания на 1 единицу по оси $Oz$ (высота призмы):

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Точка $M$ - это середина ребра $AB$. Её координаты: $M = \left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$.

Теперь у нас есть координаты всех вершин сечения - треугольника $MB_1C_1$:

$M\left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$

$B_1(1, 0, 1)$

$C_1\left(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Для вычисления площади треугольника по координатам его вершин удобно использовать векторное произведение двух сторон, исходящих из одной вершины. Выберем вершину $M$ и найдем векторы $\vec{MB_1}$ и $\vec{MC_1}$:

$\vec{MB_1} = B_1 - M = \left(1 - \frac{1}{2}, 0 - 0, 1 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 1\right)$

$\vec{MC_1} = C_1 - M = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0\right) = \left(0, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1\right)$

Площадь треугольника $MB_1C_1$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов: $S_{MB_1C_1} = \frac{1}{2} |\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}|$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{MB_1} \times \vec{MC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & 0 & 1 \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i}\left(0 \cdot 1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \mathbf{j}\left(\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0\right) + \mathbf{k}\left(\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0 \cdot 0\right)$

$= -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{1}{2}\mathbf{j} + \frac{\sqrt{3}}{4}\mathbf{k}$

Модуль векторного произведения:

$|\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}| = \sqrt{\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{4}\right)^2}$

$= \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{1}{4} + \frac{3}{16}}$

$= \sqrt{1 + \frac{3}{16}}$

$= \sqrt{\frac{16}{16} + \frac{3}{16}} = \sqrt{\frac{19}{16}} = \frac{\sqrt{19}}{4}$

Наконец, вычислим площадь сечения:

$S_{MB_1C_1} = \frac{1}{2} \cdot |\vec{MB_1} \times \vec{MC_1}| = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{19}}{4} = \frac{\sqrt{19}}{8}$

Ответ: $\frac{\sqrt{19}}{8}$

100. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребер $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AA_1$, $BB_1$ и $A_1C_1$ как $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Тогда $AM = MA_1 = AA_1/2 = 1/2$. Аналогично $BN = NB_1 = BB_1/2 = 1/2$. И $A_1K = KC_1 = A_1C_1/2 = 1/2$.

Изобразить сечение

Сечением является многоугольник, образованный пересечением плоскости, проходящей через точки $M$, $N$, $K$, с гранями призмы. Поскольку три точки не лежат на одной прямой и принадлежат разным граням, сечением будет треугольник $MNK$.

Для построения сечения:

1. Нарисуйте правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где $ABC$ - нижнее основание, $A_1B_1C_1$ - верхнее основание, а $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ - боковые ребра.
2. Отметьте точку $M$ как середину ребра $AA_1$.
3. Отметьте точку $N$ как середину ребра $BB_1$.
4. Отметьте точку $K$ как середину ребра $A_1C_1$.
5. Соедините точки $M$, $N$ и $K$ отрезками. Полученный треугольник $MNK$ является искомым сечением.

Определим длины сторон треугольника $MNK$:

1. Отрезок $MN$: Точки $M$ и $N$ являются серединами параллельных и равных ребер $AA_1$ и $BB_1$. Следовательно, отрезок $MN$ параллелен $AB$ и $A_1B_1$, и его длина равна длине ребра основания призмы.

$MN = AB = 1$.

2. Отрезок $KM$: Точка $M$ - середина $AA_1$, $K$ - середина $A_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1MK$. Угол $\angle MA_1K = 90^\circ$, так как ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Катеты $A_1M = 1/2$ и $A_1K = 1/2$. По теореме Пифагора:

$KM = \sqrt{A_1M^2 + A_1K^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1/4} = \sqrt{1/2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Отрезок $NK$: Точка $N$ - середина $BB_1$, $K$ - середина $A_1C_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $NB_1K$. Угол $\angle NB_1K = 90^\circ$, так как ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $A_1B_1C_1$. Катет $NB_1 = 1/2$. Катет $B_1K$ является медианой равностороннего треугольника $A_1B_1C_1$ со стороной 1 (поскольку призма правильная, основания - равносторонние треугольники). Длина медианы равностороннего треугольника со стороной $a$ равна $a\frac{\sqrt{3}}{2}$. В данном случае $a=1$, поэтому $B_1K = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. По теореме Пифагора:

$NK = \sqrt{NB_1^2 + B_1K^2} = \sqrt{(1/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2} = \sqrt{1/4 + 3/4} = \sqrt{1} = 1$.

Таким образом, сечение является равнобедренным треугольником $MNK$ со сторонами $MN=1$, $NK=1$, $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ:

Сечением является равнобедренный треугольник $MNK$ со сторонами $MN=1$, $NK=1$, $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Найти его площадь

Площадь равнобедренного треугольника $MNK$ с боковыми сторонами $MN=NK=1$ и основанием $KM=\frac{\sqrt{2}}{2}$ можно найти по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Опустим высоту $NP$ из вершины $N$ на основание $KM$. В равнобедренном треугольнике высота к основанию является также медианой, поэтому $P$ - середина $KM$.

Длина отрезка $KP = \frac{KM}{2} = \frac{\sqrt{2}/2}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $NPK$. По теореме Пифагора:

$NP^2 = NK^2 - KP^2$

$NP^2 = 1^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 1 - \frac{2}{16} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.

Высота $NP = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $MNK$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot KM \cdot NP = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{14}}{4}$.

$S_{MNK} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{14}}{16} = \frac{\sqrt{28}}{16} = \frac{\sqrt{4 \cdot 7}}{16} = \frac{2\sqrt{7}}{16} = \frac{\sqrt{7}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{7}}{8}$.