Номер 91, страница 178 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

91. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершину $A$ и середины ребер $SB$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=1$.

Сечение проходит через вершину $A$ и середины ребер $SB$ и $SD$.

Обозначим $M$ - середина ребра $SB$, $N$ - середина ребра $SD$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{AMN}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$

Чтобы изобразить сечение, следуйте следующим шагам:

1. Нарисуйте правильную четырехугольную пирамиду $SABCD$, где $S$ - вершина, а $ABCD$ - квадратное основание. Точка $O$ - центр квадрата $ABCD$ и основание высоты пирамиды $SO$.
2. Отметьте вершину $A$ на основании пирамиды.
3. Найдите середину $M$ ребра $SB$.
4. Найдите середину $N$ ребра $SD$.
5. Соедините точки $A$, $M$, $N$. Полученное сечение является треугольником $AMN$.

Таким образом, искомое сечение - это треугольник $AMN$.

Ответ:

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $AMN$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длины сторон $AM$ и $AN$:

Так как все ребра пирамиды равны 1, треугольники $SAB$ и $SAD$ являются равносторонними со стороной 1. $M$ - середина $SB$, $N$ - середина $SD$.

В равностороннем треугольнике $SAB$ со стороной $SA=AB=SB=1$, $AM$ является медианой, проведенной к стороне $SB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в равностороннем треугольнике $SAD$ со стороной $SA=AD=SD=1$, $AN$ является медианой, проведенной к стороне $SD$.

Следовательно, $AN = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Длина стороны $MN$:

Треугольник $SBD$ образован вершиной $S$ и диагональю основания $BD$. $M$ - середина $SB$, $N$ - середина $SD$. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SBD$.

Длина средней линии треугольника равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае $MN = \frac{1}{2} BD$.

Основание пирамиды $ABCD$ является квадратом со стороной $AB=1$. Диагональ квадрата $BD$ находится по теореме Пифагора: $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, $MN = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

3. Вычисление площади треугольника $AMN$:

Стороны треугольника $AMN$ равны: $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AN = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $MN = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Треугольник $AMN$ является равнобедренным ($AM=AN$). Для нахождения его площади используем формулу $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$. В качестве основания выберем $MN$. Высоту $AK$ проведем из вершины $A$ к середине $K$ стороны $MN$.

В прямоугольном треугольнике $AKM$ (так как $AK \perp MN$):

$KM = \frac{1}{2} MN = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

По теореме Пифагора: $AK^2 = AM^2 - KM^2$

$AK^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2$

$AK^2 = \frac{3}{4} - \frac{2}{16}$

$AK^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{8}$

$AK^2 = \frac{6}{8} - \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$

$AK = \sqrt{\frac{5}{8}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$.

Площадь треугольника $AMN$:

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot AK$

$S_{AMN} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{10}}{4}$

$S_{AMN} = \frac{\sqrt{20}}{16}$

$S_{AMN} = \frac{2\sqrt{5}}{16}$

$S_{AMN} = \frac{\sqrt{5}}{8}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{8}$