Номер 86, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

86. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $CD$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$ и $SD$. Обозначим эти середины как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (безразмерная единица длины).

Найти:

Изобразить сечение (описать построение).

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1.Описание построения сечения:

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ представляет собой квадрат. Все боковые ребра равны ребрам основания. Таким образом, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a=1$.

Точки $M$ (середина ребра $AB$) и $N$ (середина ребра $CD$) расположены в плоскости основания $ABCD$. Соединим их отрезком $MN$. В квадрате $ABCD$ отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен другим сторонам. Следовательно, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$. Длина отрезка $MN$ равна длине стороны основания: $MN = AD = a = 1$.

Точка $P$ (середина ребра $SD$) и точка $N$ (середина ребра $CD$) находятся в плоскости боковой грани $SCD$. Соединим эти точки отрезком $PN$. По теореме о средней линии треугольника, в $\triangle SCD$ отрезок $PN$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $SD$ и $CD$. Отсюда следует, что $PN \parallel SC$ и $PN = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Для завершения построения сечения нам необходимо найти точки пересечения плоскости сечения с другими ребрами пирамиды. Поскольку отрезок $MN$ параллелен $AD$ (стороне основания), плоскость сечения, проходящая через $MN$, будет пересекать плоскость боковой грани $SAD$ по линии, параллельной $AD$. Эта линия должна проходить через уже найденную точку $P$. Проведем через точку $P$ прямую в плоскости $SAD$, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $Q$. Так как $P$ является серединой $SD$ и $PQ \parallel AD$, то по теореме о средней линии треугольника в $\triangle SAD$ точка $Q$ должна быть серединой ребра $SA$. Длина отрезка $PQ = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Теперь у нас есть четыре точки: $M$ (середина $AB$), $Q$ (середина $SA$), $P$ (середина $SD$), $N$ (середина $CD$). Соединим $M$ и $Q$. Точка $M$ — середина $AB$, точка $Q$ — середина $SA$. В $\triangle SAB$ отрезок $MQ$ является средней линией, поэтому $MQ \parallel SB$ и $MQ = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MQPN$. Мы установили, что $MN \parallel AD$ и $PQ \parallel AD$, следовательно, $MN \parallel PQ$. Это означает, что $MQPN$ является трапецией.Длины сторон трапеции:Большее основание $MN = 1$.Меньшее основание $PQ = 1/2$.Боковые стороны $MQ = 1/2$ и $PN = 1/2$.Так как боковые стороны $MQ$ и $PN$ равны, трапеция $MQPN$ является равнобедренной.

2.Вычисление площади сечения:

Площадь равнобедренной трапеции $MQPN$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины оснований, а $h$ — высота.Нам известны длины оснований: $b_1 = MN = 1$ и $b_2 = PQ = 1/2$.Длины боковых сторон: $MQ = PN = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$ трапеции $MQPN$ опустим перпендикуляры из вершин $Q$ и $P$ на большее основание $MN$. Пусть основания этих перпендикуляров будут $Q'$ и $P'$ соответственно.Длина отрезка $Q'P'$ равна длине меньшего основания $PQ$, то есть $Q'P' = 1/2$.Отрезки $MQ'$ и $NP'$ (части большего основания $MN$, лежащие по краям от $Q'P'$) равны:$MQ' = NP' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $MQ$, ее проекцией $MQ'$ на большее основание и высотой $h$. Например, $\triangle MQQ'$.По теореме Пифагора: $h^2 = MQ^2 - MQ'^2$.$h = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции $MQPN$:$S_{MQPN} = \frac{MN + PQ}{2} \cdot h = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.