Номер 81, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

81. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина каждого ребра $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Обозначим середину ребра $SC$ как точку $M$.

Найти:

Изображение сечения: описать форму и расположение сечения.

Площадь сечения: $S_{ABMN}$.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости основания $ABCD$, отрезок $AB$ является частью искомого сечения.

2. Точка $M$ является серединой ребра $SC$. Поскольку точки $B$ и $M$ лежат в плоскости грани $SBC$, отрезок $BM$ также является частью сечения.

3. Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание $ABCD$. Следовательно, стороны $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

4. Если плоскость пересекает две параллельные прямые ($AB$ и $CD$), то линии ее пересечения с плоскостями, содержащими эти прямые, параллельны. В данном случае, плоскость сечения содержит прямую $AB$, параллельную $CD$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $SCD$ (которая содержит $CD$) должна быть параллельна $CD$ (и $AB$).

5. Проведем через точку $M$ (лежащую на $SC$) в плоскости грани $SCD$ прямую $MN$, параллельную $CD$. Пусть эта прямая $MN$ пересекает ребро $SD$ в точке $N$.

6. Из подобия треугольников $\triangle SMN$ и $\triangle SCD$ (так как $MN \parallel CD$ и $M$ - середина $SC$) следует, что $N$ является серединой ребра $SD$.

7. Отрезок $AN$ лежит в плоскости грани $SAD$ и является последней стороной сечения.

8. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ABMN$. Поскольку $AB \parallel MN$ и $AB$ и $MN$ являются основаниями, а боковые ребра $AN$ и $BM$ равны (в силу симметрии правильной пирамиды и того, что $M$ и $N$ являются серединами соответствующих ребер), $ABMN$ является равнобокой трапецией.

Ответ: Сечением является равнобокая трапеция $ABMN$, где $M$ - середина $SC$, а $N$ - середина $SD$.

Найдите его площадь:

Для вычисления площади трапеции $ABMN$ нам понадобятся длины ее оснований и высота.

1. Длины оснований:

Большеe основание трапеции: $AB = a = 1$.

Меньшее основание трапеции: Поскольку $MN \parallel CD$ и $N$ - середина $SD$, $M$ - середина $SC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SCD$. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

2. Длины боковых сторон трапеции $BM$ и $AN$:

Рассмотрим грань $SBC$. Это равносторонний треугольник со сторонами $SB = BC = SC = 1$.

Точка $M$ - середина $SC$, поэтому $MC = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2}$.

В треугольнике $BCM$ известны две стороны $BC = 1$, $MC = \frac{1}{2}$ и угол между ними $\angle BCM = \angle SCB = 60^\circ$ (поскольку $\triangle SBC$ равносторонний).

Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $BM$:

$BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos(\angle BCM)$

$BM^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(60^\circ)$

$BM^2 = 1 + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$BM^2 = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

$BM^2 = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

$BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в силу симметрии, $AN = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Высота $H$ трапеции $ABMN$:

Трапеция $ABMN$ равнобокая с основаниями $AB=1$, $MN=1/2$ и боковыми сторонами $AN=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проведем высоты из точек $N$ и $M$ к основанию $AB$. Пусть $P$ и $Q$ - основания этих перпендикуляров на $AB$.

Тогда $AP = QB = \frac{AB - MN}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком на основании, например, $\triangle ANP$ (где $NP=H$).

По теореме Пифагора:

$H^2 = AN^2 - AP^2$

$H^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$H^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16}$

$H^2 = \frac{12}{16} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

$H = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

4. Площадь трапеции $ABMN$:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{ABMN} = \frac{AB + MN}{2} \cdot H$

$S_{ABMN} = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$.