Номер 79, страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

79. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина каждого ребра тетраэдра $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $CD$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

Пусть $N$ — середина ребра $AC$.

Пусть $P$ — середина ребра $CD$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерных единицах. Если бы длина ребра была, например, 1 метр, то площадь была бы в квадратных метрах. В данном случае, ответ будет в условных квадратных единицах.

Найти:

1. Описать (изобразить) сечение.

2. Площадь сечения $S_{MNPQ}$.

Решение:

1. Описание формы сечения:

1.1. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, $N$ — середина ребра $AC$, $P$ — середина ребра $CD$. Эти три точки лежат в плоскости сечения. Сечение является многоугольником, вершинами которого являются точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра.

1.2. Рассмотрим грань $ABC$. Точки $M$ и $N$ лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $MN$ является стороной сечения. $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Поскольку $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=1$, то $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.3. Рассмотрим грань $ACD$. Точки $N$ и $P$ лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $NP$ является стороной сечения. $NP$ — средняя линия треугольника $ACD$. Поскольку $ACD$ — равносторонний треугольник со стороной $a=1$, то $NP \parallel AD$ и $NP = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.4. Для построения полного сечения, нам нужно найти точки пересечения плоскости $(MNP)$ с остальными ребрами тетраэдра. Мы знаем, что $MN \parallel BC$. Плоскость сечения $(MNP)$ пересекает грань $BCD$. Так как $MN \parallel BC$, и $MN$ лежит в плоскости сечения, а $BC$ лежит в плоскости грани $BCD$, то линия пересечения плоскости $(MNP)$ и грани $BCD$ должна быть параллельна $MN$ и $BC$. Эта линия проходит через точку $P$. Проведем через $P$ прямую, параллельную $BC$, до пересечения с ребром $BD$. Пусть точка пересечения будет $Q$. Так как $P$ — середина $CD$ и $PQ \parallel BC$, то $PQ$ является средней линией треугольника $BCD$. Следовательно, $Q$ — середина ребра $BD$. Таким образом, $PQ = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.5. Таким образом, сечение проходит через четыре точки: $M$ (середина $AB$), $N$ (середина $AC$), $P$ (середина $CD$) и $Q$ (середина $BD$). Рассмотрим отрезок $QM$. $Q$ — середина $BD$, $M$ — середина $AB$. $QM$ — средняя линия треугольника $ABD$. Следовательно, $QM \parallel AD$ и $QM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.6. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$, все стороны которого равны $1/2$.

1.7. Проверим параллельность сторон: $MN \parallel BC$ и $PQ \parallel BC$, что означает $MN \parallel PQ$. Аналогично, $NP \parallel AD$ и $QM \parallel AD$, что означает $NP \parallel QM$. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Так как все его стороны равны ($1/2$), это ромб.

1.8. Чтобы определить, является ли ромб квадратом, найдем длины его диагоналей.

Диагональ $MP$ соединяет середины противоположных ребер $AB$ и $CD$ тетраэдра. В правильном тетраэдре с ребром $a$, расстояние между серединами скрещивающихся ребер равно $a/\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, значит, $MP = 1/\sqrt{2}$.

Диагональ $NQ$ соединяет середины противоположных ребер $AC$ и $BD$ тетраэдра. Аналогично, $NQ = 1/\sqrt{2}$.

Поскольку диагонали ромба $MNPQ$ равны ($MP = NQ = 1/\sqrt{2}$), ромб $MNPQ$ является квадратом.

Ответ: Сечение представляет собой квадрат.

2. Нахождение площади сечения:

Площадь квадрата можно найти как квадрат его стороны или как половину произведения диагоналей.

Используем длину стороны $s = 1/2$:

$S_{MNPQ} = s^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Используем длины диагоналей $d_1 = MP = 1/\sqrt{2}$ и $d_2 = NQ = 1/\sqrt{2}$:

$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $1/4$.