Страница 177 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

73. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.Сечение проходит через:

• середину ребра $BB_1$ (обозначим эту точку $M$)

• середину ребра $DD_1$ (обозначим эту точку $N$)

• точку на ребре $BC$, отстоящую от вершины $C$ на $0,75$ (обозначим эту точку $K$)

Перевод в систему СИ:Длина ребра единичного куба $a = 1$.Расстояние $CK = 0.75 \cdot a = 0.75$.

Найти:

1. Изобразить (описать) сечение.

2. Площадь сечения $S$.

Решение:Введем декартову систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$. Оси $x, y, z$ направим вдоль ребер $AB, AD, AA_1$ соответственно.Длина ребра куба $a=1$. Тогда координаты вершин куба:$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найдем координаты заданных точек:

Точка $M$ - середина ребра $BB_1$. Координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$.$M = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1,0,0.5)$.

Точка $N$ - середина ребра $DD_1$. Координаты $D(0,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$.$N = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0,1,0.5)$.

Точка $K$ лежит на ребре $BC$ и отстоит от вершины $C$ на $0.75$. Координаты $B(1,0,0)$ и $C(1,1,0)$.Точка $K$ лежит на ребре $BC$, поэтому ее координаты $(1, y_K, 0)$, где $0 \le y_K \le 1$.Расстояние от $C(1,1,0)$ до $K(1,y_K,0)$ равно $\sqrt{(1-1)^2 + (1-y_K)^2 + (0-0)^2} = |1-y_K|$.По условию, это расстояние равно $0.75$.$|1-y_K| = 0.75$. Поскольку $y_K$ должна быть в диапазоне $[0,1]$, то $1-y_K = 0.75$, что дает $y_K = 1 - 0.75 = 0.25$.Значит, $K = (1, 0.25, 0)$.

Для построения сечения найдем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки $M(1,0,0.5)$, $N(0,1,0.5)$, $K(1,0.25,0)$.Вектор $\vec{MN} = N - M = (0-1, 1-0, 0.5-0.5) = (-1, 1, 0)$.Вектор $\vec{MK} = K - M = (1-1, 0.25-0, 0-0.5) = (0, 0.25, -0.5)$.Нормальный вектор плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен $\vec{MN}$ и $\vec{MK}$. Его можно найти как векторное произведение:$\vec{n} = \vec{MN} \times \vec{MK} = \text{det} \begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 0.25 & -0.5 \end{pmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0.25) - \mathbf{j}((-1) \cdot (-0.5) - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}((-1) \cdot 0.25 - 1 \cdot 0)$$\vec{n} = (-0.5)\mathbf{i} - (0.5)\mathbf{j} + (-0.25)\mathbf{k} = (-0.5, -0.5, -0.25)$.Для упрощения расчетов, умножим нормальный вектор на $-4$: $\vec{n'} = (2, 2, 1)$.Уравнение плоскости имеет вид $2x + 2y + z + D = 0$.Подставим координаты точки $M(1,0,0.5)$ в уравнение плоскости:$2(1) + 2(0) + 0.5 + D = 0 \Rightarrow 2.5 + D = 0 \Rightarrow D = -2.5$.Таким образом, уравнение секущей плоскости: $2x + 2y + z - 2.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с остальными ребрами куба, чтобы определить все вершины сечения.

1. Ребро $CD$ (описывается как $y=1, z=0$, для $0 \le x \le 1$):$2x + 2(1) + 0 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x + 2 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.25$.Эта точка лежит на ребре $CD$. Обозначим ее $L = (0.25, 1, 0)$.

2. Ребро $A_1B_1$ (описывается как $y=0, z=1$, для $0 \le x \le 1$):$2x + 2(0) + 1 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 1.5 = 0 \Rightarrow x = 0.75$.Эта точка лежит на ребре $A_1B_1$. Обозначим ее $P = (0.75, 0, 1)$.

Проверим другие ребра, чтобы убедиться, что других точек пересечения в пределах куба нет:Ребро $AD$ ($x=0, z=0$, $0 \le y \le 1$): $2(0) + 2y + 0 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2y = 2.5 \Rightarrow y = 1.25$. Точка вне ребра.Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$, $0 \le z \le 1$): $2(0) + 2(0) + z - 2.5 = 0 \Rightarrow z = 2.5$. Точка вне ребра.Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$, $0 \le z \le 1$): $2(1) + 2(1) + z - 2.5 = 0 \Rightarrow 4 + z - 2.5 = 0 \Rightarrow z = -1.5$. Точка вне ребра.Ребро $A_1D_1$ ($y=1, z=1$, $0 \le x \le 1$): $2x + 2(1) + 1 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x + 0.5 = 0 \Rightarrow x = -0.25$. Точка вне ребра.

Таким образом, сечение является пятиугольником с вершинами в следующем порядке обхода: $K(1, 0.25, 0)$, $M(1, 0, 0.5)$, $P(0.75, 0, 1)$, $N(0, 1, 0.5)$, $L(0.25, 1, 0)$.

Описание сечения: это пятиугольник $KMPNL$.

• Отрезок $KM$ соединяет точку на ребре $BC$ с серединой ребра $BB_1$, он лежит на боковой грани $BCC_1B_1$.

• Отрезок $MP$ соединяет середину ребра $BB_1$ с точкой на ребре $A_1B_1$, он лежит на боковой грани $ABB_1A_1$.

• Отрезок $PN$ соединяет точку на ребре $A_1B_1$ с серединой ребра $DD_1$, он является внутренней частью сечения, проходящей через объем куба.

• Отрезок $NL$ соединяет середину ребра $DD_1$ с точкой на ребре $CD$, он лежит на боковой грани $CDD_1C_1$.

• Отрезок $LK$ соединяет точку на ребре $CD$ с точкой на ребре $BC$, он лежит на нижней грани $ABCD$.

Для нахождения площади сечения воспользуемся методом проекции.Нормальный вектор плоскости сечения $\vec{n'} = (2, 2, 1)$.Длина нормального вектора $|\vec{n'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.Площадь сечения $S$ связана с площадью ее проекции $S_{proj}$ на координатную плоскость формулой $S = S_{proj} / |\cos \theta|$, где $\theta$ - угол между плоскостью сечения и координатной плоскостью.Выберем плоскость $xy$. Нормаль к плоскости $xy$ - это вектор $\vec{k} = (0,0,1)$.Косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью $xy$:$\cos \theta = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2,2,1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|2 \cdot 0 + 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1|}{3} = \frac{1}{3}$.Значит, $S = 3 \cdot S_{proj}$.

Найдем площадь проекции пятиугольника на плоскость $xy$. Вершины проекции:$K'(1, 0.25)$, $M'(1, 0)$, $P'(0.75, 0)$, $N'(0, 1)$, $L'(0.25, 1)$.Проекция сечения лежит внутри квадрата $A'B'C'D'$ с вершинами $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$, площадь которого $1 \cdot 1 = 1$.Площадь проекции $S_{proj}$ можно найти, вычитая площади "лишних" областей (которые находятся внутри квадрата, но вне проекции сечения) из площади этого квадрата.

"Лишние" области - это два прямоугольных треугольника:1. Треугольник в нижнем левом углу квадрата: с вершинами $(0,0)$, $P'(0.75, 0)$, $N'(0, 1)$.Его катеты вдоль осей $x$ и $y$ имеют длины $0.75$ и $1$ соответственно.Площадь $S_1 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{4} \cdot 1 = \frac{3}{8}$.

2. Треугольник в верхнем правом углу квадрата: с вершинами $(1,1)$, $L'(0.25, 1)$, $K'(1, 0.25)$.Его катеты вдоль линий $y=1$ и $x=1$ имеют длины $(1-0.25) = 0.75$ и $(1-0.25)=0.75$ соответственно.Площадь $S_2 = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32}$.

Площадь проекции $S_{proj} = (\text{Площадь квадрата}) - S_1 - S_2 = 1 - \frac{3}{8} - \frac{9}{32}$.Приведем к общему знаменателю: $1 = \frac{32}{32}$, $\frac{3}{8} = \frac{12}{32}$.$S_{proj} = \frac{32}{32} - \frac{12}{32} - \frac{9}{32} = \frac{32 - 12 - 9}{32} = \frac{11}{32}$.

Теперь найдем площадь самого сечения:$S = 3 \cdot S_{proj} = 3 \cdot \frac{11}{32} = \frac{33}{32}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $S = \frac{33}{32}$.

74. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, проходящее через середины ребер $BB_1$, $DD_1$ и точку на ребре $AB$, отстоящую от вершины A на 0,75. Найдите его площадь.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Точки, через которые проходит сечение:

• $K$ - середина ребра $BB_1$.
• $L$ - середина ребра $DD_1$.
• $M$ - точка на ребре $AB$, отстоящая от вершины $A$ на $0.75$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (условная единица длины).

Расстояние $AM = 0.75 \cdot a = 0.75$.

Примем вершину $A$ за начало координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба:

$A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$

$A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$

Найти:

1. Описание сечения.
2. Площадь сечения.

Решение:

1.Определение координат заданных точек:

Точка $K$ - середина ребра $BB_1$. Используя координаты $B(1,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$:$K = \left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (1, 0, 0.5)$.

Точка $L$ - середина ребра $DD_1$. Используя координаты $D(0,1,0)$ и $D_1(0,1,1)$:$L = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}\right) = (0, 1, 0.5)$.

Точка $M$ на ребре $AB$ отстоит от вершины $A$ на $0.75$. Используя координаты $A(0,0,0)$ и $B(1,0,0)$:$M = (0.75, 0, 0)$.

2.Построение сечения (описание):

Для определения сечения, проходящего через точки $K(1,0,0.5)$, $L(0,1,0.5)$ и $M(0.75,0,0)$, найдем уравнение плоскости, содержащей эти точки.Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:$\vec{MK} = (1-0.75, 0-0, 0.5-0) = (0.25, 0, 0.5)$$\vec{ML} = (0-0.75, 1-0, 0.5-0) = (-0.75, 1, 0.5)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости равен векторному произведению $\vec{MK} \times \vec{ML}$:$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0.25 & 0 & 0.5 \\ -0.75 & 1 & 0.5 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot 1) - \mathbf{j}(0.25 \cdot 0.5 - 0.5 \cdot (-0.75)) + \mathbf{k}(0.25 \cdot 1 - 0 \cdot (-0.75))$$\vec{n} = (-0.5)\mathbf{i} - (0.125 + 0.375)\mathbf{j} + (0.25)\mathbf{k} = (-0.5, -0.5, 0.25)$.Для удобства, умножим нормальный вектор на $-4$, получим $\vec{n'} = (2,2,-1)$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (2,2,-1)$:$2x + 2y - z + D = 0$.Подставим координаты точки $M(0.75,0,0)$ для нахождения $D$:$2(0.75) + 2(0) - 0 + D = 0 \Rightarrow 1.5 + D = 0 \Rightarrow D = -1.5$.Таким образом, уравнение плоскости сечения: $2x + 2y - z - 1.5 = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с другими ребрами куба (кроме уже известных $M, K, L$):

• С ребром $AD$ (линия $x=0, z=0$): $2(0) + 2y - 0 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2y = 1.5 \Rightarrow y = 0.75$. Получаем точку $N(0, 0.75, 0)$. Эта точка лежит на ребре $AD$ ($0 \le 0.75 \le 1$).
• С ребром $C_1D_1$ (линия $y=1, z=1$): $2x + 2(1) - 1 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2x + 2 - 2.5 = 0 \Rightarrow 2x - 0.5 = 0 \Rightarrow x = 0.25$. Получаем точку $P(0.25, 1, 1)$. Эта точка лежит на ребре $C_1D_1$ ($0 \le 0.25 \le 1$).
• С ребром $B_1C_1$ (линия $x=1, z=1$): $2(1) + 2y - 1 - 1.5 = 0 \Rightarrow 2 + 2y - 2.5 = 0 \Rightarrow 2y - 0.5 = 0 \Rightarrow y = 0.25$. Получаем точку $Q(1, 0.25, 1)$. Эта точка лежит на ребре $B_1C_1$ ($0 \le 0.25 \le 1$).

Сечение является шестиугольником $MNLPQK$ со следующими вершинами:

• $M(0.75, 0, 0)$ на ребре $AB$.
• $N(0, 0.75, 0)$ на ребре $AD$.
• $L(0, 1, 0.5)$ на ребре $DD_1$.
• $P(0.25, 1, 1)$ на ребре $C_1D_1$.
• $Q(1, 0.25, 1)$ на ребре $B_1C_1$.
• $K(1, 0, 0.5)$ на ребре $BB_1$.

Описание изображения сечения:Сечение представляет собой плоский шестиугольник, вершины которого лежат на ребрах куба. Его стороны соединяют эти вершины последовательно: $MN$ (на нижней грани $ABCD$), $NL$ (на левой грани $ADD_1A_1$), $LP$ (на задней грани $CDD_1C_1$), $PQ$ (на верхней грани $A_1B_1C_1D_1$), $QK$ (на правой грани $BCC_1B_1$), и $KM$ (на передней грани $ABB_1A_1$).

3.Вычисление площади сечения:

Площадь сечения можно найти по формуле $S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma}$, где $S_{пр}$ - площадь проекции сечения на одну из координатных плоскостей, а $\cos\gamma$ - косинус угла между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Вектор нормали к плоскости сечения $\vec{n'} = (2,2,-1)$. Его длина:$|\vec{n'}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4+4+1} = \sqrt{9} = 3$.

Проектируем сечение на координатную плоскость $xOy$ ($z=0$). Вектор нормали к плоскости $xOy$ - $\vec{k}=(0,0,1)$.Косинус угла $\gamma$ между плоскостью сечения и плоскостью $xOy$:$\cos\gamma = \frac{|\vec{n'} \cdot \vec{k}|}{|\vec{n'}| \cdot |\vec{k}|} = \frac{|(2,2,-1) \cdot (0,0,1)|}{3 \cdot 1} = \frac{|-1|}{3} = \frac{1}{3}$.

Проекции вершин шестиугольника на плоскость $xOy$ (просто обнуляем $z$-координаты):$M'(0.75, 0)$$N'(0, 0.75)$$L'(0, 1)$$P'(0.25, 1)$$Q'(1, 0.25)$$K'(1, 0)$

Площадь проекции $S_{пр}$ можно вычислить как площадь единичного квадрата $[0,1] \times [0,1]$ за вычетом площадей двух прямоугольных треугольников в углах:

• Треугольник $T_1$ в нижнем левом углу, образованный точками $(0,0)$, $M'(0.75,0)$ и $N'(0,0.75)$. Катеты равны $0.75$ и $0.75$. $S_{T_1} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32} = 0.28125$.
• Треугольник $T_2$ в верхнем правом углу, образованный точками $(1,1)$, $P'(0.25,1)$ и $Q'(1,0.25)$. Катеты равны $(1-0.25)=0.75$ и $(1-0.25)=0.75$. $S_{T_2} = \frac{1}{2} \cdot 0.75 \cdot 0.75 = \frac{1}{2} \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{16} = \frac{9}{32} = 0.28125$.

Площадь проекции $S_{пр}$ равна:$S_{пр} = S_{квадрата} - S_{T_1} - S_{T_2} = 1 - 0.28125 - 0.28125 = 1 - 0.5625 = 0.4375$.

Теперь найдем площадь сечения $S_{сеч}$:$S_{сеч} = \frac{S_{пр}}{\cos\gamma} = \frac{0.4375}{1/3} = 0.4375 \cdot 3 = 1.3125$.

Ответ: $1.3125$

75. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершину $A$ и перпендикулярной диагонали $DB_1$. Найдите его площадь.

76. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$. Плоскость сечения $\alpha$ проходит через вершину $A$ и перпендикулярна главной диагонали $DB_1$.

Найти

Описать сечение геометрически и найти его площадь.

Решение

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $D$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты вершин куба будут:

$D=(0,0,0)$

$A=(1,0,0)$

$B=(1,1,0)$

$C=(0,1,0)$

$D_1=(0,0,1)$

$A_1=(1,0,1)$

$B_1=(1,1,1)$

$C_1=(0,1,1)$

Диагональ $DB_1$ имеет начальную точку $D(0,0,0)$ и конечную точку $B_1(1,1,1)$. Вектор $\vec{DB_1}$ равен $(1,1,1)$.

Поскольку плоскость сечения перпендикулярна вектору $\vec{DB_1}$, этот вектор является нормальным вектором к плоскости. Уравнение плоскости имеет вид $x+y+z+D_0=0$.

Плоскость проходит через вершину $A(1,0,0)$. Подставим координаты точки $A$ в уравнение плоскости:

$1+0+0+D_0=0 \implies D_0=-1$.

Таким образом, уравнение плоскости сечения: $x+y+z-1=0$.

Для определения вершин сечения найдем точки пересечения плоскости $x+y+z-1=0$ с ребрами куба.

1. Пересечение с ребром $DA$ (на оси $Ox$, где $y=0, z=0$): $x+0+0-1=0 \implies x=1$. Точка пересечения $P_1=(1,0,0)$, что является вершиной $A$. Это одна из заданных точек.

2. Пересечение с ребром $DC$ (на оси $Oy$, где $x=0, z=0$): $0+y+0-1=0 \implies y=1$. Точка пересечения $P_2=(0,1,0)$, что является вершиной $C$.

3. Пересечение с ребром $DD_1$ (на оси $Oz$, где $x=0, y=0$): $0+0+z-1=0 \implies z=1$. Точка пересечения $P_3=(0,0,1)$, что является вершиной $D_1$.

Все остальные вершины куба, кроме $A, C, D_1$, не лежат на плоскости $x+y+z-1=0$. Например, для вершины $B(1,1,0)$, $1+1+0-1 = 1 \ne 0$. Для вершины $B_1(1,1,1)$, $1+1+1-1=2 \ne 0$. Поскольку плоскость проходит через три вершины куба, которые не лежат на одной прямой, эти три вершины образуют сечение.

Сечение куба данной плоскостью является треугольником $ACD_1$. Этот треугольник соединяет вершину $A$ и $C$ на нижней грани куба, и вершину $D_1$ на верхней грани. Его стороны $AC$, $CD_1$, $AD_1$ являются диагоналями соответствующих граней куба: $AC$ - диагональ грани $ABCD$, $CD_1$ - диагональ грани $CDD_1C_1$, $AD_1$ - диагональ грани $ADD_1A_1$.

Ответ: Сечение является треугольником $ACD_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$ по координатам вершин: $A(1,0,0)$, $C(0,1,0)$, $D_1(0,0,1)$.

Длина стороны $AC = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1^2+(-1)^2+0^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $CD_1 = \sqrt{(0-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{0^2+1^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Длина стороны $D_1A = \sqrt{(1-0)^2 + (0-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2+0^2+(-1)^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Так как все стороны треугольника $ACD_1$ равны $\sqrt{2}$, треугольник $ACD_1$ является равносторонним.

Площадь равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{s^2\sqrt{3}}{4}$.

В нашем случае $s=\sqrt{2}$.

$S_{\text{сеч}} = \frac{(\sqrt{2})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

76. Изобразите сечение единичного куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью, проходящей через середину диагонали $DB_1$ и перпендикулярной этой диагонали. Найдите его площадь.

Дано

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Это означает, что длина ребра куба $a = 1$.

Секущая плоскость проходит через середину диагонали $DB_1$.

Секущая плоскость перпендикулярна диагонали $DB_1$.

Перевод в СИ

Поскольку длина ребра куба указана как "единичная", конкретные единицы измерения не заданы. Все расчеты будут выполнены в этих "единичных" измерениях, и площадь будет получена в "квадратных единичных" измерениях. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти

Площадь сечения.

Решение

Для решения задачи поместим куб в декартову систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Длина ребра куба $a=1$.

Координаты вершин куба:

• Нижняя грань ($z=0$): $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$.

• Верхняя грань ($z=1$): $A_1(0,0,1)$, $B_1(1,0,1)$, $C_1(1,1,1)$, $D_1(0,1,1)$.

1.Определение середины диагонали $DB_1$:

Диагональ $DB_1$ соединяет вершину $D(0,1,0)$ с вершиной $B_1(1,0,1)$.

Координаты середины отрезка $M(x_M, y_M, z_M)$ вычисляются по формулам:

$x_M = \frac{x_D + x_{B_1}}{2}$, $y_M = \frac{y_D + y_{B_1}}{2}$, $z_M = \frac{z_D + z_{B_1}}{2}$

$M = (\frac{0+1}{2}, \frac{1+0}{2}, \frac{0+1}{2}) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$.

Эта точка $M$ является центром куба.

2.Нахождение уравнения секущей плоскости:

Поскольку плоскость перпендикулярна диагонали $DB_1$, вектор $\vec{DB_1}$ является нормальным вектором $\vec{n}$ к этой плоскости.

Вектор $\vec{DB_1} = (x_{B_1}-x_D, y_{B_1}-y_D, z_{B_1}-z_D) = (1-0, 0-1, 1-0) = (1, -1, 1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A,B,C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Подставляем координаты точки $M(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ и нормальный вектор $\vec{n}=(1, -1, 1)$:

$1(x - \frac{1}{2}) - 1(y - \frac{1}{2}) + 1(z - \frac{1}{2}) = 0$

$x - \frac{1}{2} - y + \frac{1}{2} + z - \frac{1}{2} = 0$

Уравнение плоскости: $x - y + z - \frac{1}{2} = 0$.

3.Определение формы и вершин сечения:

Сечение куба плоскостью, проходящей через его центр и перпендикулярной одной из его главных диагоналей, всегда является правильным шестиугольником. Вершины этого шестиугольника лежат на серединах ребер куба, которые не содержат ни одну из конечных точек этой диагонали.

Найдем точки пересечения плоскости $x - y + z - \frac{1}{2} = 0$ с ребрами куба ($0 \le x, y, z \le 1$):

• Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $x - 0 + 0 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_1(\frac{1}{2}, 0, 0)$. Это середина ребра $AB$.

• Ребро $BC$ ($x=1, z=0$): $1 - y + 0 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_2(1, \frac{1}{2}, 0)$. Это середина ребра $BC$.

• Ребро $CC_1$ ($x=1, y=1$): $1 - 1 + z - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_3(1, 1, \frac{1}{2})$. Это середина ребра $CC_1$.

• Ребро $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $x - 1 + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{2}$. Точка $P_4(\frac{1}{2}, 1, 1)$. Это середина ребра $C_1D_1$.

• Ребро $D_1A_1$ ($x=0, z=1$): $0 - y + 1 - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow \frac{1}{2} - y = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2}$. Точка $P_5(0, \frac{1}{2}, 1)$. Это середина ребра $D_1A_1$.

• Ребро $AA_1$ ($x=0, y=0$): $0 - 0 + z - \frac{1}{2} = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{2}$. Точка $P_6(0, 0, \frac{1}{2})$. Это середина ребра $AA_1$.

Сечение представляет собой правильный шестиугольник с вершинами $P_1P_2P_3P_4P_5P_6$.

4.Вычисление длины стороны шестиугольника:

Найдем длину стороны шестиугольника, например, отрезка $P_1P_2$.

$P_1(\frac{1}{2}, 0, 0)$ и $P_2(1, \frac{1}{2}, 0)$.

Длина стороны $s = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$

$s = \sqrt{(1-\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2}-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{2}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

5.Вычисление площади сечения:

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{4}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $S = \frac{3\sqrt{3}}{4}$ квадратных единиц.

77. Изобразите сечение единичного куба $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ плоскостью, проходящей через вершины $A$, $B_1$ и параллельной прямой $BD_1$.

Найдите его площадь.

78. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина ребра $a=1$.

Плоскость проходит через вершины $A$ и $B_1$.

Плоскость параллельна прямой $BD_1$.

Найти:

Изобразите сечение (описание построения)

Найдите его площадь

Решение:

Для удобства введем систему координат. Пусть вершина $A$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Тогда координаты остальных вершин куба будут:

• $A = (0,0,0)$

• $B = (1,0,0)$

• $C = (1,1,0)$

• $D = (0,1,0)$

• $A_1 = (0,0,1)$

• $B_1 = (1,0,1)$

• $C_1 = (1,1,1)$

• $D_1 = (0,1,1)$

Длина ребра куба $a=1$.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и параллельной прямой $BD_1$.

Вектор прямой $BD_1$: $\vec{BD_1} = D_1 - B = (0-1, 1-0, 1-0) = (-1, 1, 1)$.

Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Так как плоскость проходит через $A(0,0,0)$, то $A(0) + B(0) + C(0) + D = 0 \Rightarrow D=0$.

Уравнение плоскости: $Ax + By + Cz = 0$.

Так как плоскость проходит через $B_1(1,0,1)$, то $A(1) + B(0) + C(1) = 0 \Rightarrow A + C = 0 \Rightarrow C = -A$.

Уравнение плоскости: $Ax + By - Az = 0$.

Вектор нормали к плоскости: $\vec{n} = (A, B, -A)$.

Поскольку плоскость параллельна прямой $BD_1$, вектор нормали к плоскости ортогонален вектору $\vec{BD_1}$. То есть, их скалярное произведение равно нулю:

$\vec{n} \cdot \vec{BD_1} = 0$

$(A, B, -A) \cdot (-1, 1, 1) = 0$

$A(-1) + B(1) + (-A)(1) = 0$

$-A + B - A = 0$

$B - 2A = 0 \Rightarrow B = 2A$.

Пусть $A=1$ (можно выбрать любое ненулевое значение для $A$, так как это однородное уравнение). Тогда $B=2$ и $C=-1$.

Уравнение плоскости: $x + 2y - z = 0$.

Теперь найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Ребра куба лежат в диапазоне $x,y,z \in [0,1]$.

• Пересечение с нижней гранью $ABCD$ ($z=0$): $x+2y=0$. Единственная точка, удовлетворяющая условию $x,y \in [0,1]$, это $A(0,0,0)$.

• Пересечение с верхней гранью $A_1B_1C_1D_1$ ($z=1$): $x+2y-1=0$.
  На ребре $A_1B_1$ ($y=0, z=1$): $x-1=0 \Rightarrow x=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  На ребре $A_1D_1$ ($x=0, z=1$): $2y-1=0 \Rightarrow y=1/2$. Точка $P_1(0, 1/2, 1)$.
  На ребре $B_1C_1$ ($x=1, z=1$): $1+2y-1=0 \Rightarrow y=0$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  На ребре $C_1D_1$ ($y=1, z=1$): $x+2-1=0 \Rightarrow x=-1$. Нет пересечения (так как $x \notin [0,1]$).

• Пересечение с передней гранью $ABB_1A_1$ ($y=0$): $x-z=0 \Rightarrow x=z$.
  На ребре $AA_1$ ($x=0, y=0$): $z=0$. Точка $A(0,0,0)$.
  На ребре $BB_1$ ($x=1, y=0$): $z=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  Таким образом, отрезок $AB_1$ является частью сечения.

• Пересечение с левой гранью $ADD_1A_1$ ($x=0$): $2y-z=0 \Rightarrow z=2y$.
  На ребре $AD$ ($z=0, x=0$): $2y=0 \Rightarrow y=0$. Точка $A(0,0,0)$.
  На ребре $A_1D_1$ ($z=1, x=0$): $1=2y \Rightarrow y=1/2$. Точка $P_1(0, 1/2, 1)$.
  Таким образом, отрезок $AP_1$ является частью сечения.

• Пересечение с правой гранью $BCC_1B_1$ ($x=1$): $1+2y-z=0 \Rightarrow z=2y+1$.
  На ребре $BB_1$ ($y=0, x=1$): $z=1$. Точка $B_1(1,0,1)$.
  При увеличении $y$ в пределах $[0,1]$ значение $z$ будет больше 1 (например, при $y=0.1, z=1.2$). Нет других пересечений, так как $z \notin [0,1]$.

• Пересечение с задней гранью $CDD_1C_1$ ($y=1$): $x+2(1)-z=0 \Rightarrow z=x+2$.
  При $x \in [0,1]$, $z$ будет в диапазоне $[2,3]$. Нет пересечений с ребрами этой грани, так как $z \notin [0,1]$.

Таким образом, плоскость пересекает ребра куба только в трех точках: $A(0,0,0)$, $B_1(1,0,1)$ и $P_1(0,1/2,1)$. Следовательно, сечением является треугольник $AB_1P_1$.

Изобразите сечение:

Для изображения сечения необходимо:

1. Начертить единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

2. Отметить вершины $A$ и $B_1$. Соединить их отрезком $AB_1$. Этот отрезок лежит в передней грани $ABB_1A_1$.

3. На ребре $A_1D_1$ (верхняя грань, левое заднее ребро) найти точку $P_1$, которая является серединой этого ребра (так как $P_1$ имеет координаты $(0, 1/2, 1)$).

4. Соединить точку $A$ с точкой $P_1$ отрезком $AP_1$. Этот отрезок лежит в левой грани $ADD_1A_1$.

5. Соединить точку $B_1$ с точкой $P_1$ отрезком $B_1P_1$. Этот отрезок лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1$.

Образованный треугольник $AB_1P_1$ является искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $AB_1P_1$, где $P_1$ — середина ребра $A_1D_1$.

Найдите его площадь:

Площадь треугольника $AB_1P_1$ можно найти, используя векторное произведение векторов, исходящих из одной вершины, например $\vec{AP_1}$ и $\vec{AB_1}$.

Координаты вершин: $A=(0,0,0)$, $P_1=(0,1/2,1)$, $B_1=(1,0,1)$.

Векторы сторон:

$\vec{AP_1} = (0-0, 1/2-0, 1-0) = (0, 1/2, 1)$

$\vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1, 0, 1)$

Векторное произведение $\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}$:

$\vec{AP_1} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1/2 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1/2 \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - 1/2 \cdot 1)$

$= \mathbf{i}(1/2) - \mathbf{j}(-1) + \mathbf{k}(-1/2) = (1/2, 1, -1/2)$.

Модуль векторного произведения:

$|\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}| = \sqrt{(1/2)^2 + 1^2 + (-1/2)^2} = \sqrt{1/4 + 1 + 1/4} = \sqrt{1/2 + 1} = \sqrt{3/2}$.

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения:

$S = \frac{1}{2} |\vec{AP_1} \times \vec{AB_1}| = \frac{1}{2} \sqrt{3/2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

Ответ: Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{4}$.

78. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Найдите его площадь.

79. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Все ребра тетраэдра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $BC$ и $CD$. Обозначим эти середины как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Найти:

Изобразить сечение тетраэдра $ABCD$, проходящее через точки $M, N, P$.

Площадь $S$ этого сечения.

Решение:

Обозначим середины ребер $AB$, $BC$, $CD$ как $M$, $N$, $P$ соответственно.

1. Определение формы сечения:

Поскольку точки $M$ и $N$ лежат в плоскости грани $ABC$, отрезок $MN$ является частью сечения. $MN$ соединяет середины сторон $AB$ и $BC$ треугольника $ABC$. Следовательно, $MN$ является средней линией треугольника $ABC$. Отсюда $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2} AC$. Так как все ребра тетраэдра равны $a=1$, то $AC = a = 1$, и $MN = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Аналогично, точки $N$ и $P$ лежат в плоскости грани $BCD$. Отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$. Отсюда $NP \parallel BD$ и $NP = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Плоскость сечения проходит через точки $M, N, P$. Поскольку $MN \parallel AC$, плоскость сечения $MNP$ параллельна ребру $AC$. Так как $P$ лежит в этой плоскости и на ребре $CD$, а ребро $AC$ лежит в плоскости грани $ACD$, то линия пересечения плоскости $MNP$ с гранью $ACD$ должна быть параллельна $AC$ и проходить через $P$. Пусть эта линия пересекает ребро $AD$ в точке $Q$. Тогда $PQ \parallel AC$.

В треугольнике $ACD$, если $P$ - середина $CD$ и $PQ \parallel AC$, то $Q$ по теореме Фалеса (или теореме о средней линии, примененной к $\triangle ACD$ и $\triangle DPQ$) является серединой $AD$.

Таким образом, четвертой вершиной сечения является точка $Q$ - середина ребра $AD$.

Теперь определим оставшиеся стороны сечения:

• $MQ$ соединяет середины $AB$ и $AD$ в $\triangle ABD$. Следовательно, $MQ$ - средняя линия $\triangle ABD$, и $MQ \parallel BD$, $MQ = \frac{1}{2} BD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

• $PQ$ соединяет середины $CD$ и $AD$ в $\triangle ACD$. Следовательно, $PQ$ - средняя линия $\triangle ACD$, и $PQ \parallel AC$, $PQ = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

Итак, сечение $MNPQ$ является четырехугольником, у которого все стороны равны: $MN = NP = PQ = QM = \frac{1}{2}$. Следовательно, $MNPQ$ является ромбом.

В правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны. Ребра $AC$ и $BD$ являются противоположными ребрами. Значит, $AC \perp BD$.

Поскольку $MN \parallel AC$ и $MQ \parallel BD$, то и $MN \perp MQ$.

Ромб, у которого один из углов прямой, является квадратом.

Следовательно, сечение $MNPQ$ является квадратом со стороной $s = \frac{1}{2}$.

2. Вычисление площади сечения:

Площадь квадрата вычисляется по формуле $S = s^2$.

В нашем случае сторона квадрата $s = \frac{1}{2}$.

$S = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ:

Сечение является квадратом, проходящим через середины ребер $AB, BC, CD, AD$. Его площадь составляет $S = \frac{1}{4}$.

79. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AB$, $AC$ и $CD$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$.

Длина каждого ребра тетраэдра $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $AC$ и $CD$.

Пусть $M$ — середина ребра $AB$.

Пусть $N$ — середина ребра $AC$.

Пусть $P$ — середина ребра $CD$.

Перевод в СИ:

Данные уже представлены в безразмерных единицах. Если бы длина ребра была, например, 1 метр, то площадь была бы в квадратных метрах. В данном случае, ответ будет в условных квадратных единицах.

Найти:

1. Описать (изобразить) сечение.

2. Площадь сечения $S_{MNPQ}$.

Решение:

1. Описание формы сечения:

1.1. Пусть $M$ — середина ребра $AB$, $N$ — середина ребра $AC$, $P$ — середина ребра $CD$. Эти три точки лежат в плоскости сечения. Сечение является многоугольником, вершинами которого являются точки пересечения этой плоскости с ребрами тетраэдра.

1.2. Рассмотрим грань $ABC$. Точки $M$ и $N$ лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $MN$ является стороной сечения. $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Поскольку $ABC$ — равносторонний треугольник со стороной $a=1$, то $MN \parallel BC$ и $MN = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.3. Рассмотрим грань $ACD$. Точки $N$ и $P$ лежат в этой грани. Следовательно, отрезок $NP$ является стороной сечения. $NP$ — средняя линия треугольника $ACD$. Поскольку $ACD$ — равносторонний треугольник со стороной $a=1$, то $NP \parallel AD$ и $NP = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.4. Для построения полного сечения, нам нужно найти точки пересечения плоскости $(MNP)$ с остальными ребрами тетраэдра. Мы знаем, что $MN \parallel BC$. Плоскость сечения $(MNP)$ пересекает грань $BCD$. Так как $MN \parallel BC$, и $MN$ лежит в плоскости сечения, а $BC$ лежит в плоскости грани $BCD$, то линия пересечения плоскости $(MNP)$ и грани $BCD$ должна быть параллельна $MN$ и $BC$. Эта линия проходит через точку $P$. Проведем через $P$ прямую, параллельную $BC$, до пересечения с ребром $BD$. Пусть точка пересечения будет $Q$. Так как $P$ — середина $CD$ и $PQ \parallel BC$, то $PQ$ является средней линией треугольника $BCD$. Следовательно, $Q$ — середина ребра $BD$. Таким образом, $PQ = \frac{1}{2} BC = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.5. Таким образом, сечение проходит через четыре точки: $M$ (середина $AB$), $N$ (середина $AC$), $P$ (середина $CD$) и $Q$ (середина $BD$). Рассмотрим отрезок $QM$. $Q$ — середина $BD$, $M$ — середина $AB$. $QM$ — средняя линия треугольника $ABD$. Следовательно, $QM \parallel AD$ и $QM = \frac{1}{2} AD = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

1.6. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MNPQ$, все стороны которого равны $1/2$.

1.7. Проверим параллельность сторон: $MN \parallel BC$ и $PQ \parallel BC$, что означает $MN \parallel PQ$. Аналогично, $NP \parallel AD$ и $QM \parallel AD$, что означает $NP \parallel QM$. Поскольку обе пары противоположных сторон параллельны, четырехугольник $MNPQ$ является параллелограммом. Так как все его стороны равны ($1/2$), это ромб.

1.8. Чтобы определить, является ли ромб квадратом, найдем длины его диагоналей.

Диагональ $MP$ соединяет середины противоположных ребер $AB$ и $CD$ тетраэдра. В правильном тетраэдре с ребром $a$, расстояние между серединами скрещивающихся ребер равно $a/\sqrt{2}$. В нашем случае $a=1$, значит, $MP = 1/\sqrt{2}$.

Диагональ $NQ$ соединяет середины противоположных ребер $AC$ и $BD$ тетраэдра. Аналогично, $NQ = 1/\sqrt{2}$.

Поскольку диагонали ромба $MNPQ$ равны ($MP = NQ = 1/\sqrt{2}$), ромб $MNPQ$ является квадратом.

Ответ: Сечение представляет собой квадрат.

2. Нахождение площади сечения:

Площадь квадрата можно найти как квадрат его стороны или как половину произведения диагоналей.

Используем длину стороны $s = 1/2$:

$S_{MNPQ} = s^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$

Используем длины диагоналей $d_1 = MP = 1/\sqrt{2}$ и $d_2 = NQ = 1/\sqrt{2}$:

$S_{MNPQ} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $1/4$.

80. Изобразите сечение тетраэдра $ABCD$, все ребра которого равны $1$, проходящее через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Тетраэдр $ABCD$

Длина каждого ребра $a = 1$

Сечение проходит через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения $S_{MNP}$

Решение

Изобразите сечение тетраэдра ABCD, все ребра которого равны 1, проходящее через середины ребер AD, BD и BC.

Для построения сечения тетраэдра $ABCD$, проходящего через середины ребер $AD$, $BD$ и $BC$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите тетраэдр $ABCD$. Для наглядности можно представить вершину $D$ как верхнюю точку.

2. Отметьте середину ребра $AD$ и обозначьте ее точкой $M$.

3. Отметьте середину ребра $BD$ и обозначьте ее точкой $N$.

4. Отметьте середину ребра $BC$ и обозначьте ее точкой $P$.

5. Соедините последовательно точки $M$, $N$ и $P$ отрезками. Полученный треугольник $MNP$ является искомым сечением.

Отрезок $MN$ лежит в плоскости грани $ABD$ и является средней линией треугольника $ABD$.

Отрезок $NP$ лежит в плоскости грани $BCD$ и является средней линией треугольника $BCD$.

Отрезок $MP$ соединяет середины двух скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ тетраэдра.

Примечание: Трехмерное изображение не может быть предоставлено в данном формате. Описанные шаги предназначены для самостоятельного построения.

Ответ: Изображение невозможно предоставить в данном формате.

Найдите его площадь.

Поскольку тетраэдр $ABCD$ является правильным (все его ребра равны $a=1$), все его грани представляют собой равносторонние треугольники со стороной $a=1$.

1. Определим длину отрезка $MN$. Точки $M$ и $N$ являются серединами ребер $AD$ и $BD$ соответственно. Следовательно, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $ABD$.

По свойству средней линии треугольника, ее длина равна половине длины стороны, которой она параллельна. В данном случае $MN = \frac{1}{2} AB$.

Так как длина ребра $AB = a = 1$, то $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Определим длину отрезка $NP$. Аналогично, точки $N$ и $P$ являются серединами ребер $BD$ и $BC$ соответственно. Отрезок $NP$ является средней линией треугольника $BCD$.

По свойству средней линии, $NP = \frac{1}{2} CD$.

Так как длина ребра $CD = a = 1$, то $NP = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

3. Определим длину отрезка $MP$. Отрезок $MP$ соединяет середины двух скрещивающихся ребер $AD$ и $BC$ правильного тетраэдра.

Длина отрезка, соединяющего середины скрещивающихся ребер правильного тетраэдра со стороной $a$, определяется по формуле $h = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Подставляя $a=1$, получаем $MP = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Таким образом, длины сторон треугольника $MNP$ составляют:

$MN = \frac{1}{2}$

$NP = \frac{1}{2}$

$MP = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Теперь проверим тип треугольника $MNP$, используя теорему Пифагора. Если $MN^2 + NP^2 = MP^2$, то треугольник прямоугольный.

$MN^2 + NP^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$MP^2 = \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Так как $MN^2 + NP^2 = MP^2$, треугольник $MNP$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $N$. Поскольку $MN = NP$, он также является равнобедренным.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения длин его катетов:

$S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot NP$

$S_{MNP} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$

Ответ:

Площадь сечения $S_{MNP} = \frac{1}{8}$.

81. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина каждого ребра $a = 1$.

Плоскость сечения проходит через вершины $A$, $B$ и середину ребра $SC$. Обозначим середину ребра $SC$ как точку $M$.

Найти:

Изображение сечения: описать форму и расположение сечения.

Площадь сечения: $S_{ABMN}$.

Решение:

Изобразите сечение:

1. Так как точки $A$ и $B$ лежат в плоскости основания $ABCD$, отрезок $AB$ является частью искомого сечения.

2. Точка $M$ является серединой ребра $SC$. Поскольку точки $B$ и $M$ лежат в плоскости грани $SBC$, отрезок $BM$ также является частью сечения.

3. Правильная четырехугольная пирамида имеет квадратное основание $ABCD$. Следовательно, стороны $AB$ и $CD$ параллельны: $AB \parallel CD$.

4. Если плоскость пересекает две параллельные прямые ($AB$ и $CD$), то линии ее пересечения с плоскостями, содержащими эти прямые, параллельны. В данном случае, плоскость сечения содержит прямую $AB$, параллельную $CD$. Значит, линия пересечения плоскости сечения с гранью $SCD$ (которая содержит $CD$) должна быть параллельна $CD$ (и $AB$).

5. Проведем через точку $M$ (лежащую на $SC$) в плоскости грани $SCD$ прямую $MN$, параллельную $CD$. Пусть эта прямая $MN$ пересекает ребро $SD$ в точке $N$.

6. Из подобия треугольников $\triangle SMN$ и $\triangle SCD$ (так как $MN \parallel CD$ и $M$ - середина $SC$) следует, что $N$ является серединой ребра $SD$.

7. Отрезок $AN$ лежит в плоскости грани $SAD$ и является последней стороной сечения.

8. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $ABMN$. Поскольку $AB \parallel MN$ и $AB$ и $MN$ являются основаниями, а боковые ребра $AN$ и $BM$ равны (в силу симметрии правильной пирамиды и того, что $M$ и $N$ являются серединами соответствующих ребер), $ABMN$ является равнобокой трапецией.

Ответ: Сечением является равнобокая трапеция $ABMN$, где $M$ - середина $SC$, а $N$ - середина $SD$.

Найдите его площадь:

Для вычисления площади трапеции $ABMN$ нам понадобятся длины ее оснований и высота.

1. Длины оснований:

Большеe основание трапеции: $AB = a = 1$.

Меньшее основание трапеции: Поскольку $MN \parallel CD$ и $N$ - середина $SD$, $M$ - середина $SC$, отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SCD$. Следовательно, $MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} a = \frac{1}{2}$.

2. Длины боковых сторон трапеции $BM$ и $AN$:

Рассмотрим грань $SBC$. Это равносторонний треугольник со сторонами $SB = BC = SC = 1$.

Точка $M$ - середина $SC$, поэтому $MC = \frac{1}{2} SC = \frac{1}{2}$.

В треугольнике $BCM$ известны две стороны $BC = 1$, $MC = \frac{1}{2}$ и угол между ними $\angle BCM = \angle SCB = 60^\circ$ (поскольку $\triangle SBC$ равносторонний).

Применим теорему косинусов для нахождения длины стороны $BM$:

$BM^2 = BC^2 + MC^2 - 2 \cdot BC \cdot MC \cdot \cos(\angle BCM)$

$BM^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 - 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos(60^\circ)$

$BM^2 = 1 + \frac{1}{4} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$BM^2 = 1 + \frac{1}{4} - \frac{1}{2}$

$BM^2 = \frac{4}{4} + \frac{1}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$

$BM = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, в силу симметрии, $AN = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Высота $H$ трапеции $ABMN$:

Трапеция $ABMN$ равнобокая с основаниями $AB=1$, $MN=1/2$ и боковыми сторонами $AN=BM=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Проведем высоты из точек $N$ и $M$ к основанию $AB$. Пусть $P$ и $Q$ - основания этих перпендикуляров на $AB$.

Тогда $AP = QB = \frac{AB - MN}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и отрезком на основании, например, $\triangle ANP$ (где $NP=H$).

По теореме Пифагора:

$H^2 = AN^2 - AP^2$

$H^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$H^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16}$

$H^2 = \frac{12}{16} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

$H = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

4. Площадь трапеции $ABMN$:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{\text{основание}_1 + \text{основание}_2}{2} \cdot \text{высота}$.

$S_{ABMN} = \frac{AB + MN}{2} \cdot H$

$S_{ABMN} = \frac{1 + 1/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3/2}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{ABMN} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$.

82. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $C$ и середину ребра $SA$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1: $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a=1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $C$ и середину ребра $SA$. Обозначим середину ребра $SA$ как точку $M$.

Перевод в СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Плоскость сечения проходит через точки $B$, $C$ и $M$ (середину $SA$).

1. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Следовательно, отрезок $BC$ является одной из сторон сечения.

2. Поскольку пирамида правильная четырехугольная, ее основание $ABCD$ является квадратом. Из этого следует, что сторона $BC$ параллельна стороне $AD$ ($BC \parallel AD$).

3. Плоскость сечения $(BCM)$ пересекает грань $SBC$ по отрезку $BC$. Плоскость $(BCM)$ также пересекает грань $SAD$. Поскольку $BC \parallel AD$, и плоскости $SBC$ и $SAD$ имеют общую вершину $S$, а их основания $BC$ и $AD$ параллельны, то линии пересечения плоскости сечения с этими гранями должны быть параллельны. Так как $BC$ является одной из таких линий, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $SAD$ должна быть параллельна $BC$ (и $AD$).

4. Точка $M$ лежит на ребре $SA$, которое находится в грани $SAD$. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $AD$ (и $BC$), в плоскости грани $SAD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SD$ в точке $N$.

5. Из подобия треугольников $\triangle SMN$ и $\triangle SAD$ (так как $MN \parallel AD$) и того, что $M$ - середина $SA$ ($SM = MA$), следует, что $N$ также является серединой $SD$ ($SN = ND$), а длина отрезка $MN$ равна половине длины $AD$ ($MN = \frac{1}{2}AD$).

6. Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $BCNM$. Поскольку $BC \parallel MN$, этот четырехугольник является трапецией.

Ответ: Сечение представляет собой равнобедренную трапецию $BCNM$.

Найдите его площадь

Для вычисления площади трапеции $BCNM$ нам необходимы длины ее оснований $BC$ и $MN$, а также ее высота.

1.Длины оснований:

• Основание $BC$ равно ребру основания пирамиды, которое равно 1. $BC = a = 1$.
• Основание $MN$ равно половине $AD$. Так как $AD = a = 1$, то $MN = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2.Длины боковых сторон:

• Рассмотрим треугольник $SAB$. Все ребра пирамиды равны 1, следовательно, $SA=SB=AB=1$. Треугольник $SAB$ является равносторонним.
• Точка $M$ - середина $SA$. Отрезок $BM$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $h = s\frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Таким образом, $BM = AB \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
• Аналогично, рассмотрим треугольник $SCD$. $SC=CD=SD=1$, поэтому $\triangle SCD$ также равносторонний. Точка $N$ - середина $SD$. Отрезок $CN$ является медианой (и высотой) в равностороннем треугольнике $SCD$.
• Следовательно, $CN = CD \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку $BM = CN$, трапеция $BCNM$ является равнобедренной.

3.Высота трапеции:

Обозначим высоту трапеции $BCNM$ как $H$. Опустим перпендикуляр из вершины $N$ на основание $BC$, пусть его основанием будет точка $P$. В равнобедренной трапеции длина отрезка $CP$ равна половине разности длин оснований:

$CP = \frac{BC - MN}{2} = \frac{1 - \frac{1}{2}}{2} = \frac{\frac{1}{2}}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle NPC$. Катеты $NP$ (высота $H$) и $CP$, гипотенуза $CN$. По теореме Пифагора:

$H^2 + CP^2 = CN^2$

$H^2 + \left(\frac{1}{4}\right)^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$H^2 + \frac{1}{16} = \frac{3}{4}$

$H^2 = \frac{3}{4} - \frac{1}{16} = \frac{12}{16} - \frac{1}{16} = \frac{11}{16}$

$H = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

4.Площадь сечения:

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot H$, где $b_1$ и $b_2$ - длины оснований.

$S_{BCNM} = \frac{BC + MN}{2} \cdot H = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4}$

$S_{BCNM} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{3\sqrt{11}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{11}}{16}$.

83. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны $1$, проходящее через вершины $C$, $D$ и середину ребра $AS$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра равны 1, то есть $AB = BC = CD = DA = SA = SB = SC = SD = 1$.

Точка $M$ - середина ребра $AS$.

Сечение проходит через вершины $C$, $D$ и точку $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (единица измерения).

Найти:

Площадь сечения $S_{CDM}$.

Решение:

Поскольку сечение проходит через точки $C$, $D$ и $M$, и точки $C$ и $D$ лежат в одной грани (основании), а также точки $M$ и $D$ лежат в грани $SAD$, а точки $M$ и $C$ лежат в плоскости, проходящей через вершину $S$ и диагональ $AC$, то искомое сечение является треугольником $CDM$.

Найдем длины сторон треугольника $CDM$:

1. Сторона $CD$: Является стороной основания пирамиды. По условию, все ребра равны 1.
$CD = 1$.

2. Сторона $MD$: Рассмотрим треугольник $SAD$. Поскольку пирамида правильная и все ее ребра равны 1, треугольник $SAD$ является равносторонним со сторонами $SA = AD = SD = 1$. Точка $M$ - середина ребра $AS$, значит $AM = MS = 1/2$.
Найдем длину $MD$ из $\triangle ADM$ по теореме косинусов. Угол $\angle DAM$ равен $60^\circ$, так как $\triangle SAD$ - равносторонний.
$MD^2 = AD^2 + AM^2 - 2 \cdot AD \cdot AM \cdot \cos(\angle DAM)$
$MD^2 = 1^2 + (1/2)^2 - 2 \cdot 1 \cdot (1/2) \cdot \cos(60^\circ)$
$MD^2 = 1 + 1/4 - 1 \cdot (1/2)$
$MD^2 = 5/4 - 1/2 = 5/4 - 2/4 = 3/4$
$MD = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Сторона $MC$: Рассмотрим треугольник $SAC$. Стороны $SA = SC = 1$. Длина $AC$ - диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1.
$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.
Таким образом, $\triangle SAC$ имеет стороны $SA=1$, $SC=1$, $AC=\sqrt{2}$. Проверим соотношение $SA^2 + SC^2 = AC^2$: $1^2 + 1^2 = 2$, и $AC^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.
Так как $SA^2 + SC^2 = AC^2$, треугольник $SAC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $S$ ($\angle ASC = 90^\circ$).
Поскольку $\triangle SAC$ - равнобедренный и прямоугольный, углы при основании $AC$ равны $45^\circ$. То есть $\angle SAC = \angle SCA = 45^\circ$.
Теперь найдем длину $MC$ из $\triangle AMC$ по теореме косинусов. Точка $M$ - середина $AS$, значит $AM = 1/2$.
$MC^2 = AM^2 + AC^2 - 2 \cdot AM \cdot AC \cdot \cos(\angle MAC)$
$MC^2 = (1/2)^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot (1/2) \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(45^\circ)$
$MC^2 = 1/4 + 2 - \sqrt{2} \cdot (\sqrt{2}/2)$
$MC^2 = 1/4 + 2 - 2/2 = 1/4 + 2 - 1 = 1/4 + 1 = 5/4$
$MC = \sqrt{5/4} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Итак, стороны треугольника $CDM$ равны: $CD=1$, $MD=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $MC=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Для вычисления площади треугольника $CDM$ воспользуемся методом координат.

Расположим пирамиду в декартовой системе координат. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$.
Тогда координаты вершин основания:
$A = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, 0)$
$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
Высота пирамиды $SO$. В прямоугольном треугольнике $SOC$, $SC^2 = SO^2 + OC^2$.
$OC = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$1^2 = SO^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 \Rightarrow 1 = SO^2 + \frac{1}{2} \Rightarrow SO^2 = \frac{1}{2} \Rightarrow SO = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Координаты вершины $S = (0, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$.

Координаты точки $M$ (середина $AS$):
$M = \left( \frac{-\frac{1}{2}+0}{2}, \frac{-\frac{1}{2}+0}{2}, \frac{0+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2} \right) = \left( -\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4} \right)$.

Теперь у нас есть координаты вершин треугольника $CDM$:
$C = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$D = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0)$
$M = (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$

Вычислим векторы $\vec{CD}$ и $\vec{CM}$:
$\vec{CD} = D - C = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$.
$\vec{CM} = M - C = (-\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, -\frac{1}{4} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{4} - 0) = (-\frac{3}{4}, -\frac{3}{4}, \frac{\sqrt{2}}{4})$.

Площадь треугольника $CDM$ равна половине модуля векторного произведения векторов $\vec{CD}$ и $\vec{CM}$:
$S_{CDM} = \frac{1}{2} |\vec{CD} \times \vec{CM}|$.
$\vec{CD} \times \vec{CM} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 0 \\ -3/4 & -3/4 & \sqrt{2}/4 \end{vmatrix}$
$= \mathbf{i}(0 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot (-\frac{3}{4})) - \mathbf{j}(-1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{4} - 0 \cdot (-\frac{3}{4})) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\frac{3}{4}) - 0 \cdot (-\frac{3}{4}))$
$= 0\mathbf{i} + \frac{\sqrt{2}}{4}\mathbf{j} + \frac{3}{4}\mathbf{k}$
$= \left(0, \frac{\sqrt{2}}{4}, \frac{3}{4}\right)$.

Модуль векторного произведения:
$|\vec{CD} \times \vec{CM}| = \sqrt{0^2 + \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{3}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{\frac{2}{16} + \frac{9}{16}} = \sqrt{\frac{11}{16}} = \frac{\sqrt{11}}{4}$.

Площадь $S_{CDM} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{11}}{4} = \frac{\sqrt{11}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{11}}{8}$.

84. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $D$ и середину ребра $SB$. Найдите его площадь.

85. Изобразите сечение правильной...

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Все ребра пирамиды равны $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $D$ и середину ребра $SB$, которую обозначим $M$.

Перевод в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны и все величины являются безразмерными.

Найти:

Площадь сечения $S_{ADM}$.

Решение:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$ имеет в основании квадрат $ABCD$. Так как все ребра равны $1$, то длины всех ребер, включая ребра основания $AB, BC, CD, DA$ и боковые ребра $SA, SB, SC, SD$, равны $1$.

Сечение проходит через три точки: вершину $A$ основания, вершину $D$ основания и точку $M$, которая является серединой ребра $SB$.

Для построения сечения необходимо:

1. Начертить пирамиду $SABCD$, обозначив ее вершины.

2. Найти середину ребра $SB$ и обозначить ее точкой $M$.

3. Соединить точки $A$ и $D$. Отрезок $AD$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости основания.

4. Соединить точки $A$ и $M$. Отрезок $AM$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $SAB$.

5. Соединить точки $D$ и $M$. Отрезок $DM$ является стороной сечения, так как обе точки лежат в плоскости боковой грани $SDB$.

Таким образом, сечение, проходящее через точки $A$, $D$ и $M$, представляет собой треугольник $ADM$.

Ответ: Описание построения сечения.

Для нахождения площади треугольника $ADM$ нам необходимо вычислить длины его сторон: $AD$, $AM$ и $DM$.

1. Длина стороны $AD$:
   Так как $ABCD$ — квадрат со стороной $1$ (все ребра пирамиды равны $1$), то $AD = 1$.

2. Длина стороны $AM$:
   Рассмотрим боковую грань $SAB$. Это треугольник со сторонами $SA=1$, $AB=1$, $SB=1$. Таким образом, треугольник $SAB$ является равносторонним.

   $M$ — середина ребра $SB$. Следовательно, $AM$ является медианой равностороннего треугольника $SAB$. В равностороннем треугольнике медиана, проведенная к стороне, также является высотой. Длина медианы (высоты) равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

   Для $a=1$, получаем $AM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $DM$:
   Рассмотрим треугольник $SDB$. Стороны $SD=1$ и $SB=1$. Сторона $DB$ является диагональю квадрата $ABCD$ (основания пирамиды). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.

   Следовательно, $DB = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.

   Проверим тип треугольника $SDB$. Его стороны: $SD=1$, $SB=1$, $DB=\sqrt{2}$.Применим теорему Пифагора: $SD^2 + SB^2 = 1^2 + 1^2 = 1+1=2$. $DB^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.Так как $SD^2 + SB^2 = DB^2$, то треугольник $SDB$ является прямоугольным, причем прямой угол находится при вершине $S$ ($$$\angle DSB = 90^\circ$$$).

   $M$ — середина ребра $SB$, поэтому $SM = \frac{1}{2} SB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

   Рассмотрим треугольник $SDM$. Он также является прямоугольным, так как $\angle DSB = \angle DSM = 90^\circ$. По теореме Пифагора:

   $DM^2 = SD^2 + SM^2$

   $DM^2 = 1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4}$

   $DM = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Итак, длины сторон треугольника $ADM$ равны: $AD=1$, $AM=\frac{\sqrt{3}}{2}$, $DM=\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь вычислим площадь треугольника $ADM$ по формуле Герона.

Полупериметр $p = \frac{AD + AM + DM}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$.

Площадь $S_{ADM} = \sqrt{p(p-AD)(p-AM)(p-DM)}$

Вычислим множители:

$p-AD = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - 1 = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 4}{4} = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2}{4}$

$p-AM = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{3}}{4} = \frac{2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4}$

$p-DM = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}}{4} - \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 2\sqrt{5}}{4} = \frac{2 + \sqrt{3} - \sqrt{5}}{4}$

Теперь подставим их в формулу для площади в квадрате:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{4^4} (2 + \sqrt{3} + \sqrt{5}) (\sqrt{3} + \sqrt{5} - 2) (2 - \sqrt{3} + \sqrt{5}) (2 + \sqrt{3} - \sqrt{5})$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - 2^2 ] [ 2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 ]$

Вычислим части в квадратных скобках:

$(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2 - 2^2 = (3 + 5 + 2\sqrt{3 \cdot 5}) - 4 = (8 + 2\sqrt{15}) - 4 = 4 + 2\sqrt{15}$

$2^2 - (\sqrt{3} - \sqrt{5})^2 = 4 - (3 + 5 - 2\sqrt{3 \cdot 5}) = 4 - (8 - 2\sqrt{15}) = 4 - 8 + 2\sqrt{15} = -4 + 2\sqrt{15}$

Теперь перемножим полученные выражения:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} (4 + 2\sqrt{15}) (-4 + 2\sqrt{15})$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} (2\sqrt{15} + 4) (2\sqrt{15} - 4)$

Это выражение типа $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, где $a=2\sqrt{15}$ и $b=4$:

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (2\sqrt{15})^2 - 4^2 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ (4 \cdot 15) - 16 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{1}{256} [ 60 - 16 ]$

$S_{ADM}^2 = \frac{44}{256}$

Извлекаем квадратный корень для нахождения площади:

$S_{ADM} = \sqrt{\frac{44}{256}} = \frac{\sqrt{44}}{\sqrt{256}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 11}}{16} = \frac{2\sqrt{11}}{16} = \frac{\sqrt{11}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{11}}{8}$.

85. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AD$, $BC$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$. Длина всех ребер $a = 1$. Сечение проходит через середины ребер $AD, BC, SD$. Обозначим эти середины $M, N, P$ соответственно.

Перевод в СИ:

Так как единицы измерения длины не указаны, принимаем их за условные единицы, например, метры. $a = 1 \text{ м}$.

Найти:

1. Изобразить сечение. 2. Найти площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

Пусть $M$ - середина ребра $AD$, $N$ - середина ребра $BC$, $P$ - середина ребра $SD$. Искомое сечение проходит через точки $M, N, P$.

1. Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости основания $ABCD$. Соединяем их отрезком $MN$. Поскольку $ABCD$ - квадрат, и $M, N$ - середины противоположных сторон $AD, BC$, то $MN$ параллелен $AB$ и $CD$, а длина $MN$ равна длине стороны квадрата: $MN = AB = CD = 1$.

2. Точки $M$ и $P$ лежат в плоскости грани $SAD$. Соединяем их отрезком $MP$. Поскольку $M$ - середина $AD$, а $P$ - середина $SD$, отрезок $MP$ является средней линией треугольника $SAD$. Следовательно, $MP \parallel SA$ и $MP = \frac{1}{2} SA$. Так как все ребра пирамиды равны 1, $SA=1$, значит $MP = \frac{1}{2}$.

3. Рассмотрим плоскость сечения, проходящую через $M, N, P$. Поскольку $MN \parallel CD$, плоскость сечения параллельна ребру $CD$. Если плоскость параллельна прямой и пересекает плоскость, содержащую эту прямую, то линия их пересечения параллельна этой прямой. Плоскость сечения $MNP$ пересекает плоскость грани $SCD$ (которая содержит $CD$). Следовательно, линия пересечения $PQ$ (где $Q$ - точка на $SC$) должна быть параллельна $CD$.

4. Поскольку $P$ - середина $SD$ и $PQ \parallel CD$, отрезок $PQ$ является средней линией треугольника $SCD$. Это означает, что $Q$ является серединой ребра $SC$, и $PQ = \frac{1}{2} CD$. Так как $CD=1$, то $PQ = \frac{1}{2}$.

5. Теперь соединяем точки $Q$ и $N$. Точки $Q$ и $N$ лежат в плоскости грани $SBC$. Поскольку $Q$ - середина $SC$, а $N$ - середина $BC$, отрезок $QN$ является средней линией треугольника $SBC$. Следовательно, $QN \parallel SB$ и $QN = \frac{1}{2} SB$. Так как $SB=1$, то $QN = \frac{1}{2}$.

Таким образом, сечением является четырехугольник $MNQP$. У него $MN \parallel CD$ и $PQ \parallel CD$, откуда $MN \parallel PQ$. Значит, $MNQP$ является трапецией. Длины сторон трапеции: $MN = 1$, $PQ = 1/2$, $MP = 1/2$, $QN = 1/2$. Поскольку боковые стороны $MP$ и $QN$ равны, трапеция $MNQP$ является равнобокой.

Ответ: Сечением является равнобокая трапеция $MNQP$, где $M, N, P, Q$ - середины ребер $AD, BC, SD, SC$ соответственно.

Расчет площади сечения

Сечение $MNQP$ является равнобокой трапецией с основаниями $MN=1$ и $PQ=1/2$, и боковыми сторонами $MP=QN=1/2$.

Для вычисления площади трапеции нам нужна ее высота $h$. Опустим перпендикуляры из вершин $P$ и $Q$ на большее основание $MN$. Обозначим их основания $P'$ и $Q'$. Тогда $P'Q' = PQ = 1/2$. Длины отрезков $MP'$ и $NQ'$ будут равны: $MP' = NQ' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $MP$, ее проекцией $MP'$ на основание и высотой $h$. По теореме Пифагора: $h^2 = MP^2 - MP'^2$. $h^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$ $h^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{16}$ $h^2 = \frac{4}{16} - \frac{1}{16} = \frac{3}{16}$ $h = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Площадь трапеции $S_{MNQP}$ вычисляется по формуле: $S_{MNQP} = \frac{MN + PQ}{2} \times h$ $S_{MNQP} = \frac{1 + 1/2}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3/2}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{3}}{4}$ $S_{MNQP} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.

86. Изобразите сечение правильной четырехугольной пирамиды $SABCD$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $CD$ и $SD$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная четырехугольная пирамида $SABCD$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AB$, $CD$ и $SD$. Обозначим эти середины как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Перевод в СИ:

Все ребра $a = 1$ (безразмерная единица длины).

Найти:

Изобразить сечение (описать построение).

Площадь сечения $S_{сеч}$.

Решение:

1.Описание построения сечения:

Поскольку пирамида $SABCD$ является правильной четырехугольной, ее основание $ABCD$ представляет собой квадрат. Все боковые ребра равны ребрам основания. Таким образом, $AB=BC=CD=DA=SA=SB=SC=SD=a=1$.

Точки $M$ (середина ребра $AB$) и $N$ (середина ребра $CD$) расположены в плоскости основания $ABCD$. Соединим их отрезком $MN$. В квадрате $ABCD$ отрезок, соединяющий середины противоположных сторон, параллелен другим сторонам. Следовательно, $MN \parallel AD$ и $MN \parallel BC$. Длина отрезка $MN$ равна длине стороны основания: $MN = AD = a = 1$.

Точка $P$ (середина ребра $SD$) и точка $N$ (середина ребра $CD$) находятся в плоскости боковой грани $SCD$. Соединим эти точки отрезком $PN$. По теореме о средней линии треугольника, в $\triangle SCD$ отрезок $PN$ является средней линией, так как соединяет середины сторон $SD$ и $CD$. Отсюда следует, что $PN \parallel SC$ и $PN = \frac{1}{2}SC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Для завершения построения сечения нам необходимо найти точки пересечения плоскости сечения с другими ребрами пирамиды. Поскольку отрезок $MN$ параллелен $AD$ (стороне основания), плоскость сечения, проходящая через $MN$, будет пересекать плоскость боковой грани $SAD$ по линии, параллельной $AD$. Эта линия должна проходить через уже найденную точку $P$. Проведем через точку $P$ прямую в плоскости $SAD$, параллельную $AD$. Пусть эта прямая пересекает ребро $SA$ в точке $Q$. Так как $P$ является серединой $SD$ и $PQ \parallel AD$, то по теореме о средней линии треугольника в $\triangle SAD$ точка $Q$ должна быть серединой ребра $SA$. Длина отрезка $PQ = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Теперь у нас есть четыре точки: $M$ (середина $AB$), $Q$ (середина $SA$), $P$ (середина $SD$), $N$ (середина $CD$). Соединим $M$ и $Q$. Точка $M$ — середина $AB$, точка $Q$ — середина $SA$. В $\triangle SAB$ отрезок $MQ$ является средней линией, поэтому $MQ \parallel SB$ и $MQ = \frac{1}{2}SB = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырехугольник $MQPN$. Мы установили, что $MN \parallel AD$ и $PQ \parallel AD$, следовательно, $MN \parallel PQ$. Это означает, что $MQPN$ является трапецией.Длины сторон трапеции:Большее основание $MN = 1$.Меньшее основание $PQ = 1/2$.Боковые стороны $MQ = 1/2$ и $PN = 1/2$.Так как боковые стороны $MQ$ и $PN$ равны, трапеция $MQPN$ является равнобедренной.

2.Вычисление площади сечения:

Площадь равнобедренной трапеции $MQPN$ вычисляется по формуле $S = \frac{b_1 + b_2}{2} \cdot h$, где $b_1$ и $b_2$ — длины оснований, а $h$ — высота.Нам известны длины оснований: $b_1 = MN = 1$ и $b_2 = PQ = 1/2$.Длины боковых сторон: $MQ = PN = 1/2$.

Для нахождения высоты $h$ трапеции $MQPN$ опустим перпендикуляры из вершин $Q$ и $P$ на большее основание $MN$. Пусть основания этих перпендикуляров будут $Q'$ и $P'$ соответственно.Длина отрезка $Q'P'$ равна длине меньшего основания $PQ$, то есть $Q'P' = 1/2$.Отрезки $MQ'$ и $NP'$ (части большего основания $MN$, лежащие по краям от $Q'P'$) равны:$MQ' = NP' = \frac{MN - PQ}{2} = \frac{1 - 1/2}{2} = \frac{1/2}{2} = \frac{1}{4}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной $MQ$, ее проекцией $MQ'$ на большее основание и высотой $h$. Например, $\triangle MQQ'$.По теореме Пифагора: $h^2 = MQ^2 - MQ'^2$.$h = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 - \left(\frac{1}{4}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{4}{16} - \frac{1}{16}} = \sqrt{\frac{3}{16}} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

Теперь вычислим площадь трапеции $MQPN$:$S_{MQPN} = \frac{MN + PQ}{2} \cdot h = \frac{1 + \frac{1}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{\frac{3}{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{16}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}}{16}$.