Страница 172 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная треугольная призма $ABC A_1 B_1 C_1$.

Все ребра равны $a = 1$.

Сечение проходит через середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1 C_1$. Пусть эти середины будут $M$, $N$ и $K$ соответственно.

Перевод в СИ

Размеры даны в безразмерных единицах, поэтому перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Изобразить сечение

Найти его площадь

Решение

Изобразить сечение

Пусть $M$ - середина ребра $AC$, $N$ - середина ребра $BC$, и $K$ - середина ребра $A_1 C_1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания призмы $ABC$. Отрезок $MN$ соединяет эти две точки.

Точка $K$ лежит в плоскости верхнего основания призмы $A_1 B_1 C_1$.

Сечением призмы плоскостью, проходящей через три точки $M$, $N$ и $K$, является треугольник $MNK$. Для того чтобы "изобразить" сечение, необходимо представить или нарисовать призму, отметить на ней середины ребер $AC$, $BC$ и $A_1 C_1$ (точки $M$, $N$, $K$), а затем соединить эти точки отрезками $MN$, $MK$, $NK$. Полученный треугольник $MNK$ и будет искомым сечением.

Найти его площадь

Найдем длины сторон треугольника $MNK$.

1. Длина отрезка $MN$:

Так как $M$ и $N$ - середины сторон $AC$ и $BC$ соответственно, отрезок $MN$ является средней линией правильного треугольника $ABC$.

Длина стороны основания призмы $a = 1$.

Следовательно, длина средней линии $MN$ равна половине длины стороны $AB$ (или $AC$, или $BC$, так как треугольник $ABC$ правильный): $MN = \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

2. Длина отрезка $MK$ и его отношение к плоскости основания:

Точка $M$ является серединой ребра $AC$. Точка $K$ является серединой ребра $A_1 C_1$.

Поскольку призма правильная, боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ перпендикулярны плоскостям оснований $ABC$ и $A_1 B_1 C_1$. Длина каждого бокового ребра также равна $a = 1$.

Проекцией точки $K$ на плоскость нижнего основания $ABC$ является середина ребра $AC$, то есть точка $M$.

Таким образом, отрезок $KM$ является перпендикуляром, опущенным из точки $K$ на плоскость основания $ABC$.

Длина этого перпендикуляра равна высоте призмы, то есть $KM = AA_1 = 1$.

3. Определение типа треугольника $MNK$:

Поскольку отрезок $KM$ перпендикулярен плоскости основания $ABC$, он перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $M$. Отрезок $MN$ лежит в плоскости основания $ABC$ и проходит через точку $M$.

Следовательно, $KM \perp MN$.

Это означает, что треугольник $MNK$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $M$.

4. Площадь треугольника $MNK$:

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot MK$

Подставим найденные значения $MN = \frac{1}{2}$ и $MK = 1$:

$S_{MNK} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot 1$

$S_{MNK} = \frac{1}{4}$

Ответ:

Площадь сечения равна $S = \frac{1}{4}$.

25. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B, B_1$ и середину ребра $AC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длины всех ребер $a=1$.

Сечение проходит через вершины $B$, $B_1$ и середину ребра $AC$ (обозначим ее $M$).

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра не указана в единицах СИ, мы будем использовать ее как безразмерную величину 1. Результат площади будет также безразмерной величиной.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $B_1$ и середину ребра $AC$.

Сечение, проходящее через точки $B$, $B_1$ и $M$ (середина ребра $AC$), представляет собой треугольник $BB_1M$. Поскольку $M$ лежит в плоскости основания $ABC$, и $B$ лежит в этой же плоскости, отрезок $BM$ принадлежит плоскости основания. $B_1$ является вершиной верхнего основания, а $BB_1$ является боковым ребром. Таким образом, сечение образуется соединением этих трех точек.

Для изображения сечения:

1. Начертите правильную треугольную призму $ABCA_1B_1C_1$, где основания $ABC$ и $A_1B_1C_1$ - равносторонние треугольники, а боковые грани - прямоугольники.

2. Отметьте вершину $B$ на нижнем основании.

3. Отметьте вершину $B_1$ на верхнем основании.

4. Найдите середину $M$ ребра $AC$ на нижнем основании.

5. Соедините точки $B$, $B_1$ и $M$ отрезками $BM$, $BB_1$ и $B_1M$. Полученный треугольник $BB_1M$ является искомым сечением.

Ответ: Сечением является треугольник $BB_1M$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $BB_1M$ нам необходимо знать длины его сторон. По условию, все ребра призмы равны 1.

1. Длина стороны $BB_1$: это боковое ребро призмы, поэтому $BB_1 = 1$.

2. Длина стороны $BM$: точка $M$ является серединой ребра $AC$. Треугольник $ABC$ является правильным (равносторонним) треугольником со стороной $a=1$. $BM$ является медианой, проведенной из вершины $B$ к стороне $AC$. В правильном треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Для $a=1$, $BM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $B_1M$: рассмотрим треугольник $BB_1M$. Боковое ребро $BB_1$ правильной призмы перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Отрезок $BM$ лежит в плоскости основания $ABC$. Следовательно, $BB_1 \perp BM$. Таким образом, треугольник $BB_1M$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

По теореме Пифагора для треугольника $BB_1M$:

$B_1M^2 = BB_1^2 + BM^2$

$B_1M^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$B_1M^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$B_1M^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$

$B_1M = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Теперь, когда мы знаем, что треугольник $BB_1M$ является прямоугольным с катетами $BB_1$ и $BM$, его площадь $S$ может быть вычислена как половина произведения длин катетов:

$S = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BM$

$S = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

26. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$. Пусть середина ребра $AB$ будет точка $M$.

Перевод в систему СИ:

Все данные уже представлены в безразмерном виде или в единичных отрезках, что не требует перевода в систему СИ.

Найти:

Изображение сечения.

Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Для построения сечения правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящего через вершины $C$, $C_1$ и середину ребра $AB$ (точку $M$), выполним следующие шаги:

1. Нарисуйте нижнее основание $ABC$ в виде равностороннего треугольника со стороной 1.

2. От каждой вершины $A, B, C$ проведите перпендикулярные к плоскости основания отрезки $AA_1, BB_1, CC_1$, равные 1. Это боковые ребра призмы.

3. Соедините вершины $A_1, B_1, C_1$ для образования верхнего основания призмы.

4. Отметьте на ребре $AB$ его середину – точку $M$.

5. Соедините точки $C$, $C_1$ и $M$ отрезками. Получится треугольник $CC_1M$. Этот треугольник и является искомым сечением.

Сечение представляет собой треугольник $CC_1M$, соединяющий вершину $C$ нижнего основания, соответствующую вершину $C_1$ верхнего основания, и середину $M$ ребра $AB$ нижнего основания.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $CC_1M$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади сечения $CC_1M$ определим длины его сторон и тип треугольника.

1. Длина ребра $CC_1$ является боковым ребром призмы, которое по условию равно 1.

2. Рассмотрим нижнее основание $ABC$. Это равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Точка $M$ – середина ребра $AB$. Следовательно, $CM$ является медианой, проведенной к стороне $AB$. В равностороннем треугольнике медиана также является высотой. Длина высоты $h$ равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

В нашем случае $a=1$, поэтому длина отрезка $CM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABC$. Это означает, что $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в плоскости $ABC$ и проходящей через $C$, в том числе и отрезку $CM$.

Таким образом, треугольник $CC_1M$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $C$. Катетами этого треугольника являются $CC_1$ и $CM$.

4. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов. В данном случае:

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot CC_1 \cdot CM$

Подставим найденные значения длин катетов:

$S_{CC_1M} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$S_{CC_1M} = \frac{\sqrt{3}}{4}$

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{4}$.

27. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C_1$ и середину ребра $BC$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $C_1$ и середину ребра $BC$, обозначим ее $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (величина является безразмерной или выражена в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{AC_1M}$.

Решение:

Изображение сечения

Сечением, проходящим через точки $A$, $C_1$ и $M$ (середину $BC$), является треугольник $AC_1M$.

Нахождение площади сечения

Для нахождения площади треугольника $AC_1M$ вычислим длины его сторон.

1. Найдем длину отрезка $AM$:

Основание призмы - правильный треугольник $ABC$, то есть равносторонний треугольник со стороной $a=1$. Точка $M$ - середина ребра $BC$. Следовательно, $AM$ является медианой и высотой в равностороннем треугольнике $ABC$.

Длина высоты равностороннего треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Подставляя $a=1$, получаем $AM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Найдем длину отрезка $MC_1$:

Рассмотрим грань $BCC_1B_1$. $CC_1$ - боковое ребро призмы, перпендикулярное основанию $ABC$. Таким образом, треугольник $MCC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов: $CC_1 = a = 1$. $MC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}a = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $MCC_1$:

$MC_1^2 = MC^2 + CC_1^2$

$MC_1^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1^2 = \frac{1}{4} + 1 = \frac{5}{4}$

$MC_1 = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

3. Найдем длину отрезка $AC_1$:

Рассмотрим грань $ACC_1A_1$. $CC_1$ - боковое ребро призмы, перпендикулярное основанию $ABC$. Таким образом, треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$.

Длины катетов: $AC = a = 1$. $CC_1 = a = 1$.

По теореме Пифагора для треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$AC_1 = \sqrt{2}$.

Теперь мы знаем длины всех сторон треугольника $AC_1M$: $AM = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $MC_1 = \frac{\sqrt{5}}{2}$, $AC_1 = \sqrt{2}$.

Проверим, является ли треугольник $AC_1M$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Для этого возведем длины сторон в квадрат:

$AM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4}$

$MC_1^2 = \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{5}{4}$

$AC_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$

Суммируем квадраты двух меньших сторон:

$AM^2 + MC_1^2 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

Мы видим, что $AM^2 + MC_1^2 = AC_1^2$. Это означает, что треугольник $AC_1M$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{AC_1M} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot MC_1$

$S_{AC_1M} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{5}}{8} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ:

Площадь сечения $S = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

28. Изобразите сечение правильной треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $A_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Все ребра равны 1. Пусть $a = 1$.

Сечение проходит через вершины $A$, $B_1$ и середину ребра $A_1C_1$. Обозначим середину ребра $A_1C_1$ как $M$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти:

Изобразить сечение и найти его площадь.

Решение:

Изобразите сечение

Сечение проходит через три точки: вершину $A$ нижнего основания $ABC$, вершину $B_1$ верхнего основания $A_1B_1C_1$ и точку $M$ – середину ребра $A_1C_1$ верхнего основания. Эти три точки не лежат на одной прямой и определяют плоскость, которая пересекает грани призмы.

1. Отрезок $AB_1$ соединяет вершину $A$ с вершиной $B_1$. Этот отрезок является диагональю боковой грани $AA_1B_1B$ (которая является квадратом со стороной 1).

2. Отрезок $B_1M$ соединяет вершину $B_1$ с серединой $M$ ребра $A_1C_1$. Оба конца отрезка лежат в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1$.

3. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с серединой $M$ ребра $A_1C_1$. Этот отрезок является частью плоскости сечения.

Таким образом, сечение является треугольником $AMB_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $AMB_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $AMB_1$ определим длины его сторон:

1. Длина стороны $AB_1$: Отрезок $AB_1$ является диагональю квадрата $AA_1B_1B$ со стороной 1 (так как все ребра призмы равны 1).

$AB_1 = \sqrt{AA_1^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Длина стороны $B_1M$: Треугольник $A_1B_1C_1$ является правильным (равносторонним) со стороной 1. Точка $M$ – середина стороны $A_1C_1$. Следовательно, $B_1M$ является медианой, а также высотой в равностороннем треугольнике $A_1B_1C_1$.

$B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot A_1B_1 = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Длина стороны $AM$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA_1M$. Угол при вершине $A_1$ прямой, так как $AA_1$ перпендикулярна плоскости основания $A_1B_1C_1$. Длина $AA_1 = 1$. Длина $A_1M$ равна половине длины ребра $A_1C_1$, то есть $A_1M = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

По теореме Пифагора: $AM = \sqrt{AA_1^2 + A_1M^2} = \sqrt{1^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$.

Теперь, когда известны длины всех сторон треугольника $AMB_1$: $AB_1 = \sqrt{2}$, $B_1M = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $AM = \frac{\sqrt{5}}{2}$, проверим, не является ли он прямоугольным.

Проверим теорему Пифагора:

$B_1M^2 + AM^2 = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{5}}{2}\right)^2 = \frac{3}{4} + \frac{5}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

$AB_1^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$.

Так как $B_1M^2 + AM^2 = AB_1^2$, то треугольник $AMB_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$S_{AMB_1} = \frac{1}{2} \cdot B_1M \cdot AM = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{8}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{15}}{8}$.

29. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и $C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

• Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
• Длина всех ребер $a = 1$. Это означает, что сторона основания $AB=1$ и высота призмы $AA_1=1$.
• Сечение проходит через вершины $A$, $C$ и $C_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (безразмерная величина, не требует перевода, можно считать в условных единицах длины).

Найти:

Площадь сечения $S_{ACC_1}$.

Решение:

Сечение, проходящее через вершины $A$, $C$ и $C_1$, представляет собой треугольник $ACC_1$.

1. Определим длины сторон треугольника $ACC_1$.

Сторона $CC_1$ является боковым ребром призмы. Согласно условию, длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, $CC_1 = 1$.

Сторона $AC$ является диагональю основания призмы. Основание призмы — правильный шестиугольник со стороной $a=1$. Для нахождения длины диагонали $AC$ рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании. Это равнобедренный треугольник с $AB = BC = 1$. Угол при вершине $B$ в правильном шестиугольнике равен:

$\alpha = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Для шестиугольника ($n=6$) этот угол равен:

$\alpha = \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = \frac{4 \times 180^\circ}{6} = 4 \times 30^\circ = 120^\circ$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ABC$ для нахождения длины стороны $AC$:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

Так как $\cos(120^\circ) = -1/2$, подставляем это значение:

$AC^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2) = 2 + 1 = 3$

$AC = \sqrt{3}$.

Сторона $AC_1$ является диагональю, соединяющей вершину $A$ нижнего основания с вершиной $C_1$ верхнего основания. Треугольник $ACC_1$ является прямоугольным, поскольку ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Следовательно, $CC_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через $C$, в частности, прямой $AC$. Таким образом, угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$.

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$

$AC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$

$AC_1^2 = 3 + 1 = 4$

$AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

2. Вычислим площадь сечения $ACC_1$.

Поскольку треугольник $ACC_1$ является прямоугольным с катетами $AC$ и $CC_1$, его площадь вычисляется по формуле площади прямоугольного треугольника:

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CC_1$

$S_{ACC_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot 1$

$S_{ACC_1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Ответ:

Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

30. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $D$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано: Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра призмы равны $a = 1$. Сечение проходит через вершины $A$, $D$ и $D_1$.

Перевод в СИ: Единицы измерения не указаны, поэтому расчеты производятся в относительных единицах. Длина ребра $a = 1$ (усл. ед.).

Найти: Площадь сечения $S$.

Решение: Сечение, проходящее через вершины $A$, $D$ и $D_1$, является плоскостью, содержащей эти три точки. Поскольку $AA_1$ и $DD_1$ являются боковыми ребрами правильной призмы, они параллельны и перпендикулярны плоскостям оснований. Точки $A$ и $D$ лежат в одном основании призмы (например, в нижнем основании $ABCDEF$). Точка $D_1$ лежит в верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и является вершиной над $D$. Так как $A_1$ является вершиной над $A$ и $AA_1 \parallel DD_1$ (оба перпендикулярны основаниям), то плоскость, проходящая через $A$, $D$, $D_1$, также должна проходить через $A_1$. Таким образом, сечение является четырехугольником $ADD_1A_1$. Поскольку боковые ребра призмы перпендикулярны основаниям, и $AD$ является диагональю основания, то грани $ADD_1A_1$ являются прямоугольниками (это следует из того, что $AA_1 \perp AD$ и $DD_1 \perp AD$). Следовательно, сечение $ADD_1A_1$ - это прямоугольник.

Для нахождения площади этого прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ необходимо определить длины его смежных сторон: $AD$ и $DD_1$.

1. Длина ребра $DD_1$: По условию, все ребра призмы равны $1$. Следовательно, $DD_1 = 1$.

2. Длина отрезка $AD$: Отрезок $AD$ является большой (главной) диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, который лежит в основании призмы. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина главной диагонали, соединяющей противоположные вершины, равна $2a$. Поскольку сторона основания призмы $a = 1$, то длина диагонали $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Площадь прямоугольника $S_{ADD_1A_1}$ вычисляется как произведение длин его смежных сторон: $S_{ADD_1A_1} = AD \cdot DD_1$ Подставим найденные значения: $S_{ADD_1A_1} = 2 \cdot 1 = 2$.

Ответ: 2

31. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a = 1$.

Сечение проходит через середины рёбер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Обозначим середины рёбер $BC$, $EF$ и $B_1C_1$ как $M$, $N$ и $P$ соответственно.

Поскольку все рёбра призмы равны 1, то сторона основания шестиугольника $a = 1$, и высота призмы $h = 1$.

Точки $M$ и $N$ лежат в плоскости нижнего основания $ABCDEF$. Правильный шестиугольник со стороной $a=1$ имеет расстояние между серединами противолежащих сторон, равное $a\sqrt{3}$. Следовательно, длина отрезка $MN = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Точка $P$ лежит в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Сечение проходит через точки $M$, $N$ и $P$.

Отрезок $MP$ соединяет середину ребра $BC$ (точка $M$) с серединой ребра $B_1C_1$ (точка $P$). Так как рёбра $BC$ и $B_1C_1$ параллельны и равны, а точки $M$ и $P$ являются их серединами, отрезок $MP$ параллелен боковым рёбрам призмы ($BB_1$ или $CC_1$) и его длина равна высоте призмы. Таким образом, $MP = h = 1$.

Плоскость сечения, проходящая через $M$, $N$ и $P$, будет пересекать верхнее основание. Поскольку $N$ является серединой ребра $EF$ в нижнем основании, то в верхнем основании эта плоскость пройдёт через середину соответствующего ребра $E_1F_1$. Обозначим эту точку как $Q$.

Аналогично отрезку $MP$, отрезок $NQ$ соединяет середину ребра $EF$ (точка $N$) с серединой ребра $E_1F_1$ (точка $Q$). Следовательно, $NQ$ также параллелен боковым рёбрам призмы и его длина равна $NQ = h = 1$.

В верхнем основании отрезок $PQ$ соединяет середины рёбер $B_1C_1$ и $E_1F_1$. По аналогии с отрезком $MN$ в нижнем основании, длина $PQ = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $MNQP$. У него стороны $MN$ и $PQ$ параллельны и равны $\sqrt{3}$, а стороны $MP$ и $NQ$ параллельны и равны $1$. Поскольку $MP$ и $NQ$ перпендикулярны плоскостям оснований, то они перпендикулярны $MN$ и $PQ$. Следовательно, четырёхугольник $MNQP$ является прямоугольником.

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

$S_{MNQP} = MN \cdot MP = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$.

32. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через середины ребер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех рёбер $a=1$.

Сечение проходит через середины рёбер $AB$, $BC$, и $A_1B_1$.

Перевод в СИ:

Поскольку длина ребра задана числом $1$ без указания единиц, будем использовать $a=1$ в расчетах. Площадь будет выражена в квадратных единицах измерения.

Найти:

1. Описание сечения.

2. Площадь сечения $S$.

Решение

Обозначим середины рёбер $AB$, $BC$ и $A_1B_1$ как $M_1$, $M_2$ и $M_3$ соответственно.

Изобразите сечение

1. Точки $M_1$ и $M_2$ лежат в основании призмы $ABCDEF$. Отрезок $M_1M_2$ является одной из сторон сечения. Поскольку $M_1$ и $M_2$ — середины смежных сторон правильного шестиугольника, отрезок $M_1M_2$ является средней линией треугольника $ABC$. Следовательно, $M_1M_2$ параллелен диагонали $AC$ и его длина равна половине длины этой диагонали.

2. Длина короткой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. В нашем случае $a=1$, поэтому $AC = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$. Таким образом, длина $M_1M_2 = \$ \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \$$.

3. Отрезок $M_1M_3$ соединяет середину ребра $AB$ с серединой ребра $A_1B_1$. Так как $AA_1$ и $BB_1$ являются боковыми рёбрами призмы, параллельными оси призмы и перпендикулярными основаниям, то отрезок $M_1M_3$ также параллелен оси призмы и перпендикулярен плоскостям оснований. Его длина равна высоте призмы, которая в данном случае равна длине ребра $a=1$. То есть, $M_1M_3 = 1$.

4. Проведем из точки $M_2$ отрезок $M_2M_4$, параллельный $M_1M_3$. Так как $M_2M_4$ параллелен $M_1M_3$ и перпендикулярен основанию, точка $M_4$ будет лежать на верхнем основании $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и будет являться серединой ребра $B_1C_1$. Длина отрезка $M_2M_4$ также равна $1$.

5. Отрезок $M_3M_4$ соединяет середины рёбер $A_1B_1$ и $B_1C_1$ верхнего основания. По аналогии с $M_1M_2$, длина $M_3M_4 = \$ \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2} \$$. Также $M_3M_4$ параллелен $A_1C_1$ и, следовательно, параллелен $M_1M_2$.

6. Таким образом, сечение представляет собой четырёхугольник $M_1M_2M_4M_3$. У него стороны $M_1M_2$ и $M_3M_4$ параллельны и равны по длине ($ \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $). Стороны $M_1M_3$ и $M_2M_4$ также параллельны и равны по длине ($1$). Кроме того, поскольку $M_1M_3$ перпендикулярен основанию, содержащему $M_1M_2$, угол между смежными сторонами $M_1M_2$ и $M_1M_3$ равен $90^\circ$. Следовательно, сечение $M_1M_2M_4M_3$ является прямоугольником.

Ответ: Сечение представляет собой прямоугольник с вершинами в серединах рёбер $AB$, $BC$, $B_1C_1$ и $A_1B_1$ (обозначенные как $M_1, M_2, M_4, M_3$ соответственно).

Найдите его площадь

Площадь прямоугольника $S$ вычисляется как произведение длин его смежных сторон.

Длины сторон прямоугольника: $M_1M_2$ и $M_1M_3$.

Мы нашли, что длина $M_1M_2 = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $.

Мы нашли, что длина $M_1M_3 = 1 \$ $.

Следовательно, площадь сечения $S = M_1M_2 \times M_1M_3$.

$S = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \times 1 \$

$S = \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $

Ответ: Площадь сечения составляет $ \$ \frac{\sqrt{3}}{2} \$ $ квадратных единиц.

33. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $A$, $C$ и $D_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. Следовательно, длина стороны основания $a = 1$, и высота призмы $h = AA_1 = BB_1 = \dots = 1$.

Найти

Изобразить сечение, проходящее через вершины A, C и $D_1$.

Площадь этого сечения.

Решение

Рассмотрим сечение, проходящее через вершины A, C и $D_1$.

Так как вершины A и C лежат в одной плоскости (плоскости нижнего основания $ABCDEF$), отрезок AC является одной из сторон сечения.

Вершины C и $D_1$ лежат в одной боковой грани ($CDD_1C_1$), поэтому отрезок $CD_1$ является второй стороной сечения.

Вершины A и $D_1$ являются последними двумя вершинами, образующими сечение, поэтому отрезок $AD_1$ является третьей стороной сечения.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $ACD_1$.

Найдем длины сторон треугольника $ACD_1$:

1. Длина стороны AC: AC является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. В правильном шестиугольнике малая диагональ равна $a\sqrt{3}$.

$AC = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $CD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $CDD_1$. Катеты этого треугольника - это сторона основания CD и боковое ребро $DD_1$.

$CD = a = 1$.

$DD_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора: $CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.

$CD_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $AD_1$: Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Катеты этого треугольника - это большая диагональ основания AD и боковое ребро $DD_1$.

$AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Большая диагональ равна $2a$.

$AD = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

$DD_1 = h = 1$.

По теореме Пифагора: $AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.

$AD_1 = \sqrt{5}$.

Итак, стороны треугольника $ACD_1$ имеют длины $AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $ACD_1$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Поскольку $AC^2 + CD_1^2 = AD_1^2$, треугольник $ACD_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине C ($ \angle ACD_1 = 90^\circ $).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

$S_{ACD_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CD_1$

$S_{ACD_1} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ:

Сечение представляет собой прямоугольный треугольник $ACD_1$ с катетами $AC = \sqrt{3}$ и $CD_1 = \sqrt{2}$. Площадь сечения равна $S = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

34. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $B$, $D$ и $E_1$. Найдите его площадь.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$; длина всех ребер равна 1 (сторона основания $a=1$, высота призмы $h=1$). Сечение проходит через вершины $B$, $D$ и $E_1$.

Перевод в СИ: Поскольку в условии задачи не указаны единицы измерения, все линейные размеры будут выражаться в условных единицах длины, а площадь - в условных квадратных единицах. Перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

1. Изобразить сечение.
2. Площадь сечения.

Решение

Изобразите сечение

Сечение, проходящее через три заданные точки $B$, $D$ и $E_1$, является треугольником $BDE_1$. Для построения этого сечения необходимо соединить эти вершины отрезками:

• Отрезок $BD$ лежит в плоскости нижнего основания призмы $ABCDEF$.
• Отрезок $DE_1$ соединяет вершину нижнего основания $D$ с вершиной верхнего основания $E_1$.
• Отрезок $BE_1$ соединяет вершину нижнего основания $B$ с вершиной верхнего основания $E_1$.

Таким образом, сечение представляет собой треугольник $BDE_1$.

Ответ: Сечение представляет собой треугольник $BDE_1$.

Найдите его площадь

Для нахождения площади треугольника $BDE_1$ вычислим длины его сторон.

1. Длина стороны $BD$. Вершины $B$ и $D$ находятся в основании призмы. $BD$ является малой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина малой диагонали правильного шестиугольника равна $a\sqrt{3}$.
$BD = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $DE_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $DDE_1$. Катеты этого треугольника: $DD_1$ (высота призмы) и $DE$ (сторона основания).
$DD_1 = h = 1$.
$DE = a = 1$.
По теореме Пифагора:
$DE_1^2 = DD_1^2 + DE^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.
$DE_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BE_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Катеты этого треугольника: $EE_1$ (высота призмы) и $BE$ (диагональ основания).
$EE_1 = h = 1$.
$BE$ является большой диагональю правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна $2a$.
$BE = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.
По теореме Пифагора:
$BE_1^2 = EE_1^2 + BE^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$.
$BE_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $BDE_1$ равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BDE_1$ прямоугольным. Для этого применим обратную теорему Пифагора:
$BD^2 + DE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.
Поскольку $BD^2 + DE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BDE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$.

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов:
$S_{BDE_1} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot DE_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ

Площадь сечения составляет $\frac{\sqrt{6}}{2}$ квадратных единиц.

35. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $C$, $E$ и $F_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны $1$.

Сечение проходит через вершины $C$, $E$ и $F_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра основания призмы $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Изобразить сечение (описать его).

Площадь сечения $S_{CEF_1}$.

Решение:

Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины C, E и F₁.

Для построения сечения, соединим заданные вершины. Вершины $C$ и $E$ лежат в нижней грани $ABCDEF$. Соединим их отрезком $CE$. Вершина $F_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Соединим $E$ и $F_1$ отрезком $EF_1$. Соединим $C$ и $F_1$ отрезком $CF_1$. Полученный треугольник $CEF_1$ является искомым сечением.

Ответ: Искомое сечение представляет собой треугольник $CEF_1$.

Найдите его площадь.

Для нахождения площади треугольника $CEF_1$, вычислим длины его сторон. Все ребра призмы равны $1$, т.е. длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

1. Длина стороны $CE$:

Отрезок $CE$ является диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, соединяющей вершины через одну. Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

$CE = a\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$ м.

2. Длина стороны $EF_1$:

Отрезок $EF_1$ является диагональю грани $EFF_1E_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $EFF_1$. Катет $EF$ является стороной основания призмы, $EF = a = 1$. Катет $FF_1$ является высотой призмы, $FF_1 = h = 1$. Тогда по теореме Пифагора:

$EF_1 = \sqrt{EF^2 + FF_1^2} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$ м.

3. Длина стороны $CF_1$:

Отрезок $CF_1$ является диагональю, соединяющей вершину нижней грани с вершиной верхней грани. Рассмотрим прямоугольный треугольник $CFF_1$. Катет $FF_1$ является высотой призмы, $FF_1 = h = 1$. Катет $CF$ является длинной диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$, проходящей через центр. Длина такой диагонали равна $2a$.

$CF = 2a = 2 \cdot 1 = 2$ м.

Тогда по теореме Пифагора:

$CF_1 = \sqrt{CF^2 + FF_1^2} = \sqrt{(2a)^2 + h^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$ м.

Таким образом, стороны треугольника $CEF_1$ равны $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ и $\sqrt{5}$.

Для нахождения площади треугольника можно использовать формулу площади через векторное произведение. Разместим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижней грани находится в начале координат $(0,0,0)$.

Координаты вершин шестиугольника со стороной $a=1$ в плоскости $z=0$ (нижняя грань):

$A=(1,0,0)$

$B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C=(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D=(-1,0,0)$

$E=(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхней грани ($z=h=1$):

$F_1=(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вершины сечения: $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем векторы, образующие две стороны треугольника, например $\vec{CE}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{CE} = E - C = (-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (0, -\sqrt{3}, 0)$

$\vec{CF_1} = F_1 - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (1, -\sqrt{3}, 1)$

Площадь треугольника $S$ равна половине модуля векторного произведения этих векторов:

$S = \frac{1}{2} |\vec{CE} \times \vec{CF_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{CE} \times \vec{CF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -\sqrt{3} & 0 \\ 1 & -\sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-\sqrt{3})(1) - (0)(-\sqrt{3})) - \mathbf{j}((0)(1) - (0)(1)) + \mathbf{k}((0)(-\sqrt{3}) - (-\sqrt{3})(1))$

$= \mathbf{i}(-\sqrt{3}) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(\sqrt{3}) = (-\sqrt{3}, 0, \sqrt{3})$

Модуль векторного произведения:

$|\vec{CE} \times \vec{CF_1}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 0 + 3} = \sqrt{6}$

Площадь треугольника $CEF_1$:

$S_{CEF_1} = \frac{1}{2} \sqrt{6} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ м$^2$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

36. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $D$, $F$ и $A_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1, то есть длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Сечение проходит через вершины $D$, $F$ и $A_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Высота призмы $h = 1$ (условная единица).

(Единицы измерения не указаны, поэтому расчет ведется в условных единицах).

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изобразите сечение:

Сечение проходит через три вершины: $D$, $F$ (лежащие в нижнем основании) и $A_1$ (лежащая в верхнем основании). Поскольку эти три точки не лежат на одной прямой, они однозначно определяют плоскость. Следовательно, сечением является треугольник $DFA_1$.

Ответ: Сечением является треугольник $DFA_1$.

Найдите его площадь:

Для нахождения площади треугольника $DFA_1$ необходимо вычислить длины его сторон.

1. Длина стороны $DF$:

Вершины $D$ и $F$ лежат в основании правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной $a=1$. Отрезок $DF$ является малой диагональю этого шестиугольника. Длина малой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$.

Следовательно, $DF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $FA_1$:

Рассмотрим прямоугольник $AFF_1A_1$, который является боковой гранью призмы. Сторона $AF$ является стороной основания, поэтому $AF=1$. Сторона $FF_1$ является высотой призмы, поэтому $FF_1=1$. Отрезок $FA_1$ является диагональю этого прямоугольника.

По теореме Пифагора для $\triangle AFF_1A_1$ (или $\triangle FFA_1$): $FA_1 = \sqrt{AF^2 + FF_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $DA_1$:

Рассмотрим прямоугольник $AA_1D_1D$. Сторона $AD$ является большой диагональю основания правильного шестиугольника со стороной $a=1$. Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$.

Следовательно, $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

Сторона $AA_1$ является высотой призмы, $AA_1=1$. Отрезок $DA_1$ является диагональю этого прямоугольника.

По теореме Пифагора для $\triangle ADA_1$: $DA_1 = \sqrt{AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4+1} = \sqrt{5}$.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника $DFA_1$: $DF = \sqrt{3}$, $FA_1 = \sqrt{2}$, $DA_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора:

$DF^2 + FA_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.

$DA_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.

Так как $DF^2 + FA_1^2 = DA_1^2$, треугольник $DFA_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $F$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин катетов.

$S_{DFA_1} = \frac{1}{2} \cdot DF \cdot FA_1 = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{6}}{2}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

37. Изобразите сечение правильной шестиугольной призмы $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, проходящее через вершины $E, A$ и $B_1$. Найдите его площадь.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны $a = 1$. (Это означает, что сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$).

Сечение проходит через вершины $E, A, B_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ м.

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Площадь сечения.

Решение:

Изображение сечения

1. Вершины $A$ и $E$ лежат в нижней грани $ABCDEF$. Следовательно, отрезок $AE$ является одной из сторон сечения. Длина этого отрезка (короткая диагональ правильного шестиугольника со стороной $a$) равна $AE = a\sqrt{3}$. Так как $a=1$, то $AE = \sqrt{3}$.

2. Вершина $B_1$ лежит в верхней грани $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Поскольку нижняя и верхняя грани призмы параллельны, линии пересечения плоскости сечения с этими гранями также должны быть параллельны. Это означает, что в верхней грани сечение будет содержать отрезок, параллельный $AE$ и проходящий через $B_1$.

3. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $AE$ параллельна диагонали $BD$. Так как $BB_1$ и $DD_1$ являются параллельными боковыми ребрами призмы, то четырехугольник $BDD_1B_1$ является прямоугольником (или параллелограммом в общем случае), и его противоположные стороны $BD$ и $B_1D_1$ параллельны. Следовательно, $AE \parallel BD \parallel B_1D_1$.

4. Так как $AE$ и $B_1D_1$ параллельны и имеют одинаковую длину (обе являются короткими диагоналями шестиугольника со стороной $a=1$, поэтому их длина $\sqrt{3}$), то четырехугольник $A E D_1 B_1$ является параллелограммом. Это и есть искомое сечение.

Вычисление площади сечения

1. Сечение представляет собой параллелограмм $AED_1B_1$. Для вычисления его площади нам понадобятся длины двух смежных сторон и угол между ними, или же мы можем использовать метод векторного произведения.

2. Длины сторон параллелограмма:

• Сторона $AE = \sqrt{3}$ (уже вычислено).

• Сторона $AB_1$: это диагональ боковой грани $ABB_1A_1$. Боковая грань является прямоугольником со сторонами $AB=a=1$ (ребро основания) и $BB_1=h=1$ (высота призмы). По теореме Пифагора, $AB_1 = \sqrt{AB^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

3. Вычислим площадь параллелограмма с помощью векторного произведения векторов, соответствующих смежным сторонам. Для этого введем систему координат.

Пусть центр нижнего основания находится в точке $(0,0,0)$. Вершины правильного шестиугольника со стороной $a=1$ можно задать координатами:

• $A = (1, 0, 0)$

• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (координаты $B$ с добавленной высотой $h=1$)

4. Найдем векторы, соответствующие смежным сторонам параллелограмма $AED_1B_1$:

• Вектор $\vec{AE} = E - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

• Вектор $\vec{AB_1} = B_1 - A = (1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

5. Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения этих векторов:

$S = |\vec{AE} \times \vec{AB_1}|$

Вычислим векторное произведение:

$\vec{AE} \times \vec{AB_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot (\sqrt{3}/2) \right) - \mathbf{j} \left( (-3/2) \cdot 1 - 0 \cdot (-1/2) \right) + \mathbf{k} \left( (-3/2) \cdot (\sqrt{3}/2) - (-\sqrt{3}/2) \cdot (-1/2) \right)$

$= \mathbf{i} (-\sqrt{3}/2) - \mathbf{j} (-3/2) + \mathbf{k} (-3\sqrt{3}/4 - \sqrt{3}/4)$

$= (-\sqrt{3}/2)\mathbf{i} + (3/2)\mathbf{j} - \sqrt{3}\mathbf{k}$

Модуль этого вектора:

$S = \sqrt{(-\sqrt{3}/2)^2 + (3/2)^2 + (-\sqrt{3})^2}$

$S = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3}$

$S = \sqrt{\frac{12}{4} + 3}$

$S = \sqrt{3 + 3}$

$S = \sqrt{6}$

Ответ:

Сечение является параллелограммом $AED_1B_1$. Его площадь равна $\sqrt{6}$.