Страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFA_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFA_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим начало координат в центре нижнего основания призмы, точке $O$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$ нижнего основания. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.

Поскольку призма правильная и длина всех ребер равна 1, сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (a \cdot \cos(120^\circ), a \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (a \cdot \cos(180^\circ), a \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (a \cdot \cos(240^\circ), a \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (a \cdot \cos(300^\circ), a \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Вершина $A_1$ находится над $A$ на высоте $h=1$, поэтому $A_1 = (1, 0, 1)$.

Таким образом, имеем:

• Точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• Точки, определяющие плоскость $DFA_1$: $D = (-1, 0, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$, $A_1 = (1, 0, 1)$

Найдем уравнение плоскости $DFA_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

• $\vec{DF} = F - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $\vec{DA_1} = A_1 - D = (1 - (-1), 0 - 0, 1 - 0) = (2, 0, 1)$

Вектор нормали к плоскости $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{DF}$ и $\vec{DA_1}$. Найдем его как векторное произведение:

$ \vec{n} = \vec{DF} \times \vec{DA_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix} $

$ \vec{n} = \mathbf{i}((-\sqrt{3}/2) \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}((3/2) \cdot 1 - 0 \cdot 2) + \mathbf{k}((3/2) \cdot 0 - (-\sqrt{3}/2) \cdot 2) $

$ \vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} - \frac{3}{2}\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k} $

Вектор нормали $\vec{n} = (-\sqrt{3}/2, -3/2, \sqrt{3})$. Для упрощения вычислений, умножим его на -2:

$ \vec{n}' = (\sqrt{3}, 3, -2\sqrt{3}) $

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя $\vec{n}'$, получим:

$ \sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + D_{plane} = 0 $

Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D_{plane}$:

$ \sqrt{3}(-1) + 3(0) - 2\sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0 $

$ -\sqrt{3} + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = \sqrt{3} $

Уравнение плоскости $DFA_1$: $ \sqrt{3}x + 3y - 2\sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0 $.

Для удобства можно разделить все члены уравнения на $\sqrt{3}$:

$ x + \sqrt{3}y - 2z + 1 = 0 $

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, используя формулу расстояния от точки до плоскости:

$ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} $

Здесь $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=-2$, $D=1$.

$ d = \frac{|1 \cdot (1/2) + \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3}/2) + (-2) \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-2)^2}} $

$ d = \frac{|1/2 + 3/2 + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 4}} $

$ d = \frac{|4/2 + 1|}{\sqrt{8}} $

$ d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{8}} $

$ d = \frac{3}{\sqrt{8}} $

Упростим знаменатель: $ \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2} $

$ d = \frac{3}{2\sqrt{2}} $

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$ d = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{3\sqrt{2}}{4} $

Ответ: $ \frac{3\sqrt{2}}{4} $

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFB_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $OX$ направим вдоль диагонали $AD$. Тогда координаты вершин нижнего основания правильной шестиугольной призмы (сторона шестиугольника равна $1$, радиус описанной окружности также равен $1$) будут:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы также равна $1$ (так как все ребра равны $1$), поэтому координаты точки $B_1$ будут:

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $DFB_1$. Точки, лежащие в плоскости $DFB_1$, это $D = (-1, 0, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $DFB_1$:

$\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{FB_1} = B_1 - F = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, \sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DFB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{FD} \times \vec{FB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-3/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-3/2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}/2 \cdot 0)$
$\vec{n} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -3\sqrt{3}/2)$

Для упрощения вычислений, умножим нормальный вектор на $2/\sqrt{3}$:

$\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, -3)$

Уравнение плоскости $DFB_1$ имеет общий вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя нормальный вектор $\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, -3)$, получаем $x + \sqrt{3}y - 3z + D_{plane} = 0$. Подставим координаты одной из точек, лежащих в плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$, в уравнение плоскости:

$1(-1) + \sqrt{3}(0) - 3(0) + D_{plane} = 0$
$-1 + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = 1$

Таким образом, уравнение плоскости $DFB_1$ есть $x + \sqrt{3}y - 3z + 1 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $B(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и плоскости $x + \sqrt{3}y - 3z + 1 = 0$ имеем: $A=1, B=\sqrt{3}, C=-3, D_{plane}=1$. $x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0$.

$d = \frac{|1(1/2) + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - 3(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-3)^2}}$
$d = \frac{|1/2 + 3/2 - 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 9}}$
$d = \frac{|4/2 + 1|}{\sqrt{13}}$
$d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{13}}$
$d = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:

$d = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

Ответ:

$\frac{3\sqrt{13}}{13}$

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFE_1$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости $CFE_1$, то есть $d(B, CFE_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная шестиугольная и длина ребра основания $a=1$, то радиус описанной окружности основания также равен $1$. Высота призмы равна $1$, поскольку все ребра призмы равны $1$.

Определим координаты вершин призмы. Удобно расположить вершины нижнего основания $ABCDEF$ в плоскости $z=0$, а соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в плоскости $z=1$.

Координаты вершин нижнего основания для $a=1$ (при условии, что A лежит на оси X):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты точки $E_1$ верхнего основания (так как $E_1$ лежит над $E$ на высоте 1):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Таким образом, нам нужны координаты следующих точек:

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $CFE_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек $C$, $F$, $E_1$ в уравнение плоскости:

Для точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$: $A(-1/2) + B(\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow -\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} + D = 0 \quad (1)$

Для точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$: $A(1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow \frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + D = 0 \quad (2)$

Для точки $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$: $A(-1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(1) + D = 0 \Rightarrow -\frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + C + D = 0 \quad (3)$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(-\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} + D) + (\frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + D) = 0 \Rightarrow 2D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Подставим $D=0$ в уравнение (1):

$-\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow A = B\sqrt{3}$.

Подставим $D=0$ и $A = B\sqrt{3}$ в уравнение (3):

$-\frac{B\sqrt{3}}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + C = 0 \Rightarrow -B\sqrt{3} + C = 0 \Rightarrow C = B\sqrt{3}$.

Для удобства выберем $B=1$. Тогда $A = \sqrt{3}$ и $C = \sqrt{3}$.

Уравнение плоскости $CFE_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения:

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0|}{\sqrt{3 + 1 + 3}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADE_1$.

25. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны 1.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADE_1$.

Решение:

Введём прямоугольную систему координат. Пусть центр основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, и все её рёбра равны 1, то сторона основания $a=1$, и высота призмы $h=1$.

Вершины правильного шестиугольника в основании (лежащего в плоскости $z=0$) имеют следующие координаты (если точка $A$ лежит на оси $Ox$):

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Соответствующие вершины верхнего основания (лежащего в плоскости $z=1$) имеют координаты:

• $A_1 = (1, 0, 1)$
• $D_1 = (-1, 0, 1)$
• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Для определения уравнения плоскости $ADE_1$ возьмём три точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Составим векторы, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AD} = D - A = (-1-1, 0-0, 0-0) = (-2, 0, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-\frac{1}{2}-1, -\frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ADE_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AD} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n} = 0 \cdot \mathbf{i} - (-2) \cdot \mathbf{j} + (\sqrt{3}) \cdot \mathbf{k} = (0, 2, \sqrt{3})$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax+By+Cz+D=0$. Используя координаты вектора нормали $\vec{n}=(0, 2, \sqrt{3})$, получаем:

$0x + 2y + \sqrt{3}z + D = 0$

Чтобы найти $D$, подставим координаты одной из точек, например, $A(1,0,0)$:

$0(1) + 2(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow D = 0$

Таким образом, уравнение плоскости $ADE_1$ имеет вид:

$2y + \sqrt{3}z = 0$

Теперь найдём расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $2y + \sqrt{3}z = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax+By+Cz+D=0$ выглядит так:

$d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

В нашем случае $A=0, B=2, C=\sqrt{3}, D=0$ и $x_0=\frac{1}{2}, y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}, z_0=0$:

$d = \frac{|0 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} \cdot 0 + 0|}{\sqrt{0^2+2^2+(\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4+3}}$

$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:

$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:

$\frac{\sqrt{21}}{7}$

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны $a = 1$.

Перевод в СИ:

Поскольку все рёбра выражены в безразмерных единицах (или условных единицах длины), перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, её основание является правильным шестиугольником. Длина стороны шестиугольника равна $a=1$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны.

Расположим вершину $A$ на положительной оси $Ox$. Тогда её координаты будут $A(1,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника расположены под углом $60^\circ$ друг к другу относительно центра. Координаты вершины $B$ определяются поворотом $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки в плоскости $Oxy$:

$B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$ определяются поворотом $A$ на $120^\circ$ против часовой стрелки в плоскости $Oxy$:

$C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Высота призмы равна длине её бокового ребра, которое также равно $1$. Таким образом, вершины верхнего основания имеют $z$-координату $1$.

Координаты вершины $D$ нижнего основания:

$D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = D(-1, 0, 0)$.

Координаты вершины $D_1$ верхнего основания:

$D_1(-1, 0, 1)$.

Итого, имеем следующие координаты точек:

$A(1, 0, 0)$

$C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D_1(-1, 0, 1)$

$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем уравнение плоскости $ACD_1$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Вектор $\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2))$

$\vec{n} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k}$.

Для удобства можем умножить компоненты нормального вектора на $\frac{2}{\sqrt{3}}$, чтобы получить более простые целые числа:

$\vec{n}' = (1, \sqrt{3}, 2)$.

Теперь, используя нормальный вектор $\vec{n}'=(1, \sqrt{3}, 2)$ и точку $A(1,0,0)$ (или $C$, или $D_1$), запишем уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + \sqrt{3} \cdot (y - 0) + 2 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1 + \sqrt{3}y + 2z = 0$

$x + \sqrt{3}y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $B(x_0, y_0, z_0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A=1, B=\sqrt{3}, C=2, D=-1$.

Формула расстояния: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot (\frac{1}{2}) + \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2}}$

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 - 1|}{\sqrt{1 + 3 + 4}}$

$d = \frac{|\frac{4}{2} - 1|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны $1$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Перевод в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах, которые являются когерентными для проведения вычислений. Если бы была указана конкретная единица длины (например, метры), то все измерения были бы уже в СИ.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFE_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат.

Расположим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $OO_1$ (где $O_1$ - центр верхнего основания). Для удобства вычислений, расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Так как призма правильная, а все ее ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Координаты вершин правильного шестиугольника с центром в начале координат и стороной $a=1$ в плоскости $z=0$:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $D = (-1, 0, 0)$
• $E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
• $F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (с $z=1$):

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$, $F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем уравнение плоскости $DFE_1$. Для этого определим два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{DF} = F - D = (\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}=(A, B, C)$ к плоскости можно найти как векторное произведение $\vec{DF} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \vec{i} \left( (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \right) - \vec{j} \left( \frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2} \right) + \vec{k} \left( \frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot \frac{1}{2} \right)$

$\vec{n} = -\frac{\sqrt{3}}{2}\vec{i} - \frac{3}{2}\vec{j} + (-\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4})\vec{k}$

$\vec{n} = (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для упрощения коэффициентов, умножим вектор нормали на $-2$: $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя $\vec{n'}$, получаем $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + D_{plane} = 0$.

Подставим координаты точки $D(-1, 0, 0)$ в уравнение плоскости, чтобы найти $D_{plane}$:

$\sqrt{3}(-1) + 3(0) + \sqrt{3}(0) + D_{plane} = 0$

$-\sqrt{3} + D_{plane} = 0 \Rightarrow D_{plane} = \sqrt{3}$.

Таким образом, уравнение плоскости $DFE_1$ есть $\sqrt{3}x + 3y + \sqrt{3}z + \sqrt{3} = 0$.

Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для получения более простого вида: $x + \sqrt{3}y + z + 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$, используя формулу:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D_{plane}|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае $A=1$, $B=\sqrt{3}$, $C=1$, $D_{plane}=1$.

$d = \frac{|1 \cdot \frac{1}{2} + \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot 0 + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$

$d = \frac{|\frac{4}{2} + 1|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{5}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

Ответ:

$d = \frac{3\sqrt{5}}{5}$

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна $1$. То есть, $AB = BC = \dots = FA = 1$ и $AA_1 = BB_1 = \dots = FF_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$.

Решение:

Введем систему координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0,0,0)$. Поскольку призма правильная, и все ее ребра равны $1$, радиус описанной окружности около правильного шестиугольника равен его стороне. Таким образом, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = 1$.

Координаты вершин нижнего основания ($z=0$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы также равна $1$, поэтому координаты вершин верхнего основания ($z=1$):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Для определения уравнения плоскости $ACE_1$ используем точки $A(1, 0, 0)$, $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащие в этой плоскости:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$\vec{AE_1} = E_1 - A = (-1/2 - 1, -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (-3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ACE_1$ находится как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AE_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ -3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-\frac{3}{2}))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2}) + \mathbf{k}(\frac{3\sqrt{3}}{4} + \frac{3\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{6\sqrt{3}}{4}) = (\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем умножить вектор нормали на $2$, получим $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя $\vec{n'} = (\sqrt{3}, 3, 3\sqrt{3})$, получаем:

$\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1, 0, 0)$ в уравнение плоскости для нахождения $D$:

$\sqrt{3}(1) + 3(0) + 3\sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow \sqrt{3} + D = 0 \Rightarrow D = -\sqrt{3}$

Таким образом, уравнение плоскости $ACE_1$ есть $\sqrt{3}x + 3y + 3\sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Разделим все коэффициенты на $\sqrt{3}$ для упрощения: $x + \sqrt{3}y + 3z - 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $x + \sqrt{3}y + 3z - 1 = 0$.

Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения: $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и $A=1, B=\sqrt{3}, C=3, D=-1$.

$d = \frac{|1(1/2) + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + 3(0) - 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 3^2}}$

$d = \frac{|1/2 + 3/2 + 0 - 1|}{\sqrt{1 + 3 + 9}}$

$d = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{13}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{13}}$

Избавляемся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{13}} \cdot \frac{\sqrt{13}}{\sqrt{13}} = \frac{\sqrt{13}}{13}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACE_1$ составляет $\frac{\sqrt{13}}{13}$.

38. В правильной шестиугольной призме $ABCD EFA_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Все ребра равны 1.

Перевод в систему СИ: Данные представлены в безразмерных единицах (условных единицах длины), поэтому перевод в систему СИ не требуется. Длина стороны основания $a = 1$ (у.е.), высота призмы $H = 1$ (у.е.).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.

Решение

1. Выберем систему координат.
Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль $OA$, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.
Поскольку призма правильная, и все её рёбра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы $H=1$.
Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ со стороной $a=1$ и центром в начале координат $(0,0,0)$:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (a \cos(60^\circ), a \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$E = (a \cos(240^\circ), a \sin(240^\circ), 0) = (1 \cdot (-\frac{1}{2}), 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
Координаты вершины $F_1$ верхнего основания (с $z$-координатой $H=1$):
$F_1 = (a \cos(300^\circ), a \sin(300^\circ), 1) = (1 \cdot \frac{1}{2}, 1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}), 1) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

2. Найдем уравнение плоскости $AEF_1$.
Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D' = 0$.
Подставим координаты точек $A(1,0,0)$, $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ в уравнение плоскости:
Для точки $A(1,0,0)$: $A(1) + B(0) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow A + D' = 0 \Rightarrow A = -D'$.
Для точки $E(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$: $A(-\frac{1}{2}) + B(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C(0) + D' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0$.
Подставим $A = -D'$: $-\frac{1}{2}(-D') - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}D' - \frac{\sqrt{3}}{2}B + D' = 0 \Rightarrow \frac{3}{2}D' - \frac{\sqrt{3}}{2}B = 0$.
Умножим на 2: $3D' - \sqrt{3}B = 0 \Rightarrow \sqrt{3}B = 3D' \Rightarrow B = \frac{3}{\sqrt{3}}D' = \sqrt{3}D'$.
Для точки $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$: $A(\frac{1}{2}) + B(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + C(1) + D' = 0 \Rightarrow \frac{1}{2}A - \frac{\sqrt{3}}{2}B + C + D' = 0$.
Подставим $A = -D'$ и $B = \sqrt{3}D'$: $\frac{1}{2}(-D') - \frac{\sqrt{3}}{2}(\sqrt{3}D') + C + D' = 0 \Rightarrow -\frac{1}{2}D' - \frac{3}{2}D' + C + D' = 0 \Rightarrow -2D' + C + D' = 0 \Rightarrow -D' + C = 0 \Rightarrow C = D'$.
Таким образом, коэффициенты плоскости выражаются через $D'$: $A = -D'$, $B = \sqrt{3}D'$, $C = D'$.
Выберем $D'=1$ для простоты. Тогда $A=-1, B=\sqrt{3}, C=1$.
Уравнение плоскости $AEF_1$: $-x + \sqrt{3}y + z + 1 = 0$.

3. Вычислим расстояние от точки $B$ до плоскости $AEF_1$.
Точка $B$ имеет координаты $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
Подставим координаты точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и коэффициенты плоскости $A=-1, B=\sqrt{3}, C=1, D=1$:
$d = \frac{|(-1)(\frac{1}{2}) + (\sqrt{3})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (1)(0) + 1|}{\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2 + (1)^2}}$
$d = \frac{|-\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 1}}$
$d = \frac{|\frac{2}{2} + 1|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{|1 + 1|}{\sqrt{5}}$
$d = \frac{2}{\sqrt{5}}$
Для рационализации знаменателя, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:
$d = \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CED_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра призмы равны 1.

Пояснение: это означает, что длина стороны основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $CED_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом.

1. Ввод системы координат

Разместим центр нижнего основания призмы в начале координат $O(0, 0, 0)$.

Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oy$ направим так, чтобы она была перпендикулярна $Ox$ и лежала в плоскости основания. Ось $Oz$ направим вверх вдоль высоты призмы.

Так как призма правильная шестиугольная и сторона основания $a=1$, координаты вершин нижнего основания будут:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

$E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Поскольку высота призмы $h=1$, координаты вершин верхнего основания получаются добавлением 1 к z-координате соответствующих вершин нижнего основания:

$D_1 = (-1, 0, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

2. Нахождение уравнения плоскости $CED_1$

Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Подставим координаты точек $C$, $E$, $D_1$ в это уравнение:

Для точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$:

$A(-1/2) + B(\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \implies -A/2 + B\sqrt{3}/2 + D = 0 \quad (1)$

Для точки $E(-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$:

$A(-1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \implies -A/2 - B\sqrt{3}/2 + D = 0 \quad (2)$

Для точки $D_1(-1, 0, 1)$:

$A(-1) + B(0) + C(1) + D = 0 \implies -A + C + D = 0 \quad (3)$

Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):

$(-A/2 + B\sqrt{3}/2 + D) - (-A/2 - B\sqrt{3}/2 + D) = 0$

$B\sqrt{3} = 0 \implies B = 0$.

Подставим $B=0$ в уравнение (1):

$-A/2 + D = 0 \implies A = 2D$.

Подставим $B=0$ и $A=2D$ в уравнение (3):

$-(2D) + C + D = 0 \implies -D + C = 0 \implies C = D$.

Таким образом, коэффициенты плоскости пропорциональны $A=2D, B=0, C=D$.

Для удобства выберем $D=2$. Тогда $A=4, B=0, C=2$.

Уравнение плоскости $CED_1$ будет $4x + 0y + 2z + 2 = 0$, что упрощается до $2x + z + 1 = 0$.

3. Вычисление расстояния от точки до плоскости

Расстояние $d$ от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае, точка $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, и уравнение плоскости $2x + 0y + 1z + 1 = 0$.

Здесь $A=2, B=0, C=1, D=1$. А $x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0$.

Подставим значения в формулу:

$d = \frac{|2(1/2) + 0(\sqrt{3}/2) + 1(0) + 1|}{\sqrt{2^2 + 0^2 + 1^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 1|}{\sqrt{4 + 0 + 1}}$

$d = \frac{|2|}{\sqrt{5}}$

$d = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $d = \frac{2\sqrt{5}}{5}$.

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $CA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $a=1$ (ед. длины).

Прямые $AB_1$ и $CA_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим по $AB$, ось $Oy$ по $AD$, ось $Oz$ по $AA_1$.

Координаты вершин куба: $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

Прямая $AB_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $B_1(1,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{u} = \vec{AB_1} = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Прямая $CA_1$ проходит через точки $C(1,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v} = \vec{CA_1} = (0-1, 0-1, 1-0) = (-1,-1,1)$.

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $L_1: P_1 + t\vec{u}$ и $L_2: P_2 + s\vec{v}$ используем формулу:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{|\vec{u} \times \vec{v}|}$

Выберем точки на прямых: $P_1 = A = (0,0,0)$ и $P_2 = C = (1,1,0)$.

Вектор $\vec{P_1P_2} = \vec{C} - \vec{A} = (1,1,0) - (0,0,0) = (1,1,0)$.

Найдем векторное произведение направляющих векторов $\vec{u} \times \vec{v}$:

$\vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) - \vec{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot (-1))$

$\vec{u} \times \vec{v} = (1, -2, -1)$.

Вычислим скалярное произведение $(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{u} \times \vec{v})$:

$(1,1,0) \cdot (1,-2,-1) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-1) = 1 - 2 + 0 = -1$.

Вычислим модуль векторного произведения $|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$d = \frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$.

Ответ:

Расстояние между прямыми $AB_1$ и $CA_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Дано: единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
длина ребра куба $a = 1$.
Прямые: $AB$ и $DB_1$.

Найти: расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$.

Решение:
Будем использовать метод координат. Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, ребро $AB$ лежало вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$.
Тогда координаты вершин куба будут:
$A=(0,0,0)$
$B=(1,0,0)$
$D=(0,1,0)$
$B_1=(1,0,1)$

Определим прямую $AB$:
Точка на прямой $AB$: $M_1 = A = (0,0,0)$.
Направляющий вектор прямой $AB$: $\vec{v_1} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Определим прямую $DB_1$:
Точка на прямой $DB_1$: $M_2 = D = (0,1,0)$.
Направляющий вектор прямой $DB_1$: $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = B_1 - D = (1-0, 0-1, 1-0) = (1,-1,1)$.

Прямые $AB$ и $DB_1$ являются скрещивающимися, так как они не параллельны ($\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ не коллинеарны) и не пересекаются (они лежат в разных плоскостях и не имеют общей точки).
Расстояние между скрещивающимися прямыми $L_1$ (проходящей через $M_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$) и $L_2$ (проходящей через $M_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$) можно найти по формуле:
$d = \frac{|(\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

1. Найдем вектор $\vec{M_1M_2}$, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой:
$\vec{M_1M_2} = \vec{AD} = D - A = (0,1,0)$.

2. Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:
$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1)$
$= (0, -1, -1)$.

3. Найдем модуль (длину) векторного произведения:
$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

4. Вычислим смешанное произведение (скалярное произведение вектора $\vec{M_1M_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$):
$\vec{M_1M_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,1,0) \cdot (0,-1,-1) = 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-1) = -1$.

5. Подставим полученные значения в формулу для расстояния:
$d = \frac{|-1|}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Расстояние между прямыми $AB$ и $DB_1$ равно $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{2}}{2}$

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длины ребер куба $a = 1$ (единица длины).

Прямые $BA_1$ и $CB_1$.

Перевод данных в систему СИ:

Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$ (абстрактная единица длины, не требующая конкретного перевода в метры или другие единицы СИ для решения данной задачи).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми воспользуемся координатным методом.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$. Ребро $AB$ направим вдоль оси $Ox$, ребро $AD$ вдоль оси $Oy$, а ребро $AA_1$ вдоль оси $Oz$. Поскольку куб единичный, длина его ребра $a = 1$.

Координаты вершин куба: $A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

Рассмотрим прямую $BA_1$. Она проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{A_1B} = B - A_1 = (1-0, 0-0, 0-1) = (1, 0, -1)$.

Возьмем точку $P_1 = B = (1,0,0)$ на прямой $BA_1$.

Рассмотрим прямую $CB_1$. Она проходит через точки $C(1,1,0)$ и $B_1(1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $CB_1$: $\vec{v_2} = \vec{B_1C} = C - B_1 = (1-1, 1-0, 0-1) = (0, 1, -1)$.

Возьмем точку $P_2 = C = (1,1,0)$ на прямой $CB_1$.

Вектор, соединяющий точки на двух прямых: $\vec{P_1P_2} = \vec{BC} = C - B = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$.

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, заданными точками $P_1, P_2$ и направляющими векторами $\vec{v_1}, \vec{v_2}$, определяется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \det \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot (-1) - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0)$

$= \mathbf{i}(0 + 1) - \mathbf{j}(-1 - 0) + \mathbf{k}(1 - 0) = (1, 1, 1)$

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, 1, 0) \cdot (1, 1, 1) = 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1$.

Вычислим модуль векторного произведения $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (знаменатель формулы):

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(1, 1, 1)\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим полученные значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $CB_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

мыми $BA_1$ и $CD_1$;

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC$.

5. В

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC$.

Решение

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми используем метод координат.

1. Введение системы координат:

Поместим начало координат в точку $A$. Оси координат направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$.

Так как куб единичный, длина его ребра $a=1$. Тогда координаты вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$, $B = (1,0,0)$, $C = (1,1,0)$, $D = (0,1,0)$, $A_1 = (0,0,1)$, $B_1 = (1,0,1)$, $C_1 = (1,1,1)$, $D_1 = (0,1,1)$.

2. Определение векторов для прямых:

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Прямая $AC$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $C(1,1,0)$. Направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AC} = C - A = (1-0, 1-0, 0-0) = (1, 1, 0)$.

3. Вычисление смешанного произведения:

Расстояние $d$ между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}))|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Выберем точку $P_1$ на прямой $BA_1$ как $A_1(0,0,1)$ и точку $P_2$ на прямой $AC$ как $A(0,0,0)$.

Вектор, соединяющий эти точки: $\vec{P_1P_2} = \vec{A_1A} = A - A_1 = (0-0, 0-0, 0-1) = (0,0,-1)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-1, 0, 1) \times (1, 1, 0) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}((-1) \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \mathbf{k}((-1) \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$= \mathbf{i}(0-1) - \mathbf{j}(0-1) + \mathbf{k}(-1-0) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-1, 1, -1)$.

Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \|(-1, 1, -1)\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $\vec{P_1P_2}$ на векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ (числитель формулы):

$(\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})) = (0, 0, -1) \cdot (-1, 1, -1) = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) = 0 + 0 + 1 = 1$.

4. Расчет расстояния:

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$.

5. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица измерения длины).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $B_1D_1$.

Решение:

Введем прямоугольную систему координат. Пусть начало координат совпадает с вершиной $B(0,0,0)$.Оси координат направим вдоль ребер $BA$, $BC$, $BB_1$ соответственно.Так как куб единичный, длина его ребра равна 1.Координаты необходимых вершин:$B = (0,0,0)$$A_1 = (1,0,1)$$B_1 = (0,0,1)$$D_1 = (1,1,1)$

Определим направляющие векторы прямых и вектор, соединяющий точку на одной прямой с точкой на другой.Направляющий вектор прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (1,0,1) - (0,0,0) = (1,0,1)$.

Направляющий вектор прямой $B_1D_1$: $\vec{v_2} = \vec{B_1D_1} = D_1 - B_1 = (1,1,1) - (0,0,1) = (1,1,0)$.

Вектор, соединяющий точку $B$ (на прямой $BA_1$) и точку $B_1$ (на прямой $B_1D_1$): $\vec{P_1P_2} = \vec{BB_1} = B_1 - B = (0,0,1) - (0,0,0) = (0,0,1)$.

Расстояние $d$ между скрещивающимися прямыми вычисляется по формуле:$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 0 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 0 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1\vec{i} + 1\vec{j} + 1\vec{k} = (-1, 1, 1)$.

Вычислим модуль этого векторного произведения:$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Вычислим смешанное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (0,0,1) \cdot (-1,1,1) = 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 1$.

Подставляем полученные значения в формулу для расстояния:$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рационализируем знаменатель:$d = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

6. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

7. В единичном кубе $ABCDA\ B_1C_1D_1$ найдите расстояние между пря-

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Дано:

Куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Ребро куба $a=1$.

Прямые $BA_1$ и $AD_1$.

Перевод в СИ:

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины, так как конкретные единицы измерения не указаны).

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AD_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $AD_1$ воспользуемся методом координат.

Разместим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ совпадала с началом координат $(0,0,0)$, а его ребра лежали на осях координат. Тогда координаты вершин будут:

• $A = (0,0,0)$
• $B = (1,0,0)$
• $D = (0,1,0)$
• $A_1 = (0,0,1)$
• $D_1 = (0,1,1)$

Прямая $BA_1$ проходит через точки $B(1,0,0)$ и $A_1(0,0,1)$.

Направляющий вектор для прямой $BA_1$: $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1,0,1)$.

Прямая $AD_1$ проходит через точки $A(0,0,0)$ и $D_1(0,1,1)$.

Направляющий вектор для прямой $AD_1$: $\vec{v_2} = \vec{AD_1} = D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми, одна из которых проходит через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v_1}$, а другая — через точку $P_2$ с направляющим вектором $\vec{v_2}$, вычисляется по формуле:

$d = \frac{|(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\|}$

Возьмем точку $P_1$ на прямой $BA_1$ как $B(1,0,0)$ и точку $P_2$ на прямой $AD_1$ как $A(0,0,0)$.

Вектор, соединяющий точки на прямых: $\vec{P_2} - \vec{P_1} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1,0,0)$.

Вычислим векторное произведение направляющих векторов $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = (-1,0,1) \times (0,1,1) = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1\mathbf{i} + 1\mathbf{j} - 1\mathbf{k} = (-1,1,-1)$.

Найдем модуль этого векторного произведения:

$\|\vec{v_1} \times \vec{v_2}\| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$.

Вычислим скалярное произведение вектора $(\vec{P_2} - \vec{P_1})$ на векторное произведение $(\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$(\vec{P_2} - \vec{P_1}) \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1,0,0) \cdot (-1,1,-1) = (-1)(-1) + (0)(1) + (0)(-1) = 1+0+0 = 1$.

Подставим полученные значения в формулу расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{3}$

7. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Прямые $BA_1$ и $AC_1$.

Найти:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

Решение:

Введем декартову систему координат, совместив начало координат с вершиной $A$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна $a=1$.

Координаты вершин куба: $A = (0, 0, 0)$, $B = (1, 0, 0)$, $C = (1, 1, 0)$, $D = (0, 1, 0)$, $A_1 = (0, 0, 1)$, $B_1 = (1, 0, 1)$, $C_1 = (1, 1, 1)$, $D_1 = (0, 1, 1)$.

Для прямой $BA_1$ возьмем точку $P_1 = B = (1, 0, 0)$.

Ее направляющий вектор $\vec{v_1} = \vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$.

Для прямой $AC_1$ возьмем точку $P_2 = A = (0, 0, 0)$.

Ее направляющий вектор $\vec{v_2} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1, 1, 1)$.

Вектор, соединяющий точку на первой прямой с точкой на второй прямой: $\vec{P_1P_2} = \vec{AB} = A - B = (0-1, 0-0, 0-0) = (-1, 0, 0)$.

Расстояние между двумя скрещивающимися прямыми определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})|}{||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||}$

Вычислим векторное произведение $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$:

$\vec{v_1} = (-1, 0, 1)$

$\vec{v_2} = (1, 1, 1)$

$\vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(-1 \cdot 1 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(-1 \cdot 1 - 0 \cdot 1)$

$= \vec{i}(-1) - \vec{j}(-2) + \vec{k}(-1) = (-1, 2, -1)$

Вычислим скалярное произведение $\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2})$:

$\vec{P_1P_2} = (-1, 0, 0)$

$\vec{P_1P_2} \cdot (\vec{v_1} \times \vec{v_2}) = (-1) \cdot (-1) + (0) \cdot 2 + (0) \cdot (-1) = 1 + 0 + 0 = 1$

Вычислим модуль векторного произведения $||\vec{v_1} \times \vec{v_2}||$:

$||\vec{v_1} \times \vec{v_2}|| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}$

Теперь подставим значения в формулу для расстояния:

$d = \frac{|1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

Для упрощения домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{6}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{6}}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{6}$

Ответ:

Расстояние между прямыми $BA_1$ и $AC_1$ равно $\frac{\sqrt{6}}{6}$.