Номер 33, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $CFE_1$.

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все реб-

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки B до плоскости $CFE_1$, то есть $d(B, CFE_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Так как призма правильная шестиугольная и длина ребра основания $a=1$, то радиус описанной окружности основания также равен $1$. Высота призмы равна $1$, поскольку все ребра призмы равны $1$.

Определим координаты вершин призмы. Удобно расположить вершины нижнего основания $ABCDEF$ в плоскости $z=0$, а соответствующие вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ в плоскости $z=1$.

Координаты вершин нижнего основания для $a=1$ (при условии, что A лежит на оси X):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты точки $E_1$ верхнего основания (так как $E_1$ лежит над $E$ на высоте 1):

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Таким образом, нам нужны координаты следующих точек:

$B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

$E_1 = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Найдем уравнение плоскости $CFE_1$. Общее уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Подставим координаты точек $C$, $F$, $E_1$ в уравнение плоскости:

Для точки $C(-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$: $A(-1/2) + B(\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow -\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} + D = 0 \quad (1)$

Для точки $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$: $A(1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(0) + D = 0 \Rightarrow \frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + D = 0 \quad (2)$

Для точки $E_1(-1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$: $A(-1/2) + B(-\sqrt{3}/2) + C(1) + D = 0 \Rightarrow -\frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + C + D = 0 \quad (3)$

Сложим уравнения (1) и (2):

$(-\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} + D) + (\frac{A}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + D) = 0 \Rightarrow 2D = 0 \Rightarrow D = 0$.

Подставим $D=0$ в уравнение (1):

$-\frac{A}{2} + \frac{B\sqrt{3}}{2} = 0 \Rightarrow A = B\sqrt{3}$.

Подставим $D=0$ и $A = B\sqrt{3}$ в уравнение (3):

$-\frac{B\sqrt{3}}{2} - \frac{B\sqrt{3}}{2} + C = 0 \Rightarrow -B\sqrt{3} + C = 0 \Rightarrow C = B\sqrt{3}$.

Для удобства выберем $B=1$. Тогда $A = \sqrt{3}$ и $C = \sqrt{3}$.

Уравнение плоскости $CFE_1$ имеет вид: $\sqrt{3}x + y + \sqrt{3}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения:

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}(1/2) + 1(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}/2 + \sqrt{3}/2 + 0|}{\sqrt{3 + 1 + 3}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{7}}$

$d(B, CFE_1) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{21}}{7}$