Номер 35, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все рёбра призмы равны $a = 1$.

Перевод в СИ:

Поскольку все рёбра выражены в безразмерных единицах (или условных единицах длины), перевод в систему СИ не требуется. Длина ребра $a = 1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ACD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания призмы $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$.

Так как призма правильная, её основание является правильным шестиугольником. Длина стороны шестиугольника равна $a=1$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до любой его вершины равно длине его стороны.

Расположим вершину $A$ на положительной оси $Ox$. Тогда её координаты будут $A(1,0,0)$.

Вершины правильного шестиугольника расположены под углом $60^\circ$ друг к другу относительно центра. Координаты вершины $B$ определяются поворотом $A$ на $60^\circ$ против часовой стрелки в плоскости $Oxy$:

$B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$ определяются поворотом $A$ на $120^\circ$ против часовой стрелки в плоскости $Oxy$:

$C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Высота призмы равна длине её бокового ребра, которое также равно $1$. Таким образом, вершины верхнего основания имеют $z$-координату $1$.

Координаты вершины $D$ нижнего основания:

$D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = D(-1, 0, 0)$.

Координаты вершины $D_1$ верхнего основания:

$D_1(-1, 0, 1)$.

Итого, имеем следующие координаты точек:

$A(1, 0, 0)$

$C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D_1(-1, 0, 1)$

$B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем уравнение плоскости $ACD_1$. Пусть уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$.

Вектор $\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вектор $\vec{AD_1} = D_1 - A = (-1 - 1, 0 - 0, 1 - 0) = (-2, 0, 1)$.

Нормальный вектор к плоскости $\vec{n}$ можно найти как векторное произведение $\vec{AC} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -\frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ -2 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot 0) - \mathbf{j}(-\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-2)) + \mathbf{k}(-\frac{3}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-2))$

$\vec{n} = \frac{\sqrt{3}}{2}\mathbf{i} + \frac{3}{2}\mathbf{j} + \sqrt{3}\mathbf{k}$.

Для удобства можем умножить компоненты нормального вектора на $\frac{2}{\sqrt{3}}$, чтобы получить более простые целые числа:

$\vec{n}' = (1, \sqrt{3}, 2)$.

Теперь, используя нормальный вектор $\vec{n}'=(1, \sqrt{3}, 2)$ и точку $A(1,0,0)$ (или $C$, или $D_1$), запишем уравнение плоскости:

$1 \cdot (x - 1) + \sqrt{3} \cdot (y - 0) + 2 \cdot (z - 0) = 0$

$x - 1 + \sqrt{3}y + 2z = 0$

$x + \sqrt{3}y + 2z - 1 = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $B(x_0, y_0, z_0) = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$, где $A=1, B=\sqrt{3}, C=2, D=-1$.

Формула расстояния: $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

$d = \frac{|1 \cdot (\frac{1}{2}) + \sqrt{3} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 \cdot 0 - 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + 2^2}}$

$d = \frac{|\frac{1}{2} + \frac{3}{2} + 0 - 1|}{\sqrt{1 + 3 + 4}}$

$d = \frac{|\frac{4}{2} - 1|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{|2 - 1|}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{8}}$

$d = \frac{1}{2\sqrt{2}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{2}}{4}$