Номер 32, страница 166 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

32. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $DFB_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Длина всех ребер призмы равна $1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $DFB_1$.

Решение

Для решения задачи используем метод координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Ось $OX$ направим вдоль диагонали $AD$. Тогда координаты вершин нижнего основания правильной шестиугольной призмы (сторона шестиугольника равна $1$, радиус описанной окружности также равен $1$) будут:

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $C = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

• $D = (-1, 0, 0)$

• $E = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

• $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы также равна $1$ (так как все ребра равны $1$), поэтому координаты точки $B_1$ будут:

• $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $DFB_1$. Точки, лежащие в плоскости $DFB_1$, это $D = (-1, 0, 0)$, $F = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$ и $B_1 = (1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $DFB_1$:

$\vec{FD} = D - F = (-1 - 1/2, 0 - (-\sqrt{3}/2), 0 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$\vec{FB_1} = B_1 - F = (1/2 - 1/2, \sqrt{3}/2 - (-\sqrt{3}/2), 1 - 0) = (0, \sqrt{3}, 1)$

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $DFB_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{FD} \times \vec{FB_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(\sqrt{3}/2 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}) - \mathbf{j}(-3/2 \cdot 1 - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(-3/2 \cdot \sqrt{3} - \sqrt{3}/2 \cdot 0)$
$\vec{n} = (\sqrt{3}/2, 3/2, -3\sqrt{3}/2)$

Для упрощения вычислений, умножим нормальный вектор на $2/\sqrt{3}$:

$\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, -3)$

Уравнение плоскости $DFB_1$ имеет общий вид $Ax + By + Cz + D_{plane} = 0$. Используя нормальный вектор $\vec{n'} = (1, \sqrt{3}, -3)$, получаем $x + \sqrt{3}y - 3z + D_{plane} = 0$. Подставим координаты одной из точек, лежащих в плоскости, например, $D(-1, 0, 0)$, в уравнение плоскости:

$1(-1) + \sqrt{3}(0) - 3(0) + D_{plane} = 0$
$-1 + D_{plane} = 0 \implies D_{plane} = 1$

Таким образом, уравнение плоскости $DFB_1$ есть $x + \sqrt{3}y - 3z + 1 = 0$.

Расстояние $d$ от точки $B(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Для точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ и плоскости $x + \sqrt{3}y - 3z + 1 = 0$ имеем: $A=1, B=\sqrt{3}, C=-3, D_{plane}=1$. $x_0=1/2, y_0=\sqrt{3}/2, z_0=0$.

$d = \frac{|1(1/2) + \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) - 3(0) + 1|}{\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2 + (-3)^2}}$
$d = \frac{|1/2 + 3/2 - 0 + 1|}{\sqrt{1 + 3 + 9}}$
$d = \frac{|4/2 + 1|}{\sqrt{13}}$
$d = \frac{|2 + 1|}{\sqrt{13}}$
$d = \frac{3}{\sqrt{13}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{13}$:

$d = \frac{3\sqrt{13}}{13}$

Ответ:

$\frac{3\sqrt{13}}{13}$