Номер 27, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $ADC_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Все ребра равны 1. То есть, длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти

Расстояние от точки $B$ до плоскости $ADC_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Выберем систему координат следующим образом:
Поместим центр нижнего основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса $OA$. Ось $Oz$ направим вдоль ребра $OO_1$ (высоты призмы).

Тогда координаты необходимых вершин будут:
$A = (1, 0, 0)$
$B = (1 \cdot \cos 60^\circ, 1 \cdot \sin 60^\circ, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
$D = (1 \cdot \cos 180^\circ, 1 \cdot \sin 180^\circ, 0) = (-1, 0, 0)$
$C_1 = (1 \cdot \cos 120^\circ, 1 \cdot \sin 120^\circ, 1) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$ (так как высота призмы $AA_1 = 1$)

Теперь найдем уравнение плоскости $ADC_1$. Для этого нам нужны два вектора, лежащие в плоскости, и одна точка. Возьмем точки $A(1,0,0)$, $D(-1,0,0)$ и $C_1(-1/2, \sqrt{3}/2, 1)$.
Векторы, лежащие в плоскости:
$\vec{AD} = D - A = (-1-1, 0-0, 0-0) = (-2, 0, 0)$
$\vec{AC_1} = C_1 - A = (-1/2-1, \sqrt{3}/2-0, 1-0) = (-3/2, \sqrt{3}/2, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение $\vec{AD} \times \vec{AC_1}$:
$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2 & 0 & 0 \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot \sqrt{3}/2) - \mathbf{j}(-2 \cdot 1 - 0 \cdot (-3/2)) + \mathbf{k}(-2 \cdot \sqrt{3}/2 - 0 \cdot (-3/2))$
$\vec{n} = 0\mathbf{i} - \mathbf{j}(-2) + \mathbf{k}(-\sqrt{3}) = (0, 2, -\sqrt{3})$

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты вектора нормали $\vec{n}=(0, 2, -\sqrt{3})$, получаем:
$0x + 2y - \sqrt{3}z + D = 0 \Rightarrow 2y - \sqrt{3}z + D = 0$
Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ в уравнение для нахождения $D$:
$2(0) - \sqrt{3}(0) + D = 0 \Rightarrow D = 0$
Таким образом, уравнение плоскости $ADC_1$ имеет вид $2y - \sqrt{3}z = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $2y - \sqrt{3}z = 0$.
Используем формулу расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$:
$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$
В нашем случае, $A=0, B=2, C=-\sqrt{3}, D=0$ и $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
$d = \frac{|0(1/2) + 2(\sqrt{3}/2) - \sqrt{3}(0) + 0|}{\sqrt{0^2 + 2^2 + (-\sqrt{3})^2}}$
$d = \frac{|\sqrt{3}|}{\sqrt{4 + 3}}$
$d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$
Рационализируем знаменатель:
$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$

Ответ:
$\frac{\sqrt{21}}{7}$