Номер 22, страница 165 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Длина стороны основания $a = 1$.

Длина бокового ребра $l = 2$.

Перевод в СИ:

Все величины заданы в безразмерных единицах, перевод в СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим центр основания $O$ в начало координат $(0,0,0)$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$. Основание пирамиды лежит в плоскости $Oxy$.

Для правильного шестиугольника со стороной $a=1$, радиус описанной окружности равен $a=1$. Вершины основания можно расположить следующим образом:

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Далее, найдем высоту пирамиды $H$. Высота пирамиды $SO$ (обозначим $H$) перпендикулярна плоскости основания. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $OA$ — радиус описанной окружности основания, $OA = a = 1$. $SA$ — боковое ребро, $SA = l = 2$. По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$H^2 + 1^2 = 2^2$

$H^2 + 1 = 4$

$H^2 = 3$

$H = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S$ равны $(0, 0, \sqrt{3})$.

Теперь найдем уравнение плоскости $SAC$. Плоскость $SAC$ проходит через точки $S(0,0,\sqrt{3})$, $A(1,0,0)$, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Найдем два вектора, лежащих в этой плоскости:

$\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{AC} = C - A = (-\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 0-0) = (-\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SAC$ находится как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AC}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 - \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(0 - \sqrt{3} \cdot (-\frac{3}{2})) + \mathbf{k}(-1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 0)$

$\vec{n} = (-\frac{3}{2}, -\frac{3\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

Для удобства можем использовать пропорциональный вектор нормали, например, умножив его на $-2$: $\vec{n'} = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3})$.

Уравнение плоскости имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя координаты $\vec{n'} = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3})$, получаем:

$3x + 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z + D = 0$

Подставим координаты точки $A(1,0,0)$ (или $S$, или $C$) в уравнение для нахождения $D$:

$3(1) + 3\sqrt{3}(0) + \sqrt{3}(0) + D = 0$

$3 + D = 0 \Rightarrow D = -3$

Таким образом, уравнение плоскости $SAC$ есть $3x + 3\sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

Наконец, найдем расстояние от точки $B$ до плоскости $SAC$. Координаты точки $B$ равны $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$. Расстояние от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ вычисляется по формуле:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставляем значения: $(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$, и $(A, B, C, D) = (3, 3\sqrt{3}, \sqrt{3}, -3)$:

$d = \frac{|3(\frac{1}{2}) + 3\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (3\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d = \frac{|\frac{3}{2} + \frac{9}{2} + 0 - 3|}{\sqrt{9 + 27 + 3}}$

$d = \frac{|\frac{12}{2} - 3|}{\sqrt{39}}$

$d = \frac{|6 - 3|}{\sqrt{39}}$

$d = \frac{3}{\sqrt{39}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{39}$:

$d = \frac{3\sqrt{39}}{\sqrt{39} \cdot \sqrt{39}} = \frac{3\sqrt{39}}{39} = \frac{\sqrt{39}}{13}$

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{13}$.