Номер 16, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$.

Дано:

$SABCDEF$ - правильная шестиугольная пирамида.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$, $d(B, SAF)$.

Решение:

1. Найдем высоту пирамиды $SO$. Пусть $O$ - центр основания.

В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна расстоянию от центра до любой вершины. То есть, $OA = OB = OC = OD = OE = OF = a = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SO$ - высота, $OA$ - радиус описанной окружности основания, $SA$ - боковое ребро.

По теореме Пифагора: $SO^2 = SA^2 - OA^2$

$SO^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$SO = \sqrt{3}$.

2. Определим координаты вершин для удобства вычислений. Пусть центр основания $O$ находится в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим через точку $A$. Ось $Oz$ совпадет с $SO$.

Координаты вершин основания (для шестиугольника со стороной $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$

$F = (1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Координаты вершины пирамиды $S = (0, 0, \sqrt{3})$.

3. Найдем уравнение плоскости $SAF$. Для этого нужны три точки, лежащие в плоскости: $S(0, 0, \sqrt{3})$, $A(1, 0, 0)$, $F(1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.

Найдем два вектора, лежащих в плоскости:

$\vec{AS} = S - A = (0-1, 0-0, \sqrt{3}-0) = (-1, 0, \sqrt{3})$

$\vec{AF} = F - A = (1/2-1, -\sqrt{3}/2-0, 0-0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $SAF$ как векторное произведение $\vec{AS} \times \vec{AF}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1 & 0 & \sqrt{3} \\ -1/2 & -\sqrt{3}/2 & 0 \end{vmatrix}$

$\vec{n} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{3}/2)) - \mathbf{j}(-1 \cdot 0 - \sqrt{3} \cdot (-1/2)) + \mathbf{k}(-1 \cdot (-\sqrt{3}/2) - 0 \cdot (-1/2))$

$\vec{n} = \mathbf{i}(3/2) - \mathbf{j}(\sqrt{3}/2) + \mathbf{k}(\sqrt{3}/2)$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n} = (3/2, -\sqrt{3}/2, \sqrt{3}/2)$.

Уравнение плоскости $SAF$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используем координаты нормали и точку $A(1,0,0)$:

$3/2(x-1) - \sqrt{3}/2(y-0) + \sqrt{3}/2(z-0) = 0$

Умножим уравнение на 2, чтобы избавиться от дробей:

$3(x-1) - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$

$3x - 3 - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z = 0$

Окончательное уравнение плоскости $SAF$: $3x - \sqrt{3}y + \sqrt{3}z - 3 = 0$.

4. Вычислим расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до плоскости $SAF$ по формуле $d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$.

Здесь $(x_0, y_0, z_0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$, а коэффициенты плоскости $A=3, B=-\sqrt{3}, C=\sqrt{3}, D=-3$.

$d(B, SAF) = \frac{|3(1/2) - \sqrt{3}(\sqrt{3}/2) + \sqrt{3}(0) - 3|}{\sqrt{3^2 + (-\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^2}}$

$d(B, SAF) = \frac{|3/2 - 3/2 + 0 - 3|}{\sqrt{9 + 3 + 3}}$

$d(B, SAF) = \frac{|-3|}{\sqrt{15}}$

$d(B, SAF) = \frac{3}{\sqrt{15}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$:

$d(B, SAF) = \frac{3}{\sqrt{15}} \cdot \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{15}} = \frac{3\sqrt{15}}{15} = \frac{\sqrt{15}}{5}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SAF$ равно $\frac{\sqrt{15}}{5}$.