Номер 15, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$.

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.
Стороны основания $a = 1$.
Боковые ребра $L = 2$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. Пусть $O$ — центр основания.

1.Нахождение высоты пирамиды ($SO$). В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности. Следовательно, $OA = a = 1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$, где $SA$ — боковое ребро, $SO$ — высота пирамиды, $OA$ — радиус описанной окружности основания. По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$. Подставляя известные значения: $SO^2 + 1^2 = 2^2$. $SO^2 + 1 = 4$. $SO^2 = 3$. $SO = \sqrt{3}$.

2.Расстояние от точки до плоскости с использованием метода объемов. Расстояние от точки $B$ до плоскости $SDE$ ($d(B, SDE)$) можно найти, используя формулу для объема тетраэдра. Рассмотрим тетраэдр $SBDE$. Объем тетраэдра может быть выражен как: $V_{SBDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle SDE} \cdot d(B, SDE)$. Отсюда, искомое расстояние: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot V_{SBDE}}{S_{\triangle SDE}}$. Для применения этой формулы нам потребуется найти площадь треугольника $SDE$ и объем тетраэдра $SBDE$.

3.Нахождение площади треугольника $SDE$ ($S_{\triangle SDE}$). Треугольник $SDE$ является равнобедренным, так как $SD = SE = L = 2$. Основание $DE$ является стороной правильного шестиугольника, поэтому $DE = a = 1$. Пусть $M$ — середина стороны $DE$. Тогда $SM$ — высота треугольника $SDE$, проведенная к основанию $DE$. $M$ также является точкой на основании шестиугольника. $OM$ — это апофема правильного шестиугольника (расстояние от центра до середины стороны). Для правильного шестиугольника со стороной $a$, апофема $OM = a \frac{\sqrt{3}}{2}$. $OM = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOM$. По теореме Пифагора: $SM^2 = SO^2 + OM^2$. $SM^2 = (\sqrt{3})^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 3 + \frac{3}{4} = \frac{12+3}{4} = \frac{15}{4}$. $SM = \sqrt{\frac{15}{4}} = \frac{\sqrt{15}}{2}$. Площадь треугольника $SDE$ вычисляется как: $S_{\triangle SDE} = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота} = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{2} = \frac{\sqrt{15}}{4}$.

4.Нахождение объема тетраэдра $SBDE$ ($V_{SBDE}$). Объем тетраэдра $SBDE$ можно также найти по формуле $V = \frac{1}{3} \cdot S_{base} \cdot h$, где в качестве основания берется $\triangle BDE$, а высотой является $SO$ (поскольку вершина $S$ проецируется в центр $O$ основания, а точки $B, D, E$ лежат в плоскости основания). Сначала найдем площадь треугольника $BDE$ ($S_{\triangle BDE}$). Стороны треугольника $BDE$: $DE = a = 1$. $BE$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Длина малой диагонали равна $a\sqrt{3}$, следовательно, $BE = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$. $BD$ — большая диагональ правильного шестиугольника, проходящая через центр $O$. Длина большой диагонали равна $2a$, следовательно, $BD = 2 \cdot 1 = 2$. Проверим, является ли $\triangle BDE$ прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора: $DE^2 + BE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$. $BD^2 = 2^2 = 4$. Так как $DE^2 + BE^2 = BD^2$, то $\triangle BDE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $E$. Площадь прямоугольного треугольника $BDE$: $S_{\triangle BDE} = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \cdot DE \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Теперь найдем объем тетраэдра $SBDE$: $V_{SBDE} = \frac{1}{3} \cdot S_{\triangle BDE} \cdot SO = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$.

5.Вычисление расстояния от точки $B$ до плоскости $SDE$. Используем формулу, выведенную в пункте 2: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot V_{SBDE}}{S_{\triangle SDE}}$. Подставляем найденные значения: $d(B, SDE) = \frac{3 \cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}$. Для деления дробей, умножим первую на обратную второй: $d(B, SDE) = \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = \frac{12}{2\sqrt{15}} = \frac{6}{\sqrt{15}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{15}$: $d(B, SDE) = \frac{6 \cdot \sqrt{15}}{\sqrt{15} \cdot \sqrt{15}} = \frac{6\sqrt{15}}{15}$. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $d(B, SDE) = \frac{2\sqrt{15}}{5}$.