Номер 8, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $A_1BD_1$;

8. В правильной треугольной призме $ABC A_1B_1C_1$, все ребра которой

равны 1, найдите расстояние от точки B до плоскости $AB_1C_1$.

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$, обозначим как $d(B, AB_1C_1)$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим призму в декартовой системе координат следующим образом: пусть вершина $C$ находится в начале координат $C=(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются равносторонними треугольниками. Длина всех ребер призмы, включая стороны оснований и боковые ребра, равна $1$.

Разместим вершину $A$ на оси $Ox$. Тогда координаты $A=(1,0,0)$.

Для вершины $B$ в основании $ABC$ (равносторонний треугольник со стороной $1$):Координата $x_B$ для вершины $B$ относительно $C$ и $A$ будет $\frac{1}{2} \cdot a = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.Координата $y_B$ для вершины $B$ будет равна высоте равностороннего треугольника со стороной $a=1$, которая вычисляется по формуле $h = a \frac{\sqrt{3}}{2} = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.Таким образом, координаты вершины $B$ в основании $ABC$ будут $B=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Поскольку высота призмы равна длине ее ребра, то есть $1$, координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1$ будут получены добавлением $1$ к $z$-координатам соответствующих вершин нижнего основания:$C_1=(0,0,1)$$A_1=(1,0,1)$$B_1=(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до плоскости, проходящей через точки $A(1,0,0)$, $B_1(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$, $C_1(0,0,1)$.

Найдем два вектора, лежащие в плоскости $AB_1C_1$:$\vec{AB_1} = B_1 - A = (\frac{1}{2}-1, \frac{\sqrt{3}}{2}-0, 1-0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$$\vec{AC_1} = C_1 - A = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $AB_1C_1$ с помощью векторного произведения этих двух векторов:$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -1/2 & \sqrt{3}/2 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 1 \cdot 0) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} \cdot 1 - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}(-\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot (-1))$$\vec{n} = \mathbf{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \mathbf{j}(-\frac{1}{2} + 1) + \mathbf{k}(\frac{\sqrt{3}}{2})$$\vec{n} = (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$

Общее уравнение плоскости $AB_1C_1$ имеет вид $Ax + By + Cz + D = 0$. Используя компоненты нормального вектора, получаем:$\frac{\sqrt{3}}{2}x - \frac{1}{2}y + \frac{\sqrt{3}}{2}z + D = 0$Для удобства умножим все члены уравнения на $2$:$\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z + 2D = 0$

Для нахождения свободного члена $D$ подставим координаты точки $A(1,0,0)$, которая лежит в плоскости:$\sqrt{3}(1) - (0) + \sqrt{3}(0) + 2D = 0$$\sqrt{3} + 2D = 0 \Rightarrow 2D = -\sqrt{3} \Rightarrow D = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Таким образом, уравнение плоскости $AB_1C_1$ есть $\sqrt{3}x - y + \sqrt{3}z - \sqrt{3} = 0$.

Теперь найдем расстояние от точки $B(x_0, y_0, z_0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до этой плоскости, используя формулу расстояния от точки до плоскости:$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

Подставим значения $A=\sqrt{3}$, $B=-1$, $C=\sqrt{3}$, $D=-\sqrt{3}$ из уравнения плоскости и координаты точки $B$:Числитель: $|\sqrt{3}(\frac{1}{2}) - 1(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sqrt{3}(0) - \sqrt{3}|$$= |\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 0 - \sqrt{3}|$$= |-\sqrt{3}| = \sqrt{3}$

Знаменатель: $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (\sqrt{3})^2}$$= \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$

Расстояние $d = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{7}}$. Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{7}$:$d = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7}} = \frac{\sqrt{21}}{7}$.

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1C_1$ равно $\frac{\sqrt{21}}{7}$.