Номер 4, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины).

Перевод данных в систему СИ:

Длина ребра куба $a = 1 \text{ м}$ (для данной задачи перевод в конкретные единицы СИ не влияет на численное значение расстояния, так как задача безразмерная).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$.

Решение:

Введем прямоугольную декартову систему координат с началом в точке $A$. Ось $Ox$ направим вдоль ребра $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, а ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Координаты необходимых вершин куба будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$B_1 = (1,0,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Для определения уравнения плоскости $AB_1D_1$ найдем два вектора, лежащих в этой плоскости, исходящие из общей точки $A$:

Вектор $\vec{AB_1}$: $B_1 - A = (1-0, 0-0, 1-0) = (1,0,1)$.

Вектор $\vec{AD_1}$: $D_1 - A = (0-0, 1-0, 1-0) = (0,1,1)$.

Нормальный вектор $\vec{n}$ к плоскости $AB_1D_1$ можно найти как векторное произведение $\vec{AB_1} \times \vec{AD_1}$:

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 1 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 0) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) = -1\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (-1,-1,1)$.

Уравнение плоскости, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с нормальным вектором $(A,B,C)$, имеет вид $A(x-x_0) + B(y-y_0) + C(z-z_0) = 0$.

Используем точку $A(0,0,0)$ и нормальный вектор $\vec{n} = (-1,-1,1)$:

$-1(x-0) - 1(y-0) + 1(z-0) = 0$

$-x - y + z = 0$

Умножив уравнение на $-1$, получим более привычный вид: $x + y - z = 0$.

Теперь найдем расстояние $d$ от точки $B(1,0,0)$ до плоскости $x + y - z = 0$. Формула расстояния от точки $(x_0, y_0, z_0)$ до плоскости $Ax + By + Cz + D = 0$ задается как:

$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$

В нашем случае: точка $B(1,0,0)$, следовательно $x_0=1, y_0=0, z_0=0$. Уравнение плоскости $x+y-z=0$, следовательно $A=1, B=1, C=-1, D=0$.

Подставляем значения в формулу:

$d = \frac{|1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 0|}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}}$

$d = \frac{|1 + 0 + 0 + 0|}{\sqrt{1 + 1 + 1}}$

$d = \frac{|1|}{\sqrt{3}}$

$d = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Для устранения иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$d = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до плоскости $AB_1D_1$ равно $\frac{\sqrt{3}}{3}$.