Номер 30, страница 164 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DC_1$.

Дано:

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ - правильная шестиугольная.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DC_1$.

Решение:

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $DC_1$ рассмотрим треугольник $BDC_1$. Расстояние будет являться длиной высоты этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Для этого найдем длины всех сторон треугольника $BDC_1$.

1. Длина ребра $DC_1$:

Ребро $DC_1$ является диагональю грани $DCC_1D_1$. Поскольку призма правильная и все её ребра равны 1, то $CD = 1$ (сторона основания) и $CC_1 = 1$ (боковое ребро). Следовательно, грань $DCC_1D_1$ является квадратом со стороной 1.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $DCC_1$:

$DC_1 = \sqrt{CD^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

2. Длина ребра $BC_1$:

Ребро $BC_1$ является диагональю грани $BCC_1B_1$. Аналогично, $BC = 1$ и $BB_1 = 1$. Следовательно, грань $BCC_1B_1$ является квадратом со стороной 1.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$:

$BC_1 = \sqrt{BC^2 + BB_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

3. Длина ребра $BD$:

Ребро $BD$ является диагональю основания $ABCDEF$. Основание - правильный шестиугольник со стороной 1. Рассмотрим треугольник $BCD$. Это равнобедренный треугольник, так как $BC = CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $ (6-2) \times 180^\circ / 6 = 4 \times 180^\circ / 6 = 120^\circ $. Следовательно, $\angle BCD = 120^\circ$.

По теореме косинусов для треугольника $BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ)$

$BD^2 = 1 + 1 - 2 \cdot (-1/2)$

$BD^2 = 2 + 1 = 3$

$BD = \sqrt{3}$.

Таким образом, треугольник $BDC_1$ имеет стороны: $BC_1 = \sqrt{2}$, $DC_1 = \sqrt{2}$, $BD = \sqrt{3}$.

Заметим, что треугольник $BDC_1$ является равнобедренным, так как $BC_1 = DC_1 = \sqrt{2}$. Пусть $h$ - искомая высота, опущенная из вершины $B$ на сторону $DC_1$. Пусть $K$ - основание этой высоты на отрезке $DC_1$.

В прямоугольном треугольнике $BKC_1$ (с прямым углом при $K$): $BK^2 + KC_1^2 = BC_1^2$.

В прямоугольном треугольнике $BKD$ (с прямым углом при $K$): $BK^2 + DK^2 = BD^2$.

Пусть $KC_1 = x$. Тогда $DK = DC_1 - x = \sqrt{2} - x$.

Из первого уравнения выразим $BK^2$: $BK^2 = BC_1^2 - KC_1^2 = (\sqrt{2})^2 - x^2 = 2 - x^2$.

Из второго уравнения выразим $BK^2$: $BK^2 = BD^2 - DK^2 = (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2} - x)^2 = 3 - (2 - 2\sqrt{2}x + x^2) = 3 - 2 + 2\sqrt{2}x - x^2 = 1 + 2\sqrt{2}x - x^2$.

Приравняем два выражения для $BK^2$:

$2 - x^2 = 1 + 2\sqrt{2}x - x^2$

$2 = 1 + 2\sqrt{2}x$

$1 = 2\sqrt{2}x$

$x = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем $BK$ (искомую высоту $h$) из выражения для $BK^2$:

$h^2 = BK^2 = 2 - x^2 = 2 - \left(\frac{\sqrt{2}}{4}\right)^2 = 2 - \frac{2}{16} = 2 - \frac{1}{8} = \frac{16 - 1}{8} = \frac{15}{8}$.

$h = \sqrt{\frac{15}{8}} = \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{15}}{2\sqrt{2}}$.

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$h = \frac{\sqrt{15} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{30}}{4}$.