Номер 24, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CD_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CD_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $O(0,0,0)$. Так как призма правильная, и все ее ребра равны 1, то длина стороны основания шестиугольника $a=1$, и высота призмы также $h=1$. В правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне.

Определим координаты необходимых вершин. Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$.

Координаты вершины $B$:$B_x = 1 \cdot \cos(60^\circ) = 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$$B_y = 1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$B_z = 0$ (так как это вершина нижнего основания)Итак, $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $C$:$C_x = 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2}$$C_y = 1 \cdot \sin(120^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$$C_z = 0$Итак, $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Координаты вершины $D$:$D_x = 1 \cdot \cos(180^\circ) = 1 \cdot (-1) = -1$$D_y = 1 \cdot \sin(180^\circ) = 1 \cdot 0 = 0$$D_z = 0$Итак, $D(-1, 0, 0)$.

Координаты вершины $D_1$ (вершина верхнего основания, соответствующая $D$):$D_{1x} = D_x = -1$$D_{1y} = D_y = 0$$D_{1z} = 1$ (высота призмы)Итак, $D_1(-1, 0, 1)$.

Мы ищем расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ и $D_1(-1, 0, 1)$.

Расстояние от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$, вычисляется по формуле:$d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$

Пусть $P_0 = B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Выберем точку $P_1 = C(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ на прямой $CD_1$.

Направляющий вектор прямой $CD_1$ это вектор $\vec{v} = \vec{CD_1}$:$\vec{CD_1} = D_1 - C = (-1 - (-\frac{1}{2}), 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{CB}$:$\vec{CB} = B - C = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (1, 0, 0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{CB} \times \vec{CD_1}$:$\vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) + \mathbf{k}(1 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - 0 \cdot (-\frac{1}{2})) = (0, -1, -\frac{\sqrt{3}}{2})$.

Найдем модуль этого векторного произведения:$||\vec{CB} \times \vec{CD_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2} = \sqrt{1 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{CD_1}$:$||\vec{CD_1}|| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь вычислим расстояние $d$:$d = \frac{\frac{\sqrt{7}}{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$.

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$ для избавления от иррациональности в знаменателе:$d = \frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{2}}{2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{14}}{4}$