Номер 26, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DF_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длины всех ребер призмы равны 1.

Перевод данных в СИ:

Длина стороны основания $a = 1$.

Высота призмы $h = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DF_1$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$.

В правильном шестиугольнике со стороной $a=1$ радиус описанной окружности также равен $R=1$. Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ будут:

• $A = (1, 0, 0)$
• $B = (\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $C = (\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$
• $D = (\cos(180^\circ), \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$
• $E = (\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$
• $F = (\cos(300^\circ), \sin(300^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$

Высота призмы равна длине ребра, то есть $h=1$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут такими же, но с z-координатой, увеличенной на 1:

• $F_1 = (1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$ до прямой, проходящей через точки $D(-1, 0, 0)$ и $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

Расстояние от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, определяется по формуле:

$d = \frac{|\vec{QP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$

В нашем случае $P = B = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$. Выберем $Q = D = (-1, 0, 0)$.

Найдем вектор $\vec{DB}$ (вектор $\vec{QP}$):

$\vec{DB} = B - D = (1/2 - (-1), \sqrt{3}/2 - 0, 0 - 0) = (3/2, \sqrt{3}/2, 0)$

Найдем направляющий вектор $\vec{DF_1}$ (вектор $\vec{v}$):

$\vec{DF_1} = F_1 - D = (1/2 - (-1), -\sqrt{3}/2 - 0, 1 - 0) = (3/2, -\sqrt{3}/2, 1)$

Теперь вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DF_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DF_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3/2 & \sqrt{3}/2 & 0 \\ 3/2 & -\sqrt{3}/2 & 1 \end{vmatrix}$

$= \mathbf{i} \left( (\sqrt{3}/2)(1) - 0(-\sqrt{3}/2) \right) - \mathbf{j} \left( (3/2)(1) - 0(3/2) \right) + \mathbf{k} \left( (3/2)(-\sqrt{3}/2) - (\sqrt{3}/2)(3/2) \right)$

$= \mathbf{i} (\sqrt{3}/2) - \mathbf{j} (3/2) + \mathbf{k} (-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{3\sqrt{3}}{4})$

$= (\sqrt{3}/2, -3/2, -6\sqrt{3}/4) = (\sqrt{3}/2, -3/2, -3\sqrt{3}/2)$

Вычислим модуль полученного векторного произведения:

$|\vec{DB} \times \vec{DF_1}| = \sqrt{(\sqrt{3}/2)^2 + (-3/2)^2 + (-3\sqrt{3}/2)^2}$

$= \sqrt{3/4 + 9/4 + 27/4} = \sqrt{39/4} = \frac{\sqrt{39}}{2}$

Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{DF_1}$:

$|\vec{DF_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2}$

$= \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{|\vec{DB} \times \vec{DF_1}|}{|\vec{DF_1}|} = \frac{\sqrt{39}/2}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$

Ответ:

Расстояние от точки B до прямой DF_1 составляет $\frac{\sqrt{39}}{4}$.