Номер 19, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

19. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Все ребра равны 1.

Перевод в СИ:

Длина ребра призмы $a = 1$ м (предполагаем единицы измерения, если не указаны).

Высота призмы $h = 1$ м.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$.

Решение:

Введем систему координат. Разместим центр нижнего основания $O$ в начале координат $(0,0,0)$. Ось $Ox$ направим вдоль радиуса, проходящего через вершину $A$. Высота призмы направлена вдоль оси $Oz$.

Координаты вершин нижнего основания (сторона $a=1$):

• $A = (1, 0, 0)$

• $B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $C = (1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $D = (1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$

• $E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

• $F = (1 \cdot \cos(300^\circ), 1 \cdot \sin(300^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (высота $h=1$):

• $E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Точка, от которой ищем расстояние: $P = B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Прямая, до которой ищем расстояние, проходит через точку $Q = D = (-1, 0, 0)$ и имеет направляющий вектор $\vec{v} = \vec{DE_1}$.

Для нахождения расстояния от точки $P$ до прямой, проходящей через точку $Q$ с направляющим вектором $\vec{v}$, используется формула: $d = \frac{||\vec{QP} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$.

Найдем вектор $\vec{QP} = \vec{DB}$:

$\vec{DB} = B - D = (\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{3}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Найдем направляющий вектор прямой $DE_1$, $\vec{v} = \vec{DE_1}$:

$\vec{DE_1} = E_1 - D = (-\frac{1}{2} - (-1), -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{DB} \times \vec{DE_1}$:

$\vec{DB} \times \vec{DE_1} = \left| \begin{matrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ \frac{3}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1 \end{matrix} \right| = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 1 - 0 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2})) - \vec{j}(\frac{3}{2} \cdot 1 - 0 \cdot \frac{1}{2}) + \vec{k}(\frac{3}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$= \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(\frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{3\sqrt{3}}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}) = \vec{i}(\frac{\sqrt{3}}{2}) - \vec{j}(\frac{3}{2}) + \vec{k}(-\frac{4\sqrt{3}}{4})$

$= (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{3}{2}, -\sqrt{3})$.

Вычислим модуль векторного произведения:

$||\vec{DB} \times \vec{DE_1}|| = \sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{9}{4} + 3} = \sqrt{\frac{12}{4} + 3} = \sqrt{3 + 3} = \sqrt{6}$.

Вычислим модуль направляющего вектора $\vec{DE_1}$:

$||\vec{DE_1}|| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (-\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Теперь найдем расстояние $d$:

$d = \frac{||\vec{DB} \times \vec{DE_1}||}{||\vec{DE_1}||} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{6}{2}} = \sqrt{3}$.

Ответ:

$\sqrt{3}$