Номер 16, страница 163 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

16. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $D_1F_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер призмы равна 1. ($AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$, $AA_1 = BB_1 = CC_1 = DD_1 = EE_1 = FF_1 = 1$)

Перевод в СИ

Длина ребра $a = 1$ (условная единица).

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$.

Решение

Расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$ можно найти как высоту треугольника $BD_1F_1$, опущенную из вершины $B$ на сторону $D_1F_1$. Для этого найдем длины сторон треугольника $BD_1F_1$.

1.Длина стороны $D_1F_1$:

Основания призмы являются правильными шестиугольниками со стороной 1. $D_1F_1$ — это диагональ верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике диагональ, соединяющая вершины через одну (например, $DF$ или $D_1F_1$), имеет длину $a\sqrt{3}$, где $a$ — длина стороны шестиугольника. Поскольку сторона шестиугольника равна 1, то $D_1F_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2.Длина стороны $BD_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BDD_1$. Катет $DD_1$ — это боковое ребро призмы, его длина равна 1. Катет $BD$ — это диагональ нижнего основания $ABCDEF$, соединяющая вершины $B$ и $D$. Как и $D_1F_1$, $BD$ является диагональю через одну вершину правильного шестиугольника. Следовательно, $BD = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $BDD_1$:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2$$BD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$BD_1^2 = 3 + 1 = 4$$BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

3.Длина стороны $BF_1$:

Аналогично рассмотрим прямоугольный треугольник $BFF_1$. Катет $FF_1$ — это боковое ребро призмы, его длина равна 1. Катет $BF$ — это диагональ нижнего основания $ABCDEF$, соединяющая вершины $B$ и $F$. $BF$ также является диагональю через одну вершину правильного шестиугольника, поэтому $BF = \sqrt{3}$.

По теореме Пифагора для треугольника $BFF_1$:$BF_1^2 = BF^2 + FF_1^2$$BF_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2$$BF_1^2 = 3 + 1 = 4$$BF_1 = \sqrt{4} = 2$.

Таким образом, треугольник $BD_1F_1$ является равнобедренным с длинами сторон $BD_1 = 2$, $BF_1 = 2$ и $D_1F_1 = \sqrt{3}$.

Обозначим искомое расстояние от точки $B$ до прямой $D_1F_1$ как $h$. В равнобедренном треугольнике $BD_1F_1$ высота, опущенная на основание $D_1F_1$, будет являться медианой. Пусть $M$ — середина отрезка $D_1F_1$. Тогда $BM$ — это высота, и $D_1M = \frac{D_1F_1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BMD_1$. По теореме Пифагора:$BM^2 = BD_1^2 - D_1M^2$$BM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BM^2 = 4 - \frac{3}{4}$$BM^2 = \frac{16}{4} - \frac{3}{4}$$BM^2 = \frac{13}{4}$$BM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$