Номер 14, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1F_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах (или условных единицах), и искомое расстояние также будет в тех же единицах.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $C_1F_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $C_1F_1$ воспользуемся методом координат. Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы также $h=1$, так как все ребра равны 1.

Координаты вершин нижнего основания: $A = (1, 0, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (так как высота призмы $h=1$, все $z$-координаты увеличиваются на 1): $A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

1. Найдем вектор направления прямой $C_1F_1$: $\vec{u} = \vec{C_1F_1} = F_1 - C_1 = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 1) = (1, -\sqrt{3}, 0)$.

2. Найдем длину вектора $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$. (Это соответствует длине большой диагонали правильного шестиугольника, которая равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$).

3. Найдем вектор от одной из точек на прямой (например, $C_1$) до точки $B$: $\vec{v} = \vec{C_1B} = B - C_1 = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 1) = (1, 0, -1)$.

4. Вычислим векторное произведение $\vec{v} \times \vec{u}$: $\vec{v} \times \vec{u} = (1, 0, -1) \times (1, -\sqrt{3}, 0)$
$= (0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-\sqrt{3}), (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1)$
$= (-\sqrt{3}, -1, -\sqrt{3})$.

5. Найдем модуль этого векторного произведения: $|\vec{v} \times \vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

6. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{v} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ $d = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{2}$