Номер 7, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

7. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Дано

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$:

Стороны основания: $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковые ребра: $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными величинами.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$, обозначим как $h_B$.

Решение

Рассмотрим треугольник $SAB$. Из условий задачи известно, что:

$SA = 2$ (боковое ребро)

$SB = 2$ (боковое ребро)

$AB = 1$ (сторона основания)

Таким образом, треугольник $SAB$ является равнобедренным с равными сторонами $SA$ и $SB$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ - это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $SA$ в треугольнике $SAB$.

Для нахождения высоты $BH$ воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла $\angle SAB$. Применим теорему косинусов к стороне $SB$ в $\triangle SAB$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 5 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

Выразим $4 \cdot \cos(\angle SAB)$:

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 5 - 4$

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 1$

Найдем значение $\cos(\angle SAB)$:

$\cos(\angle SAB) = \frac{1}{4}$

Теперь найдем значение $\sin(\angle SAB)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \cos^2(\angle SAB)$

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2(\angle SAB) = \frac{16 - 1}{16}$

$\sin^2(\angle SAB) = \frac{15}{16}$

Поскольку $\angle SAB$ является углом треугольника, его синус должен быть положительным:

$\sin(\angle SAB) = \sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin(\angle SAB) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $H$ - основание высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на прямую $SA$. В этом треугольнике $BH$ является катетом, противолежащим углу $\angle SAB$. Следовательно, по определению синуса:

$BH = AB \cdot \sin(\angle SAB)$

Подставим известные значения $AB=1$ и $\sin(\angle SAB) = \frac{\sqrt{15}}{4}$:

$BH = 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$BH = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно $\frac{\sqrt{15}}{4}$.