Номер 5, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Длина стороны основания $AB = BC = CD = DE = EF = FA = a = 1$.

Длина боковых ребер $SA = SB = SC = SD = SE = SF = l = 2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому дополнительные преобразования не требуются.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Решение:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $BF$. Пусть $M$ - основание этого перпендикуляра на отрезке $BF$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $SM$.

Рассмотрим треугольник $SBF$.

1. Длины сторон треугольника $SBF$:

Боковые ребра пирамиды по условию равны $2$, следовательно, $SB = SF = 2$.

Основание пирамиды - правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Отрезок $BF$ является малой диагональю этого шестиугольника (соединяет вершины через одну). Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$.

Таким образом, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Определение типа треугольника $SBF$:

Треугольник $SBF$ является равнобедренным, так как $SB = SF = 2$.

3. Нахождение высоты $SM$:

В равнобедренном треугольнике $SBF$ высота $SM$, опущенная на основание $BF$, также является медианой. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BF$.

Длина отрезка $BM = \frac{BF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SMB$ (угол $SMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$SM^2 + BM^2 = SB^2$

$SM^2 = SB^2 - BM^2$

Подставим известные значения:

$SM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{16}{4} - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{13}{4}$

Извлекаем квадратный корень:

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}}$

$SM = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$