Номер 2, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

до прямой $BC_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

до прямой $CA_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а его рёбра лежали на осях координат. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Тогда координаты необходимых вершин будут:

$A = (0,0,0)$
$B = (1,0,0)$
$C = (1,1,0)$
$A_1 = (0,0,1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до прямой, проходящей через точки $C(1,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Это расстояние является высотой $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CA_1$ в треугольнике $BCA_1$.

Рассмотрим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA_1}$:

$\vec{BC} = C - B = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$
$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{BC} \cdot \vec{BA_1} = (0)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA_1}$ равно нулю, то эти векторы ортогональны. Это означает, что угол $\angle CBA_1$ в треугольнике $BCA_1$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $BCA_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

Найдем длины катетов $BC$ и $BA_1$:

Длина катета $BC$: $BC = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$. (Это длина ребра куба).
Длина катета $BA_1$: $BA_1 = |\vec{BA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$. (Это длина диагонали грани куба).

Найдем длину гипотенузы $CA_1$:

$CA_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. (Это длина главной диагонали куба).

Площадь прямоугольного треугольника $BCA_1$ может быть вычислена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot h$, где $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Приравниваем выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CA_1 \cdot h = \sqrt{2}$

Подставим значение $CA_1 = \sqrt{3}$:

$\sqrt{3} \cdot h = \sqrt{2}$

Выразим $h$:

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$