Номер 3, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

до прямой $AD_1$?

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$.

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод данных в систему СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины). Поскольку конкретные единицы измерения не указаны в условии задачи, расчеты производятся в безразмерных единицах.

Найти: Расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$.

Решение:
Рассмотрим треугольник $BDB_1$.

Определим длины сторон этого треугольника, используя тот факт, что куб единичный (т.е., длина его ребра $a=1$):
1. Ребро $BB_1$ является ребром куба, поэтому его длина $BB_1 = a = 1$.
2. Отрезок $BD$ является диагональю грани куба (квадрата $ABCD$). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
3. Отрезок $DB_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, $DB_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь определим тип треугольника $BDB_1$. Поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $BD$. Таким образом, $\angle B_1BD = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $BDB_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$, а $DB_1$ является его гипотенузой.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$ - это длина высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $DB_1$ в этом прямоугольном треугольнике.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
1. Как половину произведения катетов: $S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BD$.
$S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Как половину произведения основания (гипотенузы $DB_1$) на высоту $h$, проведенную к этому основанию: $S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot h$.

Приравниваем два выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:
$\sqrt{3} \cdot h = \sqrt{2}$

Выразим $h$:
$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.