Номер 1, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $AC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, обозначим его $d(B, AC_1)$.

Решение:

Разместим куб в декартовой системе координат с началом в точке $A$.

Координаты вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (1,1,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до прямой, проходящей через точки $A(0,0,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

Воспользуемся формулой для расстояния от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$: $d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$.

В нашем случае $P_0 = B(1,0,0)$, $P_1 = A(0,0,0)$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$ это $\vec{v} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0, -1, 1)$.

Найдем модуль вектора $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$||\vec{AB} \times \vec{AC_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{AC_1}$:

$||\vec{AC_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

$d(B, AC_1) = \frac{||\vec{AB} \times \vec{AC_1}||}{||\vec{AC_1}||} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$