Номер 4, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

4.Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Длины всех рёбер равны 1. $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Решение:

Обозначим искомое расстояние как $h$. Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $AC_1$ рассмотрим треугольник $BAC_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC_1$.

Определим длины сторон треугольника $BAC_1$:

• Сторона $AB$ является ребром основания призмы, поэтому её длина равна 1: $AB = 1$.
• Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Поскольку призма правильная и все её рёбра равны 1, боковые грани являются квадратами со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$ (с прямым углом при $C$): $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Аналогично, это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$ (с прямым углом при $C$): $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $BAC_1$ является равнобедренным со сторонами $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$.

Найдем площадь треугольника $BAC_1$ с помощью формулы Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{AB + AC_1 + BC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$.

Теперь применим формулу Герона: $S_{BAC_1} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC_1)(p-BC_1)}$ Вычислим множители под корнем: $p-AB = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2}$ $p-AC_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$ $p-BC_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в формулу площади: $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2} - 1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$ $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}{16}}$ (используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$) $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{8 - 1}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Также площадь треугольника может быть выражена через основание $AC_1$ и высоту $BH$ (которая является искомым расстоянием): $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH$. Подставим известные значения площади и длины стороны $AC_1$: $\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $BH = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{14}}{4}$