Страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки B до прямой $AC_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

Длина ребра куба $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$, обозначим его $d(B, AC_1)$.

Решение:

Разместим куб в декартовой системе координат с началом в точке $A$.

Координаты вершин будут:

$A = (0,0,0)$

$B = (1,0,0)$

$C = (1,1,0)$

$D = (0,1,0)$

$A_1 = (0,0,1)$

$B_1 = (1,0,1)$

$C_1 = (1,1,1)$

$D_1 = (0,1,1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до прямой, проходящей через точки $A(0,0,0)$ и $C_1(1,1,1)$.

Воспользуемся формулой для расстояния от точки $P_0$ до прямой, проходящей через точку $P_1$ с направляющим вектором $\vec{v}$: $d = \frac{||\vec{P_1P_0} \times \vec{v}||}{||\vec{v}||}$.

В нашем случае $P_0 = B(1,0,0)$, $P_1 = A(0,0,0)$.

Направляющий вектор прямой $AC_1$ это $\vec{v} = \vec{AC_1} = C_1 - A = (1-0, 1-0, 1-0) = (1,1,1)$.

Вектор $\vec{P_1P_0} = \vec{AB} = B - A = (1-0, 0-0, 0-0) = (1,0,0)$.

Вычислим векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$\vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 1 - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = 0\mathbf{i} - 1\mathbf{j} + 1\mathbf{k} = (0, -1, 1)$.

Найдем модуль вектора $\vec{AB} \times \vec{AC_1}$:

$||\vec{AB} \times \vec{AC_1}|| = \sqrt{0^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Найдем модуль направляющего вектора $\vec{AC_1}$:

$||\vec{AC_1}|| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1 + 1} = \sqrt{3}$.

Теперь подставим значения в формулу расстояния:

$d(B, AC_1) = \frac{||\vec{AB} \times \vec{AC_1}||}{||\vec{AC_1}||} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

до прямой $BC_1$.

2. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$

до прямой $CA_1$.

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до

В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Дано:

Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$, что означает длина его ребра $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Решение:

Расположим куб в декартовой системе координат так, чтобы вершина $A$ находилась в начале координат $(0,0,0)$, а его рёбра лежали на осях координат. Поскольку куб единичный, длина его ребра равна 1.

Тогда координаты необходимых вершин будут:

$A = (0,0,0)$
$B = (1,0,0)$
$C = (1,1,0)$
$A_1 = (0,0,1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(1,0,0)$ до прямой, проходящей через точки $C(1,1,0)$ и $A_1(0,0,1)$. Это расстояние является высотой $h$, опущенной из вершины $B$ на сторону $CA_1$ в треугольнике $BCA_1$.

Рассмотрим векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BA_1}$:

$\vec{BC} = C - B = (1-1, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$
$\vec{BA_1} = A_1 - B = (0-1, 0-0, 1-0) = (-1, 0, 1)$

Вычислим скалярное произведение этих векторов:

$\vec{BC} \cdot \vec{BA_1} = (0)(-1) + (1)(0) + (0)(1) = 0 + 0 + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BA_1}$ равно нулю, то эти векторы ортогональны. Это означает, что угол $\angle CBA_1$ в треугольнике $BCA_1$ равен $90^\circ$. Следовательно, треугольник $BCA_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$.

Найдем длины катетов $BC$ и $BA_1$:

Длина катета $BC$: $BC = |\vec{BC}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$. (Это длина ребра куба).
Длина катета $BA_1$: $BA_1 = |\vec{BA_1}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 1^2} = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}$. (Это длина диагонали грани куба).

Найдем длину гипотенузы $CA_1$:

$CA_1 = \sqrt{(1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{1+1+1} = \sqrt{3}$. (Это длина главной диагонали куба).

Площадь прямоугольного треугольника $BCA_1$ может быть вычислена двумя способами:

1. Через катеты: $S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot BA_1 = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
2. Через гипотенузу и высоту: $S = \frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot h$, где $h$ - искомое расстояние от точки $B$ до прямой $CA_1$.

Приравниваем выражения для площади:

$\frac{1}{2} \cdot CA_1 \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$CA_1 \cdot h = \sqrt{2}$

Подставим значение $CA_1 = \sqrt{3}$:

$\sqrt{3} \cdot h = \sqrt{2}$

Выразим $h$:

$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$

до прямой $AD_1$?

3. В единичном кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$.

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой

Дано: Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$.
Длина ребра куба $a = 1$.

Перевод данных в систему СИ:
Длина ребра куба $a = 1$ (единица длины). Поскольку конкретные единицы измерения не указаны в условии задачи, расчеты производятся в безразмерных единицах.

Найти: Расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$.

Решение:
Рассмотрим треугольник $BDB_1$.

Определим длины сторон этого треугольника, используя тот факт, что куб единичный (т.е., длина его ребра $a=1$):
1. Ребро $BB_1$ является ребром куба, поэтому его длина $BB_1 = a = 1$.
2. Отрезок $BD$ является диагональю грани куба (квадрата $ABCD$). Длина диагонали квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$. Следовательно, $BD = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$.
3. Отрезок $DB_1$ является пространственной диагональю куба. Длина пространственной диагонали куба со стороной $a$ равна $a\sqrt{3}$. Следовательно, $DB_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Теперь определим тип треугольника $BDB_1$. Поскольку ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, оно перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая диагональ $BD$. Таким образом, $\angle B_1BD = 90^\circ$.
Следовательно, треугольник $BDB_1$ является прямоугольным треугольником с прямым углом при вершине $B$, а $DB_1$ является его гипотенузой.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $DB_1$ - это длина высоты $h$, опущенной из вершины $B$ на гипотенузу $DB_1$ в этом прямоугольном треугольнике.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти двумя способами:
1. Как половину произведения катетов: $S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot BB_1 \cdot BD$.
$S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
2. Как половину произведения основания (гипотенузы $DB_1$) на высоту $h$, проведенную к этому основанию: $S_{BDB_1} = \frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot h$.

Приравниваем два выражения для площади:
$\frac{1}{2} \cdot DB_1 \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot h = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2:
$\sqrt{3} \cdot h = \sqrt{2}$

Выразим $h$:
$h = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Для рационализации знаменателя умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$h = \frac{\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

4. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

4.Дано:

Правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Длины всех рёбер равны 1. $AB = BC = CA = AA_1 = BB_1 = CC_1 = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $AC_1$.

Решение:

Обозначим искомое расстояние как $h$. Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $AC_1$ рассмотрим треугольник $BAC_1$. Искомое расстояние будет являться высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC_1$.

Определим длины сторон треугольника $BAC_1$:

• Сторона $AB$ является ребром основания призмы, поэтому её длина равна 1: $AB = 1$.
• Сторона $AC_1$ является диагональю боковой грани $ACC_1A_1$. Поскольку призма правильная и все её рёбра равны 1, боковые грани являются квадратами со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$ (с прямым углом при $C$): $AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
• Сторона $BC_1$ является диагональю боковой грани $BCC_1B_1$. Аналогично, это квадрат со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BCC_1$ (с прямым углом при $C$): $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

Таким образом, треугольник $BAC_1$ является равнобедренным со сторонами $AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$ и $BC_1 = \sqrt{2}$.

Найдем площадь треугольника $BAC_1$ с помощью формулы Герона. Сначала вычислим полупериметр $p$: $p = \frac{AB + AC_1 + BC_1}{2} = \frac{1 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2}$.

Теперь применим формулу Герона: $S_{BAC_1} = \sqrt{p(p-AB)(p-AC_1)(p-BC_1)}$ Вычислим множители под корнем: $p-AB = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - 1 = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2}{2} = \frac{2\sqrt{2} - 1}{2}$ $p-AC_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$ $p-BC_1 = \frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} = \frac{1 + 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2}$

Подставим значения в формулу площади: $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{1 + 2\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2} - 1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}}$ $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{(2\sqrt{2})^2 - 1^2}{16}}$ (используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2-b^2$) $S_{BAC_1} = \sqrt{\frac{8 - 1}{16}} = \sqrt{\frac{7}{16}} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.

Также площадь треугольника может быть выражена через основание $AC_1$ и высоту $BH$ (которая является искомым расстоянием): $S_{BAC_1} = \frac{1}{2} \cdot AC_1 \cdot BH$. Подставим известные значения площади и длины стороны $AC_1$: $\frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot BH$.

Выразим $BH$: $BH = \frac{\sqrt{7}}{4} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$. Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$: $BH = \frac{\sqrt{7}\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{14}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{14}}{4}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{14}}{4}$

5. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Длина стороны основания $AB = BC = CD = DE = EF = FA = a = 1$.

Длина боковых ребер $SA = SB = SC = SD = SE = SF = l = 2$.

Перевод в СИ:

Единицы измерения не указаны, поэтому дополнительные преобразования не требуются.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$.

Решение:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BF$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $S$ на прямую $BF$. Пусть $M$ - основание этого перпендикуляра на отрезке $BF$. Тогда искомое расстояние равно длине отрезка $SM$.

Рассмотрим треугольник $SBF$.

1. Длины сторон треугольника $SBF$:

Боковые ребра пирамиды по условию равны $2$, следовательно, $SB = SF = 2$.

Основание пирамиды - правильный шестиугольник со стороной $a = 1$. Отрезок $BF$ является малой диагональю этого шестиугольника (соединяет вершины через одну). Длина такой диагонали в правильном шестиугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{3}$.

Таким образом, $BF = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Определение типа треугольника $SBF$:

Треугольник $SBF$ является равнобедренным, так как $SB = SF = 2$.

3. Нахождение высоты $SM$:

В равнобедренном треугольнике $SBF$ высота $SM$, опущенная на основание $BF$, также является медианой. Следовательно, точка $M$ является серединой отрезка $BF$.

Длина отрезка $BM = \frac{BF}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $SMB$ (угол $SMB = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$SM^2 + BM^2 = SB^2$

$SM^2 = SB^2 - BM^2$

Подставим известные значения:

$SM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$SM^2 = 4 - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{16}{4} - \frac{3}{4}$

$SM^2 = \frac{13}{4}$

Извлекаем квадратный корень:

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}}$

$SM = \frac{\sqrt{13}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{13}}{2}$

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Дано:

Правильная шестиугольная пирамида $SABCDEF$.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

Перевод в систему СИ:

Длины представлены в безразмерных единицах, поэтому перевод не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$.

Решение:

Пусть $O$ — центр правильного шестиугольника $ABCDEF$, который является основанием пирамиды. Поскольку пирамида правильная, вершина $S$ проецируется в центр основания $O$. Следовательно, отрезок $SO$ является высотой пирамиды и перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$.

В правильном шестиугольнике сторона основания $a$ равна радиусу описанной окружности. Таким образом, расстояние от центра $O$ до любой вершины равно $a$. В данном случае $OA = 1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. $SA$ — это боковое ребро пирамиды, $OA$ — радиус описанной окружности основания, $SO$ — высота пирамиды.

По теореме Пифагора:

$SO^2 + OA^2 = SA^2$

$SO^2 + 1^2 = 2^2$

$SO^2 + 1 = 4$

$SO^2 = 3$

$SO = \sqrt{3}$

Теперь найдем расстояние от точки $S$ до прямой $BE$. Прямая $BE$ является одной из больших диагоналей правильного шестиугольника $ABCDEF$. Известно, что большие диагонали правильного шестиугольника проходят через его центр $O$. Таким образом, точка $O$ лежит на прямой $BE$.

Так как $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCDEF$, и прямая $BE$ лежит в этой плоскости и проходит через точку $O$ (основание перпендикуляра $SO$), то $SO$ перпендикулярен $BE$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Поскольку $SO \perp BE$ и точка $O$ лежит на $BE$, то $SO$ является искомым расстоянием.

Таким образом, расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно длине высоты $SO$.

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно $\sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $S$ до прямой $BE$ равно $\sqrt{3}$.

7. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SA$.

Дано

В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$:

Стороны основания: $a = AB = BC = CD = DE = EF = FA = 1$.

Боковые ребра: $l = SA = SB = SC = SD = SE = SF = 2$.

Перевод данных в систему СИ не требуется, так как задача оперирует безразмерными величинами.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$, обозначим как $h_B$.

Решение

Рассмотрим треугольник $SAB$. Из условий задачи известно, что:

$SA = 2$ (боковое ребро)

$SB = 2$ (боковое ребро)

$AB = 1$ (сторона основания)

Таким образом, треугольник $SAB$ является равнобедренным с равными сторонами $SA$ и $SB$.

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ - это длина высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на сторону $SA$ в треугольнике $SAB$.

Для нахождения высоты $BH$ воспользуемся теоремой косинусов для нахождения угла $\angle SAB$. Применим теорему косинусов к стороне $SB$ в $\triangle SAB$:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 - 2 \cdot SA \cdot AB \cdot \cos(\angle SAB)$

Подставим известные значения:

$2^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 4 + 1 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

$4 = 5 - 4 \cdot \cos(\angle SAB)$

Выразим $4 \cdot \cos(\angle SAB)$:

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 5 - 4$

$4 \cdot \cos(\angle SAB) = 1$

Найдем значение $\cos(\angle SAB)$:

$\cos(\angle SAB) = \frac{1}{4}$

Теперь найдем значение $\sin(\angle SAB)$ из основного тригонометрического тождества $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \cos^2(\angle SAB)$

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \left(\frac{1}{4}\right)^2$

$\sin^2(\angle SAB) = 1 - \frac{1}{16}$

$\sin^2(\angle SAB) = \frac{16 - 1}{16}$

$\sin^2(\angle SAB) = \frac{15}{16}$

Поскольку $\angle SAB$ является углом треугольника, его синус должен быть положительным:

$\sin(\angle SAB) = \sqrt{\frac{15}{16}}$

$\sin(\angle SAB) = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$, где $H$ - основание высоты $BH$, опущенной из вершины $B$ на прямую $SA$. В этом треугольнике $BH$ является катетом, противолежащим углу $\angle SAB$. Следовательно, по определению синуса:

$BH = AB \cdot \sin(\angle SAB)$

Подставим известные значения $AB=1$ и $\sin(\angle SAB) = \frac{\sqrt{15}}{4}$:

$BH = 1 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4}$

$BH = \frac{\sqrt{15}}{4}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SA$ равно $\frac{\sqrt{15}}{4}$.

8. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $a = 1$.

Боковое ребро $l = 2$.

(Перевод данных в СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SD$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую. В данном случае это высота треугольника $BSD$, опущенная из вершины $B$ на сторону $SD$.

Рассмотрим треугольник $BSD$.

1. Найдем длины сторон треугольника $BSD$:

• $SB$ — это боковое ребро пирамиды, по условию $SB = l = 2$.
• $SD$ — это боковое ребро пирамиды, по условию $SD = l = 2$.
• $BD$ — это диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона которого равна $a$, короткая диагональ (соединяющая вершины через одну, например, $B$ и $D$) равна $a\sqrt{3}$. Таким образом, $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

Итак, треугольник $BSD$ является равнобедренным со сторонами $SB=2$, $SD=2$ и $BD=\sqrt{3}$.

2. Найдем площадь треугольника $BSD$. Можно использовать формулу Герона или найти высоту, опущенную на основание $BD$.

Пусть $M$ — середина $BD$. Тогда $SM$ — высота треугольника $BSD$, опущенная на $BD$.

$BM = BD / 2 = \sqrt{3} / 2$.

В прямоугольном треугольнике $SMB$ (так как $SM$ - высота равнобедренного треугольника к основанию), по теореме Пифагора:

$SM^2 = SB^2 - BM^2$

$SM^2 = 2^2 - \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16-3}{4} = \frac{13}{4}$

$SM = \sqrt{\frac{13}{4}} = \frac{\sqrt{13}}{2}$.

Площадь треугольника $BSD$ ($A_{BSD}$) равна:

$A_{BSD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot SM = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{13}}{2} = \frac{\sqrt{39}}{4}$.

3. Найдем расстояние от точки $B$ до прямой $SD$. Это и есть высота $h_B$, опущенная из $B$ на $SD$.

Площадь треугольника $BSD$ также может быть выражена как:

$A_{BSD} = \frac{1}{2} \cdot SD \cdot h_B$.

Подставляя известные значения:

$\frac{\sqrt{39}}{4} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h_B$

$\frac{\sqrt{39}}{4} = h_B$.

Ответ: $\frac{\sqrt{39}}{4}$

9. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $SE$.

Дано:

Пирамида $SABCDEF$ - правильная шестиугольная.

Сторона основания $AB = 1$.

Боковое ребро $SB = 2$.

Перевод данных в систему СИ:

Данные представлены в безразмерных единицах, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SE$, то есть $d(B, SE)$.

Решение

Рассмотрим треугольник $SBE$. Расстояние от точки $B$ до прямой $SE$ - это длина высоты, опущенной из вершины $B$ на сторону $SE$ в треугольнике $SBE$.

Для определения этой высоты, сначала найдем длины сторон треугольника $SBE$.

1. Длина бокового ребра $SB$ задана в условии: $SB = 2$.

2. Длина бокового ребра $SE$ также задана, так как все боковые ребра правильной пирамиды равны: $SE = 2$.

3. Длина стороны $BE$ является длиной большой диагонали правильного шестиугольника $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, а большая диагональ, соединяющая противоположные вершины, равна двум сторонам. Так как сторона основания $AB = 1$, то $BE = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, мы имеем треугольник $SBE$ со сторонами $SB = 2$, $SE = 2$, $BE = 2$.

Поскольку все три стороны треугольника $SBE$ равны ($SB = SE = BE = 2$), треугольник $SBE$ является равносторонним.

В равностороннем треугольнике высота, опущенная на любую сторону, может быть найдена по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, где $a$ - длина стороны треугольника.

В нашем случае, сторона $a = 2$. Тогда высота $BH$ (которая и является расстоянием от точки $B$ до прямой $SE$) равна:

$BH = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $SE$ равно $\sqrt{3}$.

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 F_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$.

Решение:

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ - это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $A_1F_1$. Пусть $H$ - основание этого перпендикуляра.

Рассмотрим треугольник $BB_1H$. Поскольку $BB_1$ является ребром призмы, $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Прямая $A_1F_1$ лежит в этой плоскости. Если $B_1H$ - перпендикуляр, опущенный из $B_1$ на $A_1F_1$ в плоскости верхнего основания, то $B_1H \perp A_1F_1$. В таком случае, по теореме о трех перпендикулярах, $BH \perp A_1F_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине отрезка $BH$.

Треугольник $BB_1H$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B_1$.

Длина катета $BB_1$ равна высоте призмы, которая совпадает с длиной ребра призмы: $BB_1 = 1$.

Длина катета $B_1H$ - это расстояние от вершины $B_1$ до стороны $A_1F_1$ в правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$.

Для нахождения $B_1H$ рассмотрим треугольник $A_1B_1F_1$. Стороны $A_1B_1$ и $A_1F_1$ являются смежными сторонами правильного шестиугольника, поэтому их длины равны 1: $A_1B_1 = 1$, $A_1F_1 = 1$. Угол между этими сторонами в правильном шестиугольнике равен $120^\circ$, то есть $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$.

Опустим перпендикуляр $B_1H$ из точки $B_1$ на прямую, содержащую сторону $A_1F_1$. Так как $\angle F_1A_1B_1 = 120^\circ$ (тупой угол), основание перпендикуляра $H$ будет лежать на продолжении отрезка $F_1A_1$ за точку $A_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $A_1HB_1$. В этом треугольнике гипотенуза $A_1B_1 = 1$. Угол $\angle HA_1B_1$ является смежным с углом $\angle F_1A_1B_1$, поэтому $\angle HA_1B_1 = 180^\circ - \angle F_1A_1B_1 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Теперь мы можем найти длину катета $B_1H$ в треугольнике $A_1HB_1$:

$B_1H = A_1B_1 \cdot \sin(\angle HA_1B_1)$

$B_1H = 1 \cdot \sin(60^\circ)$

$B_1H = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь, зная длины катетов прямоугольного треугольника $BB_1H$ ($BB_1 = 1$ и $B_1H = \frac{\sqrt{3}}{2}$), найдем длину гипотенузы $BH$ по теореме Пифагора:

$BH^2 = BB_1^2 + B_1H^2$

$BH^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$

$BH^2 = 1 + \frac{3}{4}$

$BH^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$

$BH^2 = \frac{7}{4}$

$BH = \sqrt{\frac{7}{4}}$

$BH = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}}$

$BH = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1F_1$ равно $\frac{\sqrt{7}}{2}$.

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

Дано:Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.Все ребра призмы равны 1. Это означает, что длина стороны основания $a=1$ и высота призмы $h=1$.

Найти:Расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$.

Решение

Пусть $d$ — искомое расстояние от точки B до прямой $C_1D_1$. Для нахождения этого расстояния воспользуемся методом построения перпендикуляра в пространстве.Рассмотрим ортогональную проекцию точки B на плоскость верхнего основания призмы $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Эта проекция является точкой $B_1$.

Поскольку призма является правильной, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, отрезок $BB_1$ перпендикулярен плоскости верхнего основания. Это означает, что $BB_1$ перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, в том числе и прямой $C_1D_1$.Длина бокового ребра призмы равна ее высоте, поэтому $BB_1 = 1$.

Теперь найдем расстояние от точки $B_1$ до прямой $C_1D_1$ в плоскости верхнего основания. Обозначим это расстояние как $B_1K$, где $K$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $B_1$ на прямую $C_1D_1$.

Рассмотрим правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной $a=1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Таким образом, $\angle B_1C_1D_1 = 120^\circ$.

В треугольнике $B_1C_1D_1$ стороны $B_1C_1 = 1$ и $C_1D_1 = 1$. Для того чтобы найти расстояние от вершины $B_1$ до стороны $C_1D_1$, опустим перпендикуляр $B_1K$ на прямую, содержащую отрезок $C_1D_1$. Поскольку $\angle B_1C_1D_1 = 120^\circ$ (тупой угол), точка $K$ будет лежать на продолжении отрезка $D_1C_1$ за точку $C_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle B_1C_1K$. Угол $\angle B_1C_1K$ является смежным с углом $\angle B_1C_1D_1$, поэтому $\angle B_1C_1K = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.В этом прямоугольном треугольнике гипотенуза $B_1C_1 = 1$.Катет $B_1K$ противолежит углу $60^\circ$, поэтому его длина равна:$B_1K = B_1C_1 \cdot \sin(60^\circ) = 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Теперь мы имеем два взаимно перпендикулярных отрезка: $BB_1$ (высота призмы) и $B_1K$ (перпендикуляр в плоскости основания). Эти отрезки являются катетами прямоугольного треугольника $\triangle BB_1K$. Искомое расстояние $BK$ является гипотенузой этого треугольника.

По теореме Пифагора:$BK^2 = BB_1^2 + B_1K^2$$BK^2 = 1^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2$$BK^2 = 1 + \frac{3}{4}$$BK^2 = \frac{4}{4} + \frac{3}{4}$$BK^2 = \frac{7}{4}$$BK = \sqrt{\frac{7}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1E_1$.

13.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (длина стороны основания и высота призмы).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $C_1E_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим треугольник $BC_1E_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $C_1E_1$. Для этого определим длины сторон треугольника $BC_1E_1$.

1. Длина стороны $C_1E_1$:

Отрезок $C_1E_1$ является диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, расположенного в верхнем основании призмы. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина короткой диагонали (соединяющей вершины через одну) равна $a\sqrt{3}$. Поскольку длина ребра призмы равна $1$, то $a=1$.

$C_1E_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Вершина $B$ находится в нижнем основании, вершина $C_1$ — в верхнем основании. Отрезок $CC_1$ — это боковое ребро призмы, которое является ее высотой, $CC_1 = 1$. Отрезок $BC$ — это сторона основания шестиугольника, $BC = 1$. По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BE_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Вершина $B$ находится в нижнем основании, вершина $E_1$ — в верхнем основании. Отрезок $EE_1$ — это боковое ребро призмы, $EE_1 = 1$. Отрезок $BE$ — это большая диагональ основания правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, большая диагональ равна $2a$. Поскольку $a=1$, то $BE = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2$

$BE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$BE_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $BC_1E_1$ имеют длины: $BC_1 = \sqrt{2}$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$BC_1^2 + C_1E_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $BC_1^2 + C_1E_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BC_1E_1$ является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине $C_1$, так как $BE_1$ является гипотенузой.

Поскольку угол $BC_1E_1$ прямой, отрезок $BC_1$ перпендикулярен прямой $C_1E_1$. Следовательно, длина отрезка $BC_1$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $C_1E_1$.

Расстояние $= BC_1 = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a=1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a=1$ (единица длины).

Высота призмы $h=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1E_1$, т.е. $d(B, A_1E_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина стороны шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (при $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Так как высота призмы равна длине ребра, то $h=1$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь z-координату, равную 1:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $A_1(1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор $\vec{A_1E_1}$:

$\vec{A_1E_1} = E_1 - A_1 = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

Расстояние от точки до прямой можно найти как длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $H$ - основание перпендикуляра из точки $B$ на прямую $A_1E_1$. В этом случае вектор $\vec{BH}$ должен быть ортогонален вектору $\vec{A_1E_1}$. Также $H$ лежит на прямой $A_1E_1$, т.е. $\vec{A_1H}$ коллинеарен $\vec{A_1E_1}$.

Проверим скалярное произведение векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1E_1}$:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{A_1E_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1) \cdot 0$

$= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1E_1}$ равно 0, это означает, что эти векторы перпендикулярны. Следовательно, отрезок $BA_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $A_1E_1$. Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1E_1$ равно длине отрезка $BA_1$.

Вычислим длину отрезка $BA_1$:

$BA_1 = |\vec{A_1B}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2}$

$BA_1 = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1}$

$BA_1 = \sqrt{1 + 1}$

$BA_1 = \sqrt{2}$

Ответ:

$\sqrt{2}$

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1F_1$.

Дано

Правильная шестиугольная призма $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.
Длина всех ребер $a = 1$.

В данном случае перевод в систему СИ не требуется, так как длины заданы в безразмерных единицах (или условных единицах), и искомое расстояние также будет в тех же единицах.

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $C_1F_1$.

Решение

Для нахождения расстояния от точки $B$ до прямой $C_1F_1$ воспользуемся методом координат. Расположим призму в декартовой системе координат. Пусть центр нижнего основания $ABCDEF$ совпадает с началом координат $(0,0,0)$. Длина стороны правильного шестиугольника $a=1$. Высота призмы также $h=1$, так как все ребра равны 1.

Координаты вершин нижнего основания: $A = (1, 0, 0)$
$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$D = (-1, 0, 0)$
$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$
$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Координаты вершин верхнего основания (так как высота призмы $h=1$, все $z$-координаты увеличиваются на 1): $A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$C_1 = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$D_1 = (-1, 0, 1)$
$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$
$F_1 = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $C_1(-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$ и $F_1(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

1. Найдем вектор направления прямой $C_1F_1$: $\vec{u} = \vec{C_1F_1} = F_1 - C_1 = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 1) = (1, -\sqrt{3}, 0)$.

2. Найдем длину вектора $\vec{u}$: $|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 3 + 0} = \sqrt{4} = 2$. (Это соответствует длине большой диагонали правильного шестиугольника, которая равна $2a = 2 \cdot 1 = 2$).

3. Найдем вектор от одной из точек на прямой (например, $C_1$) до точки $B$: $\vec{v} = \vec{C_1B} = B - C_1 = (\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}), \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 1) = (1, 0, -1)$.

4. Вычислим векторное произведение $\vec{v} \times \vec{u}$: $\vec{v} \times \vec{u} = (1, 0, -1) \times (1, -\sqrt{3}, 0)$
$= (0 \cdot 0 - (-1) \cdot (-\sqrt{3}), (-1) \cdot 1 - 1 \cdot 0, 1 \cdot (-\sqrt{3}) - 0 \cdot 1)$
$= (-\sqrt{3}, -1, -\sqrt{3})$.

5. Найдем модуль этого векторного произведения: $|\vec{v} \times \vec{u}| = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{3 + 1 + 3} = \sqrt{7}$.

6. Расстояние от точки до прямой вычисляется по формуле: $d = \frac{|\vec{v} \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}$ $d = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

Ответ:

$\frac{\sqrt{7}}{2}$

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Дано

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной призмой.

Длина всех рёбер призмы равна 1. Это означает, что сторона основания $a = 1$ и высота призмы $h = 1$.

Найти

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$.

Решение

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Разместим центр нижнего основания $ABCDEF$ в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, её основание $ABCDEF$ является правильным шестиугольником со стороной $a=1$. Высота призмы $h=1$.

Ориентируем шестиугольник так, чтобы вершина $A$ лежала на положительной оси $x$. Координаты вершин нижнего основания:

Вершина $A$: $(a \cdot \cos(0^\circ), a \cdot \sin(0^\circ), 0) = (1, 0, 0)$.

Вершина $B$: $(a \cdot \cos(60^\circ), a \cdot \sin(60^\circ), 0) = (1 \cdot 1/2, 1 \cdot \sqrt{3}/2, 0) = (1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Вершина $D$: $(a \cdot \cos(180^\circ), a \cdot \sin(180^\circ), 0) = (1 \cdot (-1), 1 \cdot 0, 0) = (-1, 0, 0)$.

Соответствующие вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1, D_1, E_1, F_1$ будут иметь те же $x$ и $y$ координаты, но $z$ координату, равную высоте призмы $h=1$.

Координаты точки $A_1$: $(1, 0, 1)$.

Координаты точки $D_1$: $(-1, 0, 1)$.

Координаты точки $B$: $(1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.

Нам нужно найти расстояние от точки $B$ до прямой $A_1D_1$. Прямая $A_1D_1$ проходит через точки $A_1(1,0,1)$ и $D_1(-1,0,1)$. Заметим, что эта прямая лежит в плоскости $y=0, z=1$ и параллельна оси $x$. Точки на этой прямой имеют вид $(x, 0, 1)$, где $x \in [-1, 1]$.

Найдем точку $P(x_P, y_P, z_P)$ на прямой $A_1D_1$, которая является ближайшей к точке $B$. Расстояние $BP$ будет искомым расстоянием. Для точки на прямой $A_1D_1$, $y_P=0$ и $z_P=1$. Таким образом, точка $P$ имеет координаты $(x_P, 0, 1)$.

Квадрат расстояния $BP^2$ вычисляется по формуле:

$BP^2 = (x_P - x_B)^2 + (y_P - y_B)^2 + (z_P - z_B)^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + (0 - \sqrt{3}/2)^2 + (1 - 0)^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 1^2$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + 3/4 + 1$

$BP^2 = (x_P - 1/2)^2 + 7/4$

Чтобы минимизировать $BP^2$ (и, следовательно, $BP$), необходимо минимизировать член $(x_P - 1/2)^2$. Это достигается, когда $x_P - 1/2 = 0$, то есть $x_P = 1/2$.Точка $P$ на прямой $A_1D_1$, ближайшая к $B$, имеет координаты $(1/2, 0, 1)$. Заметим, что эта точка лежит на отрезке $A_1D_1$, так как её $x$-координата $1/2$ находится между $A_1(-1)$ и $D_1(1)$.

Теперь подставим $x_P = 1/2$ в выражение для $BP^2$:

$BP^2 = (1/2 - 1/2)^2 + 7/4$

$BP^2 = 0^2 + 7/4$

$BP^2 = 7/4$

Искомое расстояние $BP$ равно:

$BP = \sqrt{7/4} = \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{7}}{2}$

Ответ: $\frac{\sqrt{7}}{2}$