Номер 13, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $A_1 E_1$.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a=1$.

Перевод в систему СИ:

Длина ребра $a=1$ (единица длины).

Высота призмы $h=1$ (единица длины).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $A_1E_1$, т.е. $d(B, A_1E_1)$.

Решение:

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Разместим центр нижнего основания призмы, точку $O$, в начале координат $(0,0,0)$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются правильными шестиугольниками. Длина стороны шестиугольника $a=1$.

Координаты вершин нижнего основания $ABCDEF$ (при $a=1$):

$A = (1, 0, 0)$

$B = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$C = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$D = (-1, 0, 0)$

$E = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Так как высота призмы равна длине ребра, то $h=1$. Координаты вершин верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ будут иметь z-координату, равную 1:

$A_1 = (1, 0, 1)$

$E_1 = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Нам нужно найти расстояние от точки $B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$ до прямой, проходящей через точки $A_1(1, 0, 1)$ и $E_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Найдем вектор $\vec{A_1E_1}$:

$\vec{A_1E_1} = E_1 - A_1 = (-\frac{1}{2} - 1, -\frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 1 - 1) = (-\frac{3}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

Найдем вектор $\vec{A_1B}$:

$\vec{A_1B} = B - A_1 = (\frac{1}{2} - 1, \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 1) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, -1)$

Расстояние от точки до прямой можно найти как длину перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Пусть $H$ - основание перпендикуляра из точки $B$ на прямую $A_1E_1$. В этом случае вектор $\vec{BH}$ должен быть ортогонален вектору $\vec{A_1E_1}$. Также $H$ лежит на прямой $A_1E_1$, т.е. $\vec{A_1H}$ коллинеарен $\vec{A_1E_1}$.

Проверим скалярное произведение векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1E_1}$:

$\vec{A_1B} \cdot \vec{A_1E_1} = (-\frac{1}{2}) \cdot (-\frac{3}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) + (-1) \cdot 0$

$= \frac{3}{4} - \frac{3}{4} + 0 = 0$

Так как скалярное произведение векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1E_1}$ равно 0, это означает, что эти векторы перпендикулярны. Следовательно, отрезок $BA_1$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $A_1E_1$. Таким образом, расстояние от точки $B$ до прямой $A_1E_1$ равно длине отрезка $BA_1$.

Вычислим длину отрезка $BA_1$:

$BA_1 = |\vec{A_1B}| = \sqrt{(-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + (-1)^2}$

$BA_1 = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 1}$

$BA_1 = \sqrt{1 + 1}$

$BA_1 = \sqrt{2}$

Ответ:

$\sqrt{2}$