Номер 12, страница 162 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

12. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $C_1E_1$.

13.

Дано:

Правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Длина всех ребер $a = 1$ (длина стороны основания и высота призмы).

Найти:

Расстояние от точки $B$ до прямой $C_1E_1$.

Решение:

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую. Рассмотрим треугольник $BC_1E_1$. Искомое расстояние является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $B$ на сторону $C_1E_1$. Для этого определим длины сторон треугольника $BC_1E_1$.

1. Длина стороны $C_1E_1$:

Отрезок $C_1E_1$ является диагональю правильного шестиугольника $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, расположенного в верхнем основании призмы. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, длина короткой диагонали (соединяющей вершины через одну) равна $a\sqrt{3}$. Поскольку длина ребра призмы равна $1$, то $a=1$.

$C_1E_1 = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.

2. Длина стороны $BC_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$. Вершина $B$ находится в нижнем основании, вершина $C_1$ — в верхнем основании. Отрезок $CC_1$ — это боковое ребро призмы, которое является ее высотой, $CC_1 = 1$. Отрезок $BC$ — это сторона основания шестиугольника, $BC = 1$. По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2$

$BC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

$BC_1 = \sqrt{2}$.

3. Длина стороны $BE_1$:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$. Вершина $B$ находится в нижнем основании, вершина $E_1$ — в верхнем основании. Отрезок $EE_1$ — это боковое ребро призмы, $EE_1 = 1$. Отрезок $BE$ — это большая диагональ основания правильного шестиугольника. В правильном шестиугольнике со стороной $a$, большая диагональ равна $2a$. Поскольку $a=1$, то $BE = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора:

$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2$

$BE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$

$BE_1 = \sqrt{5}$.

Таким образом, стороны треугольника $BC_1E_1$ имеют длины: $BC_1 = \sqrt{2}$, $C_1E_1 = \sqrt{3}$, $BE_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли этот треугольник прямоугольным, используя обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат самой длинной стороны с суммой квадратов двух других сторон:

$BC_1^2 + C_1E_1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{3})^2 = 2 + 3 = 5$

$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$

Так как $BC_1^2 + C_1E_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BC_1E_1$ является прямоугольным. Прямой угол находится при вершине $C_1$, так как $BE_1$ является гипотенузой.

Поскольку угол $BC_1E_1$ прямой, отрезок $BC_1$ перпендикулярен прямой $C_1E_1$. Следовательно, длина отрезка $BC_1$ и есть искомое расстояние от точки $B$ до прямой $C_1E_1$.

Расстояние $= BC_1 = \sqrt{2}$.

Ответ:

$\sqrt{2}$